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diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 37d3242..3db3e26 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -1,40 +1,451 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{spannung:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{spannung:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}} +\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung} +Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand. +Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können, führt man einen infinitesimales Bodenteilchen ein. +Das Bodenteilchen ist geometrisch gesehen ein Würfel. +An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} + \caption{Infinitesimales Bodenteilchen} + \label{fig:infintesimaler-wurfel} +\end{figure} + +An diesem infinitesimalen Bodenteilchen hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$. +Die Achsen vom Koordinatensystem zeigen aus den 3 ersichtlichen Flächen heraus. +Pro ersichtliche Fläche haben wir eine Normalspannung und zwei Schubspannungen. +Im Gegensatz zum eindimensionalen Zustand entstehen bei einer Belastung des Bodenteilchens eine Vielzahl an Spannungen. +Es entstehen diverse Normal- und Schubspannungen. +Die Schubspannungen befinden sich an der Fläche, sie gehen rechtwinklig von den Achsen weg. +Die Schubspannungen auf einer Fläche stehen im 90 Grad Winkel zueinander. +Geschrieben werden diese mit $\sigma$, mit jeweils zwei Indizes. +Die Indizes geben uns an, in welche Richtung die Spannungen zeigen. +Der erste Index ist die Fläche auf welcher man sich befindet. +Der zweite Index gibt an, in welche Richtung die Spannung zeigt, dabei referenzieren die Indizes auch auf die Achsen $(1,2,3)$. +Bei den Spannungen sind immer positive als auch negative Spannungen möglich. +Es können also Druck- oder Zugspannungen sein. + +Zunächst wird untenstehend der allgemeine Spannungszustand betrachtet. + +Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3} +\[ +\overline{\sigma} += +\sigma_{ij} += +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ + \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ + \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} +\end{pmatrix} += +\qquad +\Rightarrow +\qquad +\vec{\sigma} += +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{12}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{21}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{31}\\ + \sigma_{32}\\ + \sigma_{33} +\end{pmatrix} +\] + +Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3} + +\[ +\overline{\varepsilon} += +\varepsilon_{kl} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} += +\qquad +\Rightarrow +\qquad +\vec{\varepsilon} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{12} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{21} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{31} \\ + \varepsilon_{32} \\ + \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} +\] + +Bei diesen zwei obenstehenden Formeln kann man sehen wie Matrizen zu einem Vektor umgewandelt wurden. +Unter dem Kapitel Hadamard-Algebra kann man sehen, dass man dabei Zeile um Zeile in eine Spalte schreiben kann, +sodass es einen Vektor ergibt. + +Elastizitätstensor 4. Stufe i,j,k,l $\in$ {1,2,3} +\[ +\overline\overline{C} += +C_{ijkl} += +\begin{pmatrix} +C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\ +C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\ +C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\ +C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\ +C_{2211} & C_{2212} & C_{1113} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\ +C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\ +C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\ +C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\ +C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333} +\end{pmatrix} +\] + +Dieser Elastizitätstensor muss eine quadratische Matrix mit $3^{4}$ Einträgen ergeben, +da die Basis mit den drei Richtungen $1, 2, 3$ und die Potenz mit den 4 Indizes mit je $1, 2, 3$ definiert sind. +Dies gibt daher eine 9 x 9 Matrix, welche zudem symmetrisch ist. + +Folglich gilt: +\[ +\overline{\overline{C}} += +\overline{\overline{C}}~^{T} +\] + +Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor) +\[ +\vec\sigma += +\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon} +\] + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{12}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{21}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{31}\\ + \sigma_{32}\\ + \sigma_{33} +\end{pmatrix} += +\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} +\begin{pmatrix} + 1-2\nu & 0 & 0 & 0 & \nu & 0 & 0 & 0 & \nu \\ + 0 & frac{1}{4} & 0 & frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & frac{1}{4} & 0 & 0 \\ + 0 & frac{1}{4} & 0 & frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \nu & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu & 0 & 0 & 0 & \nu \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{4} & 0 & frac{1}{4} & 0 \\ + 0 & 0 & frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & frac{1}{4} & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{4} & 0 & frac{1}{4} & 0 \\ + \nu & 0 & 0 & 0 & \nu & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{12} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{21} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{31} \\ + \varepsilon_{32} \\ + \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} +\] + +Man kann das zudem auch als Indexnotation aufschreiben. + +\[ +\sigma_{ij} += += +\sum_k=1^3 +\sum_l=1^3 +C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl} +\] + +Um die Berechnung an einem Beispiel zu veranschaulichen: + +\[ +\sigma_{22} += +\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33} +\] + +Anhand dem Tensor der allgemeinen Spannungsgleichung kann man zwar eine Symmetrie erkennen. +Die verschiedenen Einträge wechseln sich aber mit einander ab und es gibt keine klaren Blöcke mit nur einem gleichen Eintrag. +Man greift deshalb auf die Voigt'sche Notation zurück. + + +Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus: + +\[ +\overline{\sigma} += +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ + \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ + \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ + & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ + sym & & \sigma_{33} +\end{pmatrix} +\Rightarrow +\vec{\sigma} += +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{33}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} +\] + +In der Voigt'sche Notation hat man die Reihenfolge von der Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten. +Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben um den Vektor zu erhalten. + +Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix. +So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ und $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$. +Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen. +Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material. +Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen. +Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen. +Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung 3 geht, +oder auf der Achse 3 in Richtung 2. + +Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken. +Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um. + +\[ +\overline{\varepsilon} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ + & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + \text{sym} & & \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} +\qquad +\Rightarrow +\qquad +\vec{\varepsilon} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{33} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + + +Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul, +der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben. +Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor. +Die Gleichung besagt: +\[ +\text{Spannungsvektor} += +\text{Elastizitätstensor}\cdot\text{Dehnungsvektor} +\] +\[ +\vec{\sigma} += +\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon} +\] + +Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor. +Der Tensor hat sich also im Vergleich zum 9 x 9 Tensor verkleinert. +Dies ist deshalb der Fall, da man in den Achsen 2 und 3 Symmetrien hat. +Dadurch kann man die Einträge $(\varepsilon_{21}=\varepsilon_{12}; \varepsilon_{31}=\varepsilon_{13}; \varepsilon_{32}=\varepsilon_{23})$ +zusammenfassen und drei Einträge verschwinden, da drei Dehnungen gleich sind. +Das ganze sieht dann wie folgt aus: + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} \\ + \sigma_{22} \\ + \sigma_{33} \\ + \sigma_{23} \\ + \sigma_{13} \\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ + C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ + C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ + C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ + C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ + C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{33} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen. +Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind. +Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein. +Das sind folgendermassen aus: + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} \\ + \sigma_{22} \\ + \sigma_{33} \\ + \sigma_{23} \\ + \sigma_{13} \\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ + & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ + & & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ + & & & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ + & & & & C_{55} & C_{56} \\ + \text{sym} & & & & & C_{66} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} \\ + \varepsilon_{22} \\ + \varepsilon_{33} \\ + \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken. +Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz. + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{33}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} += +\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} +\begin{pmatrix} + 1- 2\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ + \nu & 1- 2\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ + \nu & \nu & 1- 2\nu & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{22}\\ + \varepsilon_{33}\\ + \varepsilon_{23}\\ + \varepsilon_{13}\\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt, +sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken. +Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also, +dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben. +Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich bei der allgemeinen Darstellung der Spannungsgleichung, +die Einträge verschoben haben. Man hat nun eine sehr vorteilhafte Anordnung der verschiedenen Blöcke im Tensor. +Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen. +Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$ und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben. +Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3. +Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$. + +Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um. + +\[ +\vec{\varepsilon} += +\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma} +\] + +\[ +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{22}\\ + \varepsilon_{33}\\ + \varepsilon_{23}\\ + \varepsilon_{13}\\ + \varepsilon_{12} +\end{pmatrix} += +\frac{1}{E} +\begin{pmatrix} + 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ + -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ + -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}\\ + \sigma_{22}\\ + \sigma_{33}\\ + \sigma_{23}\\ + \sigma_{13}\\ + \sigma_{12} +\end{pmatrix} +\] + +Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden. +Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert. +Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung. + +\[ +\varepsilon_{22} += +\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33} +\] + +$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2. +In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab. +Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner. +Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle. +Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss. + +Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen. +In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen. +Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind. |