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diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 7dcf65f..8be0bdc 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -1,9 +1,47 @@ \section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}} -\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung} -Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand. -Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können, führt man einen infinitesimales Bodenteilchen ein. -Das Bodenteilchen ist geometrisch gesehen ein Würfel. -An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen. +\rhead{Dreiachsiger Spannungszustand} +Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen. +Ein Tensor 0.Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben. +Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. +Die Spannungen sind durch die zwei Indizes +\[ +i, j\in\left\{1, 2, 3\right\} +\] + +definiert. +Daher ergeben sich die 9 Spannungen. +Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als 3x3 Matrix mit +\[ +\overline{\sigma} += +\sigma_{ij} += +\begin{pmatrix} + \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ + \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ + \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} +\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand. +Die Dehnungen wirken adäquat zu den Spannungen und sind durch die zwei Indizes +\[ +k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} +\] + +definiert. +Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit +\[ +\overline{\varepsilon} += +\varepsilon_{kl} += +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ + \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} +\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand. \begin{figure} \centering @@ -12,23 +50,10 @@ An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen. \label{fig:infintesimaler-wurfel} \end{figure} -An diesem infinitesimalen Bodenteilchen hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$. -Die Achsen vom Koordinatensystem zeigen aus den 3 ersichtlichen Flächen heraus. -Pro ersichtliche Fläche haben wir eine Normalspannung und zwei Schubspannungen. -Im Gegensatz zum eindimensionalen Zustand entstehen bei einer Belastung des Bodenteilchens eine Vielzahl an Spannungen. -Es entstehen diverse Normal- und Schubspannungen. -Die Schubspannungen befinden sich an der Fläche, sie gehen rechtwinklig von den Achsen weg. -Die Schubspannungen auf einer Fläche stehen im 90 Grad Winkel zueinander. -Geschrieben werden diese mit $\sigma$, mit jeweils zwei Indizes. -Die Indizes geben uns an, in welche Richtung die Spannungen zeigen. -Der erste Index ist die Fläche auf welcher man sich befindet. -Der zweite Index gibt an, in welche Richtung die Spannung zeigt, dabei referenzieren die Indizes auch auf die Achsen $(1,2,3)$. -Bei den Spannungen sind immer positive als auch negative Spannungen möglich. -Es können also Druck- oder Zugspannungen sein. +Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. +Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt. +So ergibt sich der Spannungsvektor -Zunächst wird untenstehend der allgemeine Spannungszustand betrachtet. - -Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3} \[ \overline{\sigma} = @@ -39,7 +64,6 @@ Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3} \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix} -= \qquad \Rightarrow \qquad @@ -57,9 +81,7 @@ Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3} \sigma_{33} \end{pmatrix} \] - -Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3} - +und Dehnungsvektor \[ \overline{\varepsilon} = @@ -70,7 +92,6 @@ Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3} \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{pmatrix} -= \qquad \Rightarrow \qquad @@ -87,13 +108,22 @@ Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3} \varepsilon_{32} \\ \varepsilon_{33} \end{pmatrix} -\] +\]. -Bei diesen zwei obenstehenden Formeln kann man sehen wie Matrizen zu einem Vektor umgewandelt wurden. -Unter dem Kapitel Hadamard-Algebra kann man sehen, dass man dabei Zeile um Zeile in eine Spalte schreiben kann, -sodass es einen Vektor ergibt. +Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2.Stufen ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4.Stufe benötigt. +Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0.Stufe und somit ein Skalar. +Dieses Skalar ist das Elastizitätsmodul $E$. -Elastizitätstensor 4. Stufe i,j,k,l $\in$ {1,2,3} +Dieser Elastizitätstensor 4.Stufe kann als Tensor 2.Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. +So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun ein Vektor mit einer Matrix operiert. +Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen. +Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. +Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes +\[ +i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} +\] +, die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist. +Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein mit \[ \overline{\overline{C}} = @@ -104,32 +134,51 @@ C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{ C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\ C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\ C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\ -C_{2211} & C_{2212} & C_{1113} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\ +C_{2211} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\ C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\ C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\ C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\ C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333} \end{pmatrix} \] - -Dieser Elastizitätstensor muss eine quadratische Matrix mit $3^{4}$ Einträgen ergeben, -da die Basis mit den drei Richtungen $1, 2, 3$ und die Potenz mit den 4 Indizes mit je $1, 2, 3$ definiert sind. -Dies gibt daher eine 9 x 9 Matrix, welche zudem symmetrisch ist. - +ausgedrückt wird. +Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein. Folglich gilt: \[ \overline{\overline{C}} = \overline{\overline{C}}~^{T} -\] +\]. -Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor) +Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun: \[ \vec\sigma = \overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon} -\] +\]. +Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert. +Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist muss eine weitere Kennzahl eingeführt werden. +Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche mit +\[ +\nu += +\frac{\varepsilon_q}{\varepsilon} += +\frac{\Delta b}{b_0} +\] +und +\[ +\varepsilon += +\text{Längsdehnung [$-$]} +\] +\[ +\varepsilon_q += +\text{Querdehnung [$-$]} +\] +definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein ergibt sich \[ \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ @@ -168,32 +217,61 @@ Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor) \end{pmatrix} \] -Man kann das zudem auch als Indexnotation aufschreiben. - +, welche ebenfalls als Indexnotation mit \[ \sigma_{ij} = -= -\sum_k=1^3 -\sum_l=1^3 +\sum_{k=1}^3 +\sum_{l=1}^3 C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl} \] - -Um die Berechnung an einem Beispiel zu veranschaulichen: +ausgedrückt werden können. +Die Normalspannung $\sigma_{11}$ lässt sich exemplarisch mit \[ \sigma_{22} = \frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33} \] +berechnen. -Anhand dem Tensor der allgemeinen Spannungsgleichung kann man zwar eine Symmetrie erkennen. -Die verschiedenen Einträge wechseln sich aber mit einander ab und es gibt keine klaren Blöcke mit nur einem gleichen Eintrag. -Man greift deshalb auf die Voigt'sche Notation zurück. - - -Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus: +Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors. +Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab. +Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen. +Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch Elastizitätstensor symmetrisch sind. +Wäre dem nicht so, würde sich das Material je nach Richtung unterschiedlich elastisch verhalten. +Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass +\[ +\sigma_{12} += +\sigma_{21} +, +\sigma_{13} += +\sigma_{31} +, +\sigma_{23} += +\sigma_{32} +\] +und folglich auch +\[ +\varepsilon_{12} += +\varepsilon_{21} +, +\varepsilon_{13} += +\varepsilon_{31} +, +\varepsilon_{23} += +\varepsilon_{32} +\] +gilt. +Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation ausgenutzt um die Gleichung vereinfachen zu können. +Durch diese Symmetrie gilt \[ \overline{\sigma} = @@ -208,7 +286,9 @@ Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus: & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ sym & & \sigma_{33} \end{pmatrix} +\qquad \Rightarrow +\qquad \vec{\sigma} = \begin{pmatrix} @@ -220,22 +300,7 @@ Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus: \sigma_{12} \end{pmatrix} \] - -In der Voigt'sche Notation hat man die Reihenfolge von der Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten. -Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben um den Vektor zu erhalten. - -Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix. -So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ und $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$. -Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen. -Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material. -Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen. -Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen. -Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung 3 geht, -oder auf der Achse 3 in Richtung 2. - -Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken. -Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um. - +und entsprechend \[ \overline{\varepsilon} = @@ -247,7 +312,7 @@ Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um. = \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ - & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \text{sym} & & \varepsilon_{33} \end{pmatrix} \qquad @@ -263,31 +328,17 @@ Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um. \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} \end{pmatrix} -\] +\]. - -Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul, -der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben. -Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor. -Die Gleichung besagt: -\[ -\text{Spannungsvektor} -= -\text{Elastizitätstensor}\cdot\text{Dehnungsvektor} -\] +Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je 6 Einträgen darstellen. +Der Elastizitätstensor kann entsprechend auf eine $6\times6$ Matrix reduziert werden. +Es lässt sich nun eine reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \[ \vec{\sigma} = \overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon} \] - -Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor. -Der Tensor hat sich also im Vergleich zum 9 x 9 Tensor verkleinert. -Dies ist deshalb der Fall, da man in den Achsen 2 und 3 Symmetrien hat. -Dadurch kann man die Einträge $(\varepsilon_{21}=\varepsilon_{12}; \varepsilon_{31}=\varepsilon_{13}; \varepsilon_{32}=\varepsilon_{23})$ -zusammenfassen und drei Einträge verschwinden, da drei Dehnungen gleich sind. -Das ganze sieht dann wie folgt aus: - +beziehungsweise \[ \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ @@ -315,11 +366,10 @@ Das ganze sieht dann wie folgt aus: \varepsilon_{12} \end{pmatrix} \] - -Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen. -Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind. -Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein. -Das sind folgendermassen aus: +beschreiben. +Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise besteht so aus der Summe aller 6 Produkte der Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$. +Die Symmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors bleibt auch hier erhalten. +Nun lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \[ \begin{pmatrix} @@ -348,9 +398,9 @@ Das sind folgendermassen aus: \varepsilon_{12} \end{pmatrix} \] - -Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken. -Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz. +beschreiben. +Die Konstanten $C$ und $\nu$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert. +Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: \[ \begin{pmatrix} @@ -379,25 +429,25 @@ Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz. \varepsilon_{13}\\ \varepsilon_{12} \end{pmatrix} -\] +\]. -Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt, -sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken. -Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also, +Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also, dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben. -Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich bei der allgemeinen Darstellung der Spannungsgleichung, -die Einträge verschoben haben. Man hat nun eine sehr vorteilhafte Anordnung der verschiedenen Blöcke im Tensor. -Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen. -Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$ und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben. -Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3. -Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$. +Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben. +Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die $3\times3$ Blöcke. + +Man betrachte als Beispiel die Berechnung von $\sigma_{33}$. +Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben. +Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss. +Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss. -Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um. +Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man noch die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$ um die Gleichung umstellen zu können. +Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung: \[ \vec{\varepsilon} = -\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma} +\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}\cdot \vec{\sigma} \] \[ @@ -427,25 +477,27 @@ Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\ove \sigma_{13}\\ \sigma_{12} \end{pmatrix} -\] - -Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden. -Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert. -Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung. +\]. +Die zwei $3\times3$ Blöcke links unten und rechts oben sind folglich noch vorhanden. +Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man mit \[ \varepsilon_{22} = \frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33} += +\frac{1}{E}\cdot(\sigma_{22}-\nu\cdot\sigma_{11}-\nu\cdot\sigma_{33}) \] -$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2. -In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab. -Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner. -Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle. -Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss. +die Dehnung $\varepsilon_{22}$. +Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab. +Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert. +Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich +\[ +\nu += +0.5 +\]. + -Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen. -In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen. -Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind. |