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diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex index be837ac..ffc9009 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil0.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex @@ -1,48 +1,47 @@ -\section{Einachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Einachsiger Spannungsustand}} -\rhead{Einachsiger Spannungszustand} -Ein Spannungszustand beschreibt alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken (siehe Abbildung 1.4). +\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}} +\rhead{Der Spannungszustand} +Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4). Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material. Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt. Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png} + \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png} \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen} - \label{fig:infintesimaler-wurfel} + \label{fig:Bild2} \end{figure} -Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten die selben Spannungen aufweisen. -Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$ muss sich zwingend im Gleichgewicht befinden. -So sind insgesamt 9 verschiedene Spannungen möglich, wobei 3 Normal- und 6 Schubspannungen sind. -Normalspannung wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche. -Alle Beträge dieser 9 Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand. +Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen, +sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist. +Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen. +Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$. +Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt. +So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind. +Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche. +Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand. Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden. +Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png} - \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe} - \label{fig:infintesimaler-wurfel} -\end{figure} -Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung). +\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}} +\rhead{Spannungszustand} + +Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5). Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand. Nach Hooke gilt: \[ F \sim \Delta l -\] . -Teilt man beide Seiten mit den Konstanten $A$ und $l_0$ erhält man +\] +Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man \[ \frac{F}{A} = \sigma \sim -\] -\[ \varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0} @@ -52,22 +51,21 @@ und somit \sigma \sim \varepsilon +, \] -. -Mit: -\[ -l_0 -= -\text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} -\] -\[ -A -= -\text{Fläche [\si{\meter\squared}]} -\] - -Diese Beziehung gilt bei linear elastischen Materialien, welche reversibel sind und nicht dauerhaft verformt werden. +mit +\begin{align*} + l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\ + A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].} +\end{align*} +Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen. Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png} + \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe} + \label{fig:Bild1} +\end{figure} Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit \[ \sigma @@ -75,7 +73,7 @@ Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich E\cdot\varepsilon \] beschreiben. -Im Falle, dass der E-Modul nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise mit +Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch \[ E = |