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 \rhead{Problemstellung}
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
 zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
-Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkenen, 
+Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
 man kann sogar einige Fehler korrigieren.
 
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist die Daten, 
-ein Polynom zu bilden und dieses dann mit bestimmten Punkten überträgt.
+Eine Idee ist aus den Daten 
+ein Polynom zu bilden.
+Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt.
 Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
 welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
 p(x)
 =
-2x^2 + 1x + 5 
+\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
 \label{reedsolomon:equation1}
 \end{equation}
 ergeben.
-Übertragen werden nun die stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
-Grafisch sieht man dies dann im Abbild //TODO
-Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger erkennen, welches das Richtige Polynom ist.
-Der Leser/Empfänger weiss, mit welchem Grad das Polynom entwickelt wurde. 
+Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
+Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
+mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, 
+\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
+\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, 
+\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
+Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
+
 \subsection{Beispiel}
-Für das Beispeil aus der Gleichung \ref{reedsolomon:equation1},
+Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
 ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen,
-da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen.
+Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen,
+da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. 
+(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte})
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
-gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.
-Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden das das Polynom nicht stimmt.
-Das Orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Dabei sollten mehr Übertragungspunkte gegeben werden.
+gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom}
+Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
+Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
+Dafür sind mehr übertragene Werte nötig.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2}
+    \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
+	\caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}}
+	\label{fig:polynom}
+\end{figure}
 
 \section{Fehlerbestimmung
 \label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}}
 So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann,
 wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen.
-Durch ein klein wenig Überlegung ist klar das die anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast),
-die dan Entschlüsselt werden sollen den Grad des Polynoms minus 1 ergeben.
+Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können.
+Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast),
+die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an  Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) )
 Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen.
-Mit Hilfe der Tabelle.... sieht man das es bei $$t$$ Fehlern und $$k$$ Nutzlast,
-für das Übertragen $$k+2t$$ Punkte gegben werden müssen.
+Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen,
+$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen.
 
-Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $$2t$$ Fehler erkannt werden. 
-um zurück auf unser Beispiel zu kommen, 
-können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $$2t = 2*2 = 4 $$ Punkten falsch liegen 
-und es wird kein eindeutiges Polynom 2ten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert.
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{ c c c } 
+        \hline
+        Nutzlas & Fehler & Übertragen \\
+        \hline 
+        3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+        4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+        3 & 3 & 9 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+        \hline
+        $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ 
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
 
-Ein Polynom durch Punkt mit Polynom Interpolation zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig.
+Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. 
+Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, 
+können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen 
+und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert.
+Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
+doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig.