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diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex index 95e6f0a..9467d21 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil1.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex @@ -1,55 +1,41 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{spannung:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx +\section{Proportionalität Spannung-Dehnung\label{spannung:section:Proportionalität Spannung-Dehnung}} +\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung} +Das Hook'sche Gesetz beschreibt die elastische Längenänderung von Festkörpern im Zusammenhang mit einer Krafteinwirkung. +Die Längenänderung $\Delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung $F$. +\[ +F +\sim +\Delta l +\] +Man kann dies nur im Bereich vom linearen-elastischen Materialverhalten anwenden. +Das heisst, dass alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt. +Es findet somit keine dauernde Verformung statt. +Da es sehr praktisch ist die Längenänderung nicht absolut auszudrücken haben wir $\varepsilon$. +Die Dehnung $\varepsilon$ beschreibt die relative Längenänderung. +Die Dehnung $\varepsilon$ ist wiederum proportional zu der aufgebrachten Spannung. +Im Bauingenieurwesen hat man es oft mit grösseren Teilen oder grösseren Betrachtungsräumen zu tun. +Da ist es nun natürlich sehr sinnvoll, wenn wir nicht mit absoluten Zahlen rechnen, +sondern unabhängig von der Länge den Zustand mit Dehnung $\varepsilon$ beschreiben können. +Mithilfe vom E-Modul, (steht für Elastizitätsmodul) einer Proportionalitätskonstante, +kann man das in eine Gleichung bringen, wie man hier sieht. Das E-Modul beschreibt, +das Verhältnis von Kraftaufnahme eines Werkstoffes und dessen zusammenhängender Längenveränderung. +(Quelle Wikipedia) +\[ +\sigma = -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b +E\cdot\varepsilon +\] +\[ +E = -\frac{b^3-a^3}3. -\label{spannung:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{spannung:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{spannung:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{spannung:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - +\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon} += +const. +\] +Aus diesem Verhältnis kann man das E-Modul berechnen. +Je nach Material ist dies verschieden. +Das E-Modul lässt sich nur im linearen-elastischen Materialverhalten anwenden. +Für Bodenmaterial gibt es ein spezielles E-Modul. Dieses wird mit dem Oedometer-Versuch ermittelt. +Es wird mit $E_{OED}$ ausgedrückt. Dieser Versuch wird später noch beschrieben. +Der Oedometer-Versuch ist abhängig von den diesem Kapitel zu untersuchenden Matrizen.
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