diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/reedsolomon/dtf.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 40 |
1 files changed, 21 insertions, 19 deletions
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 7c88c16..9647775 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunktes durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden. Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. @@ -12,22 +12,24 @@ sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist, - vorausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. + vorausgesetzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. \par Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation für Codierung und Decodierung zu verwenden. \subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation \label{reedsolomon:subsection:sendbsp}} +Das folgende Beispiel soll zeigen, wie die Idee der Fehlerkorrektur umgesetzt wurde. +Die Fehlererkennung des Reed-Solomon-Codes funktioniert nach einem sehr Ähnlichen Prinzip. -Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. -Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, -der später erklärt wird, analog ist. +%Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. +%Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, +%der später erklärt wird, analog ist. \par -Der Auftrag ist nun 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler zu erkennen und 16 Fehler zu rekonstruieren. +Der Auftrag besteht darin, 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler erkennen können und bis zu 16 Fehler zu rekonstruieren. Mit Hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. -Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. +Durch eine Rücktransformation können die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. \begin{figure}%[!ht] \centering @@ -42,8 +44,8 @@ In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: \begin{enumerate}[(1)] \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10. - Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. - Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. + Für die Rekonstruktion werden zusätzliche Datenwerte benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. + Diese setzen wir willkürlich alle auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$. \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. @@ -52,13 +54,13 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut \par Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 6, 20 und 74 (\textcolor{red}{rote Kurve}), die um einen Betrag verändert werden. - Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. - Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. - \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch inverse Fourier-Transformation vollständig + Dieser ist bis zu 150-mal kleiner als die ursprünglich codierten Werte. + Der Empfänger erkennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch die inverse Fourier-Transformation vollständig wiederhergestellt werden. Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. \par - Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen Werte abweichend von Null auftreten. + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen die Werte von Null abweichen. Somit haben wir bereits Fehler erkannt. \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom. Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt. @@ -69,7 +71,7 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind. \par -Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. +Damit können die Fehler korrigiert und die Originaldaten wiederhergestellt werden. Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. \subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}} @@ -113,10 +115,10 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt. -Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) +Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$ (graue Koeffizenten). \par -Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen. +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reellen Zahlen. Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, -dann müssen wir von den reeleen Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. -Dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. - +dann brauchen wir andere Varianten. +Um dieser Approximation zu entkommen, verlassen wir die reellen Zahlen und gehen zum endlichen Körpern, oder auch Galois-Körper genannt. +Dieser bietet uns einige Vorteile.
\ No newline at end of file |