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diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 8be0bdc..afd2c21 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -1,16 +1,22 @@ \section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}} \rhead{Dreiachsiger Spannungszustand} Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen. -Ein Tensor 0.Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben. -Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} + \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen} + \label{fig:infinitesimalerWuerfel} +\end{figure} +Ein Tensor 0. Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben. +Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2. Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. Die Spannungen sind durch die zwei Indizes \[ i, j\in\left\{1, 2, 3\right\} \] - definiert. -Daher ergeben sich die 9 Spannungen. -Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als 3x3 Matrix mit +Daher ergeben sich die neun Spannungen. +Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche Notation} beschrieben. +Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit \[ \overline{\sigma} = @@ -23,13 +29,12 @@ Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als 3x3 Matrix mit \end{pmatrix} \] dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand. -Die Dehnungen wirken adäquat zu den Spannungen und sind durch die zwei Indizes +Die Dehnungen wirken in die gleichen Richtungen wie die korrespondierenden Spannungen und sind durch die zwei Indizes \[ k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} \] - definiert. -Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit +Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit \[ \overline{\varepsilon} = @@ -43,14 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.Stufe und kann somit auch als $3\t \] dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} - \caption{Infinitesimales Bodenteilchen} - \label{fig:infintesimaler-wurfel} -\end{figure} - -Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. +Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt. So ergibt sich der Spannungsvektor @@ -108,22 +106,22 @@ und Dehnungsvektor \varepsilon_{32} \\ \varepsilon_{33} \end{pmatrix} -\]. - -Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2.Stufen ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4.Stufe benötigt. -Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0.Stufe und somit ein Skalar. -Dieses Skalar ist das Elastizitätsmodul $E$. +. +\] +Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2. Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4. Stufe benötigt. +Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0. Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$. -Dieser Elastizitätstensor 4.Stufe kann als Tensor 2.Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. -So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun ein Vektor mit einer Matrix operiert. +Dieser Elastizitätstensor 4. Stufe kann als Tensor 2. Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. +So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert. Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen. Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes \[ i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} +, \] -, die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist. -Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein mit +die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist. +Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein \[ \overline{\overline{C}} = @@ -141,25 +139,26 @@ C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{ C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333} \end{pmatrix} \] -ausgedrückt wird. +geschrieben werden kann. Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein. Folglich gilt: \[ \overline{\overline{C}} = \overline{\overline{C}}~^{T} -\]. - +. +\] Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun: \[ \vec\sigma = \overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon} -\]. - +. +\] Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert. -Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist muss eine weitere Kennzahl eingeführt werden. -Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche mit +Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist, +muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden. +Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche durch \[ \nu = @@ -168,17 +167,11 @@ Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche mit \frac{\Delta b}{b_0} \] und -\[ -\varepsilon -= -\text{Längsdehnung [$-$]} -\] -\[ -\varepsilon_q -= -\text{Querdehnung [$-$]} -\] -definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein ergibt sich +\begin{align*} + \varepsilon &= \text{Längsdehnung [$-$]} \\ + \varepsilon_q &= \text{Querdehnung [$-$]} +\end{align*} +definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich \[ \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ @@ -215,9 +208,9 @@ definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein ergibt sich \varepsilon_{32} \\ \varepsilon_{33} \end{pmatrix} +, \] - -, welche ebenfalls als Indexnotation mit +welche ebenfalls als Indexnotation mit \[ \sigma_{ij} = @@ -225,9 +218,8 @@ definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein ergibt sich \sum_{l=1}^3 C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl} \] -ausgedrückt werden können. -Die Normalspannung $\sigma_{11}$ lässt sich exemplarisch mit - +ausgedrückt werden kann. +Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als \[ \sigma_{22} = @@ -247,10 +239,12 @@ Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass = \sigma_{21} , +\qquad \sigma_{13} = \sigma_{31} , +\qquad \sigma_{23} = \sigma_{32} @@ -261,16 +255,18 @@ und folglich auch = \varepsilon_{21} , +\qquad \varepsilon_{13} = \varepsilon_{31} , +\qquad \varepsilon_{23} = \varepsilon_{32} \] gilt. -Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation ausgenutzt um die Gleichung vereinfachen zu können. +Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation \cite{spannung:Voigtsche Notation} ausgenutzt, um die Gleichung vereinfachen zu können. Durch diese Symmetrie gilt \[ \overline{\sigma} @@ -284,7 +280,7 @@ Durch diese Symmetrie gilt \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ - sym & & \sigma_{33} + \text{sym} & & \sigma_{33} \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow @@ -328,9 +324,10 @@ und entsprechend \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} \end{pmatrix} -\]. +. +\] -Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je 6 Einträgen darstellen. +Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je sechs Einträgen darstellen. Der Elastizitätstensor kann entsprechend auf eine $6\times6$ Matrix reduziert werden. Es lässt sich nun eine reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \[ @@ -350,12 +347,12 @@ beziehungsweise \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ - C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ - C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ - C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ - C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ - C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} + C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ + C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ + C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ + C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ + C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\ + C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ @@ -367,9 +364,9 @@ beziehungsweise \end{pmatrix} \] beschreiben. -Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise besteht so aus der Summe aller 6 Produkte der Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$. +Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise erhält man, wenn man die sechs Produkte aus den Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$ summiert. Die Symmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors bleibt auch hier erhalten. -Nun lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit +Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \[ \begin{pmatrix} @@ -382,12 +379,12 @@ Nun lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ - & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ - & & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ - & & & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ - & & & & C_{55} & C_{56} \\ - \text{sym} & & & & & C_{66} + C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ + & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ + & & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ + & & & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ + & & & & C_{1313} & C_{1312} \\ + \text{sym} & & & & & C_{1212} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ @@ -399,9 +396,8 @@ Nun lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \end{pmatrix} \] beschreiben. -Die Konstanten $C$ und $\nu$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert. +Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert. Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: - \[ \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ @@ -429,10 +425,11 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: \varepsilon_{13}\\ \varepsilon_{12} \end{pmatrix} -\]. +. +\] Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also, -dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben. +dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben. Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben. Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die $3\times3$ Blöcke. @@ -477,27 +474,18 @@ Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung: \sigma_{13}\\ \sigma_{12} \end{pmatrix} -\]. - +. +\] Die zwei $3\times3$ Blöcke links unten und rechts oben sind folglich noch vorhanden. -Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man mit +Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man die Dehnung \[ \varepsilon_{22} = \frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33} = \frac{1}{E}\cdot(\sigma_{22}-\nu\cdot\sigma_{11}-\nu\cdot\sigma_{33}) +. \] - -die Dehnung $\varepsilon_{22}$. Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab. Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert. -Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich -\[ -\nu -= -0.5 -\]. - - - +Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=0.5$.
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