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diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 8bf1968..fec0120 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -4,17 +4,17 @@ Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.30\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} - \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen} + \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchens} \label{fig:infinitesimalerWuerfel} \end{figure} Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben. -Um den 3D-Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. +Um den 3D-Spannungszustand als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. Die Spannungen sind durch die zwei Indizes \( i, j\in\left\{1, 2, 3\right\} \) definiert. -Daher ergeben sich die neun Spannungen. +Daher ergeben sich die $9$ Spannungen. Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben. Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit \[ @@ -48,7 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.~Stufe und kann somit auch als $3\ \] dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand. -Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. +Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welcher ein Spaltenvektor ist. Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt. So ergibt sich der Spannungsvektor @@ -114,8 +114,8 @@ Dieser ist im 1D-Spannungszustand ein Tensor 0.~Stufe und somit ein Skalar, der Dieser Elastizitätstensor 4.~Stufe kann als Tensor 2.~Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert. -Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen neun Dehnungen mit Konstanten erfassen. -Dies bedeutet um eine von neun Spannungen berechnen zu können müssen alle neun Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. +Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen $9$ Dehnungen mit Konstanten erfassen. +Dies bedeutet um eine von $9$ Spannungen berechnen zu können müssen alle $9$ Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den vier Indizes \( i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} @@ -233,7 +233,7 @@ Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich zum Beispiel als berechnen. \section{Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen} - +\rhead{Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen} Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors. Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab. Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen. @@ -354,14 +354,19 @@ beziehungsweise \sigma_{12} \end{pmatrix} = +%\left( +%\begin{array}{ccc|ccc} \begin{pmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ +%\hline C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212} \end{pmatrix} +%\end{array} +%\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ @@ -417,14 +422,19 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: \end{pmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} -\begin{pmatrix} +\left( +\begin{array}{ccc|ccc} +%\begin{pmatrix} 1- 2\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ \nu & 1- 2\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ \nu & \nu & 1- 2\nu & 0 & 0 & 0\\ +\hline 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} -\end{pmatrix} +%\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ @@ -468,14 +478,19 @@ Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung: \end{pmatrix} = \frac{1}{E} -\begin{pmatrix} +\left( +\begin{array}{ccc|ccc} +%\begin{pmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ +\hline 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu -\end{pmatrix} +%\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ |