aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/spannung/teil2.tex
blob: 3db3e264ca5995ae1137fd26ceb0e2c96b437264 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand.
Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können, führt man einen infinitesimales Bodenteilchen ein.
Das Bodenteilchen ist geometrisch gesehen ein Würfel.
An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
	\caption{Infinitesimales Bodenteilchen}
	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
\end{figure}

An diesem infinitesimalen Bodenteilchen hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
Die Achsen vom Koordinatensystem zeigen aus den 3 ersichtlichen Flächen heraus.
Pro ersichtliche Fläche haben wir eine Normalspannung und zwei Schubspannungen.
Im Gegensatz zum eindimensionalen Zustand entstehen bei einer Belastung des Bodenteilchens eine Vielzahl an Spannungen.
Es entstehen diverse Normal- und Schubspannungen.
Die Schubspannungen befinden sich an der Fläche, sie gehen rechtwinklig von den Achsen weg.
Die Schubspannungen auf einer Fläche stehen im 90 Grad Winkel zueinander.
Geschrieben werden diese mit $\sigma$, mit jeweils zwei Indizes.
Die Indizes geben uns an, in welche Richtung die Spannungen zeigen.
Der erste Index ist die Fläche auf welcher man sich befindet.
Der zweite Index gibt an, in welche Richtung die Spannung zeigt, dabei referenzieren die Indizes auch auf die Achsen $(1,2,3)$.
Bei den Spannungen sind immer positive als auch negative Spannungen möglich.
Es können also Druck- oder Zugspannungen sein.

Zunächst wird untenstehend der allgemeine Spannungszustand betrachtet.

Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3}
\[
\overline{\sigma}
=
\sigma_{ij}
=
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}
=
\qquad
\Rightarrow
\qquad
\vec{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11}\\
	\sigma_{12}\\
	\sigma_{13}\\
	\sigma_{21}\\
	\sigma_{22}\\
	\sigma_{23}\\
	\sigma_{31}\\
	\sigma_{32}\\
	\sigma_{33}
\end{pmatrix}
\]

Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3}

\[
\overline{\varepsilon}
=
\varepsilon_{kl}
=
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
=
\qquad
\Rightarrow
\qquad
\vec{\varepsilon}
=
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} \\
	\varepsilon_{12} \\
	\varepsilon_{13} \\
	\varepsilon_{21} \\
	\varepsilon_{22} \\
	\varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{31} \\
	\varepsilon_{32} \\
	\varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
\]

Bei diesen zwei obenstehenden Formeln kann man sehen wie Matrizen zu einem Vektor umgewandelt wurden.
Unter dem Kapitel Hadamard-Algebra kann man sehen, dass man dabei Zeile um Zeile in eine Spalte schreiben kann,
sodass es einen Vektor ergibt.

Elastizitätstensor 4. Stufe i,j,k,l $\in$ {1,2,3}
\[
\overline\overline{C}
=
C_{ijkl}
=
\begin{pmatrix}
C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\
C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
C_{2211} & C_{2212} & C_{1113} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
\end{pmatrix}
\]

Dieser Elastizitätstensor muss eine quadratische Matrix mit $3^{4}$ Einträgen ergeben,
da die Basis mit den drei Richtungen $1, 2, 3$ und die Potenz mit den 4 Indizes mit je $1, 2, 3$ definiert sind.
Dies gibt daher eine 9 x 9 Matrix, welche zudem symmetrisch ist.

Folglich gilt:
\[
\overline{\overline{C}}
=
\overline{\overline{C}}~^{T}
\]

Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor)
\[
\vec\sigma
=
\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
\]

\[
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11}\\
	\sigma_{12}\\
	\sigma_{13}\\
	\sigma_{21}\\
	\sigma_{22}\\
	\sigma_{23}\\
	\sigma_{31}\\
	\sigma_{32}\\
	\sigma_{33}
\end{pmatrix}
=
\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
\begin{pmatrix}
	1-2\nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
	     0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
	     0 &          0 & frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 & frac{1}{4} &          0 & 0     \\
	     0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
	   \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
  	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} & 0     \\
	     0 &          0 & frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 & frac{1}{4} &          0 & 0     \\
	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} & 0     \\
	   \nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} \\
	\varepsilon_{12} \\
	\varepsilon_{13} \\
	\varepsilon_{21} \\
	\varepsilon_{22} \\
	\varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{31} \\
	\varepsilon_{32} \\
	\varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
\]

Man kann das zudem auch als Indexnotation aufschreiben.

\[
\sigma_{ij}
=
=
\sum_k=1^3
\sum_l=1^3
C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
\]

Um die Berechnung an einem Beispiel zu veranschaulichen:

\[
\sigma_{22}
=
\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
\]

Anhand dem Tensor der allgemeinen Spannungsgleichung kann man zwar eine Symmetrie erkennen.
Die verschiedenen Einträge wechseln sich aber mit einander ab und es gibt keine klaren Blöcke mit nur einem gleichen Eintrag.
Man greift deshalb auf die Voigt'sche Notation zurück.


Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:

\[
\overline{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
  	            & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
	        sym &             & \sigma_{33} 
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\vec{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
    \sigma_{11}\\
	\sigma_{22}\\
	\sigma_{33}\\
	\sigma_{23}\\
	\sigma_{13}\\
	\sigma_{12}
\end{pmatrix}
\]

In der Voigt'sche Notation hat man die Reihenfolge von der Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben um den Vektor zu erhalten.

Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix.
So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ und $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen.
Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material.
Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen.
Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen.
Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung 3 geht,
oder auf der Achse 3 in Richtung 2.

Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken.
Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.

\[
\overline{\varepsilon}
=
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
	                 & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
\qquad
\Rightarrow
\qquad
\vec{\varepsilon}
=
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} \\
	\varepsilon_{22} \\
	\varepsilon_{33} \\
	\varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{13} \\
	\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
\]


Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul,
der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben.
Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor.
Die Gleichung besagt:
\[
\text{Spannungsvektor}
=
\text{Elastizitätstensor}\cdot\text{Dehnungsvektor}
\]
\[
\vec{\sigma}
=
\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
\]

Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor.
Der Tensor hat sich also im Vergleich zum 9 x 9 Tensor verkleinert.
Dies ist deshalb der Fall, da man in den Achsen 2 und 3 Symmetrien hat.
Dadurch kann man die Einträge $(\varepsilon_{21}=\varepsilon_{12}; \varepsilon_{31}=\varepsilon_{13}; \varepsilon_{32}=\varepsilon_{23})$
zusammenfassen und drei Einträge verschwinden, da drei Dehnungen gleich sind.
Das ganze sieht dann wie folgt aus:

\[
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11} \\
	\sigma_{22} \\
	\sigma_{33} \\
	\sigma_{23} \\
	\sigma_{13} \\
	\sigma_{12}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
	C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
	C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
	C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
	C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
	C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
	C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} \\
	\varepsilon_{22} \\
	\varepsilon_{33} \\
	\varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{13} \\
	\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
\]

Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen.
Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind.
Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein.
Das sind folgendermassen aus:

\[
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11} \\
	\sigma_{22} \\
	\sigma_{33} \\
	\sigma_{23} \\
	\sigma_{13} \\
	\sigma_{12}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
	  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
	         & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
	         &        & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ 
	         &        &        & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ 
             &        &        &        & C_{55} & C_{56} \\
  \text{sym} &        &        &        &        & C_{66} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11} \\
	\varepsilon_{22} \\
	\varepsilon_{33} \\
	\varepsilon_{23} \\
	\varepsilon_{13} \\
	\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
\]

Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken.
Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz.

\[
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11}\\
	\sigma_{22}\\
	\sigma_{33}\\
	\sigma_{23}\\
	\sigma_{13}\\
	\sigma_{12}
\end{pmatrix}
=
\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
\begin{pmatrix}
	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
        \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
          0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
          0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
          0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11}\\
	\varepsilon_{22}\\
	\varepsilon_{33}\\
	\varepsilon_{23}\\
	\varepsilon_{13}\\
	\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
\]

Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt,
sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken.
Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also,
dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich bei der allgemeinen Darstellung der Spannungsgleichung,
die Einträge verschoben haben. Man hat nun eine sehr vorteilhafte Anordnung der verschiedenen Blöcke im Tensor.
Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen.
Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$  und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3.
Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$.

Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um.

\[
\vec{\varepsilon}
=
\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma}
\]

\[
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{11}\\
	\varepsilon_{22}\\
	\varepsilon_{33}\\
	\varepsilon_{23}\\
	\varepsilon_{13}\\
	\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{E}
\begin{pmatrix}
	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
 	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\sigma_{11}\\
	\sigma_{22}\\
	\sigma_{33}\\
	\sigma_{23}\\
	\sigma_{13}\\
	\sigma_{12}
\end{pmatrix}
\]

Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden.
Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert.
Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung.

\[
\varepsilon_{22}
=
\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
\]

$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2.
In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab.
Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner.
Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle.
Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss.

Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen.
In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen.
Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind.