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path: root/buch/papers/spannung
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Diffstat (limited to 'buch/papers/spannung')
-rw-r--r--buch/papers/spannung/Einleitung.tex173
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10 files changed, 498 insertions, 437 deletions
diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
index 37c2ec2..0cb1433 100644
--- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -1,118 +1,89 @@
\section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}}
-In diesem Kapitel geht es darum die Matrix im dreidimensionalen Spannungszustand genauer zu untersuchen.
-In der Geotechnik wendet man solche Matrizen an, um Spannungen im Boden zu berechnen.
-Mit diesen Grundlagen dimensioniert man beispielsweise Böschungen, Fundationen, Dämme und Tunnels.
-Ebenfalls benötigt man diese Matrix, um aus Versuchen Kennzahlen über den anstehenden Boden zu gewinnen.
-Besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Oedometer - Versuch.
+\rhead{Einleitung}
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt die Beziehung von Spannung und Dehnung von linear-elastischen Materialien im Eindimensionalen.
+In diesem Kapitel geht es darum das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben.
+Durch variable Krafteinwirkungen entstehen in jedem Punkt des Materials eine Vielzahl an unterschiedlichen Spannungen.
+In jedem erdenklichen Punkt im Dreidimensionalen herrscht daher ein entsprechender individueller Spannungszustand.
+Um das Hook'sche Gesetz für den 3D Spannungszustand formulieren zu können, reichen Skalare nicht aus.
+Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zur Hilfe gezogen.
+Mit diesen lässt sich eine Spannungsformel für den 3D Spannungszustand bilden.
+Diese Spannungsformel ist Grundlage für Computerprogramme und geotechnische Versuche, wie der Oedometer-Versuch.
-Bei dieser Untersuchung der zugehörigen Berechnungen hat man es mit Vektoren, Matrizen und Tensoren zu tun.
Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
-Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen,
-damit sich den Berechnungen schlüssig folgen lässt.
+Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen.
+In diesem Kapitel gehen wir auch auf die Zusammenhänge von Spannung, Dehnungen und Verformungen an elastischen Materialien ein,
+wie sie in gängigen Lehrbüchern der Mechanik oder der Geotechnik behandelt werden, z.~B.~\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}.
-In diesem Kapitel hat man es insbesondere mit Spannungen und Dehnungen zu tun.
-Mit einer Spannung ist hier jedoch keine elektrische Spannung gemeint,
-sondern eine Kraft geteilt durch Fläche.
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
+\rhead{Spannungsausbreitung}
+Die Geotechnik ist eine Ingenieurdisziplin, bei welcher man Erdbau und den Erdbau tangierende Bauwerke dimensioniert.
+Sie beinhaltet aber auch die statische Beurteilung von Boden und Fels.
-\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Wichtige Begriffe}}
-\[
-l_0
-=
-\text{Ausgangslänge [\si{\meter}]}
-\]
-\[
-\Delta l
-=
-\text{Längenänderung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
-\]
-\[
-\Delta b
-=
-\text{Längenänderung in Querrichtung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
-\]
-\[
-\varepsilon
-=
-\text{Dehnung [$-$]}
-\]
+Belastet man den Boden mit einer Spannung
\[
\sigma
=
-\text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]}
-\]
-\[
-E
-=
-\text{Elastizitätsmodul [\si{\kilo\pascal}]}
-\]
-\[
-\nu
-=
-\text{Querdehnungszahl; Poissonzahl [$-$]}
-\]
-\[
-F
-=
-\text{Kraft [\si{\kilo\newton}]}
-\]
-\[
-A
-=
-\text{Fläche [\si{\meter\squared}]}
-\]
-\[
-t
-=
-\text{Tiefe [\si{\meter}]}
-\]
-\[
-s
-=
-\text{Setzung, Absenkung [m]}
+\frac{F}{A}
+,
\]
+so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert.
+Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen.
+Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus.
+Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
+ \caption{Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden infolge einfacher Flächenlast}
+ \label{fig:Bild4}
+\end{figure}
-Beziehungen
+Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung 1.2).
+Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
+Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$.
+Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt.
+Das können beispielsweise jenste Bodenkennwerte oder auch der Wassergehalt sein.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
+ \caption{Funktionen der Spannung und Dehnung im Zusammenhang mit der Tiefe}
+ \label{fig:Bild5}
+\end{figure}
+
+Bei jeder dieser Zusatzspannung geht eine entsprechende Zusatzdehnung des Bodens einher, welche eine Setzung bedeutet.
+Im einfachsten Fall kann modellhaft mit
\[
\varepsilon
=
-\frac{\Delta l}{l_0}
-\]
-\[
-\varepsilon_q
-=
-\frac{\Delta b}{l_0}
-=
-\varepsilon\cdot\nu
-\]
-\[
-\sigma
-=
-\frac{N}{A}
-\]
-\[
-F
-=
-\int_{A} \sigma dA
+\frac{\sigma}{E}
\]
+die Setzung an einem Punkt an der Bodenoberfläche mit
\[
-\varepsilon^{\prime}
+s
=
-\frac{1}{l_0}
-\]
+\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\]
+berechnet werden mit:
+\begin{align*}
+ \varepsilon &= \text{Dehnung [$-$]} \\
+ \sigma &= \text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]} \\
+ E &= \text{Elastizitätsmodul; Young-Modul [\si{\kilo\pascal}]}\\
+ t &= \text{Tiefe [\si{\meter}]} \\
+ s &= \text{Setzung, Absenkung [m].}
+\end{align*}
+Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben.
+In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen.
+Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung 1.3).
+Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen.
+Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$.
+Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden.
+Diese beruht auf Annahmen nach Hooke auf einem linear-elastischen Boden.
+Generell wird im Ingenieurwesen versucht Phänomene möglichst nach dem Hook'schen Gesetz abbilden zu können.
-\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Tensoren}}
-Tensoren wurden als erstes in der Elastizitätstheorie eingesetzt. (Quelle Herr Müller)
-In der Elastizitätstheorie geht es darum viele verschiedene Komponenten zu beschreiben.
-Mit einer Matrix oder einem Vektor kann man dies nicht mehr bewerkstelligen.
-Wenn man den dreidimensionalen Spannungszustand abbilden möchte, müsste man mehrere Vektoren haben.
-Deshalb wurden 1840 von Rowan Hamilton Tensoren in die Mathematik eingeführt.
-Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
-Albert Einstein hat Tensoren zudem in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt.
-Tensor sind eine Stufe höher als Matrizen. Matrizen sind 2. Stufe.
-Da Tensoren eine Stufe höher sind, kann man auch Matrizen, Vektoren und Skalare als Tensoren bezeichnen.
-Der Nachteil von den Tensoren ist, dass man die gewohnten Rechenregeln, die man bei Vektoren oder Matrizen kennt,
-nicht darauf anwenden kann. Man ist deshalb bestrebt die Tensoren als Vektoren und Matrizen darzustellen,
-damit man die gewohnten Rechenregeln darauf anwenden kann. (Quelle Wikipedia)
-In der vorliegenden Arbeit sind bereits alle Tensoren als Matrizen 2. Stufe abgebildet.
-Trotzdem kann man diese Matrizen wie vorher beschrieben als Tensor bezeichnen.
-Da diese als Matrizen abgebildet sind, dürfen wir die bekannten Rechenregeln auf unsere Tensoren anwenden. \ No newline at end of file
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
+ \caption{Beispiel eines Lastauftrags auf den Boden bei einer komplexeren Situation, welches kompliziertere Spannungsausbreitung zur Folge hat}
+ \label{fig:Bild3}
+\end{figure}
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png
new file mode 100644
index 0000000..32b627e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png
new file mode 100644
index 0000000..d1321a4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
index 398529c..2c359e6 100644
--- a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/spannung/references.bib b/buch/papers/spannung/references.bib
index ed5703c..02f8d09 100644
--- a/buch/papers/spannung/references.bib
+++ b/buch/papers/spannung/references.bib
@@ -4,27 +4,46 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
-@online{spannung:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
- year = {2020},
- month = {2},
+@online{spannung:Tensor,
+ title = {Tensor},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor},
+ date = {2021-05-29},
+ year = {2021},
+ month = {5},
day = {6}
}
-@book{spannung:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
+@online{spannung:Voigtsche-Notation,
+ title = {Voigtsche Notation},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Voigtsche_Notation},
+ date = {2021-05-29},
+ year = {2021},
+ month = {5},
+ day = {6}
+}
+
+@book{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik,
+ title = {Grundlagen der Geotechnik},
+ author = {Hans-Henning Schmidt and Roland F. Buchmaier and Carola Vogt-Breyer},
+ publisher = {Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH},
+ year = {2017},
+ isbn = {978-3-658-14930-7},
+ inseries = {Geotechnik nach Eurocode},
+ volume = {5}
+}
+
+@book{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik,
+ title = {Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik},
+ author = {Carlo Rabaiotti and Alessio Höttges},
+ publisher = {Hochschule Rapperswil},
+ year = {2021},
+ isbn = {},
+ inseries = {},
+ volume = {}
}
@article{spannung:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+ author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
year = 2019,
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index 2f4d23b..ffc9009 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,56 +1,82 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
-\rhead{Spannungsausbreitung}
-Anhand untenstehendem Bild kann ein einfaches Beispiel betrachtet werden.
-Es gibt eine Flächenlast (Kraft), diese wird auf den Boden abgetragen.
-Diese Last muss dann vom Boden aufgenommen werden.
-Im Boden entsteht nebst der Eigenspannung eine weitere Spannung durch diese Last (Zusatzspannung).
-Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist abhängig von $(x,y,t)$.
-Je nach dem, wo man sich im Boden befindet variert die Spannung.
-Mit der Tiefe wird die Zusatzspannung geringer.
-Die Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden hat die Form einer Zwiebel.
-Durch Untersuchung der Spannung an verschiedenen Punkten im Boden, kann man eine Funktion abtragen.
-Dasselbe macht man auch mit der Dehnung. Es zeigt sich, dass die Form der beiden Funktionen gleich ist.
-Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional zueinander sind.
-\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
- \caption{Ausbreitung der Spannung im Boden}
- \label{fig:Bild4}
-\end{figure}
+\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
+\rhead{Der Spannungszustand}
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4).
+Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
- \caption{Funktionen Spannung und Dehnung}
- \label{fig:Bild5}
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png}
+ \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen}
+ \label{fig:Bild2}
\end{figure}
-Anhand eines etwas schwierigeren Beispiels sieht man,
-dass die Spannungsausbreitung nicht immer ganz einfach ist.
-Man hat hier eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen wurde.
-Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung $\sigma$ von drei Variablen abhängig ist $(x,y,t)$.
-Ansätze um die Spannungsausbreitung zu berechnen gibt es je nach Bodentyp verschiedene.
+Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen,
+sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist.
+Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$.
+Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt.
+So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind.
+Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
+Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
+Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
+
+
+\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
+\rhead{Spannungszustand}
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5).
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
+Nach Hooke gilt:
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+.
+\]
+Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man
+\[
+\frac{F}{A}
+=
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+=
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+und somit
+\[
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+,
+\]
+mit
+\begin{align*}
+ l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\
+ A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].}
+\end{align*}
+Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen.
+Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
- \caption{Beispiel Lastauftrag auf Boden}
- \label{fig:Bild3}
+ \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
+ \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
+ \label{fig:Bild1}
\end{figure}
-
-Die Spannungsausbreitung ist uns jedoch gegeben, es geht nicht darum, dies genauer zu untersuchen.
-Durch die Spannungsausbreitung und das Elastizitätsmodul kann man eine Dehnung berechnen.
-Anhand dieser Dehnung kann man mit einem Integral wiederum die Setzung berechnen.
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
\[
-\varepsilon
+\sigma
=
-\frac{\sigma}{E}
+E\cdot\varepsilon
\]
+beschreiben.
+Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch
\[
-s
+E
=
-\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
\]
-Die Setzung zu bestimmen ist in der Geotechnik sehr wichtig.
-Besonders ungleichmässige Setzungen können bei Bauwerken Probleme ergeben.
-Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt. \ No newline at end of file
+ausgedrückt werden. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 9467d21..74516c1 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,41 +1,24 @@
-\section{Proportionalität Spannung-Dehnung\label{spannung:section:Proportionalität Spannung-Dehnung}}
-\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
-Das Hook'sche Gesetz beschreibt die elastische Längenänderung von Festkörpern im Zusammenhang mit einer Krafteinwirkung.
-Die Längenänderung $\Delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung $F$.
-\[
-F
-\sim
-\Delta l
-\]
-Man kann dies nur im Bereich vom linearen-elastischen Materialverhalten anwenden.
-Das heisst, dass alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt.
-Es findet somit keine dauernde Verformung statt.
-Da es sehr praktisch ist die Längenänderung nicht absolut auszudrücken haben wir $\varepsilon$.
-Die Dehnung $\varepsilon$ beschreibt die relative Längenänderung.
-Die Dehnung $\varepsilon$ ist wiederum proportional zu der aufgebrachten Spannung.
-Im Bauingenieurwesen hat man es oft mit grösseren Teilen oder grösseren Betrachtungsräumen zu tun.
-Da ist es nun natürlich sehr sinnvoll, wenn wir nicht mit absoluten Zahlen rechnen,
-sondern unabhängig von der Länge den Zustand mit Dehnung $\varepsilon$ beschreiben können.
-Mithilfe vom E-Modul, (steht für Elastizitätsmodul) einer Proportionalitätskonstante,
-kann man das in eine Gleichung bringen, wie man hier sieht. Das E-Modul beschreibt,
-das Verhältnis von Kraftaufnahme eines Werkstoffes und dessen zusammenhängender Längenveränderung.
-(Quelle Wikipedia)
-\[
-\sigma
-=
-E\cdot\varepsilon
-\]
-\[
-E
-=
-\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
-=
-const.
-\]
+\section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}}
+\rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren}
+Der Begriff Tensor kann als Überbegriff, der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
+Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet.
+Ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix ist daher auch ein Tensor.
+Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe.
+Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden.
+Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar.
+Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden.
+Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor.
+Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor.
-Aus diesem Verhältnis kann man das E-Modul berechnen.
-Je nach Material ist dies verschieden.
-Das E-Modul lässt sich nur im linearen-elastischen Materialverhalten anwenden.
-Für Bodenmaterial gibt es ein spezielles E-Modul. Dieses wird mit dem Oedometer-Versuch ermittelt.
-Es wird mit $E_{OED}$ ausgedrückt. Dieser Versuch wird später noch beschrieben.
-Der Oedometer-Versuch ist abhängig von den diesem Kapitel zu untersuchenden Matrizen. \ No newline at end of file
+Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln.
+So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2.
+Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben.
+
+Der Begriff Tensor wurde 1840 von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt.
+James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben.
+Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
+Er hat in der Elastizitätstheorie als erstes Tensoren eingesetzt und beschrieben.
+Auch Albert Einstein hat solche Tensoren eingesetzt,
+um in der Relativitätstheorie die Änderung der 4D Raumzeit beschreiben zu können.
+\cite{spannung:Tensor}
+\cite{spannung:Voigtsche-Notation}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 7dcf65f..921d2b8 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,34 +1,57 @@
\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
-\rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
-Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand.
-Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können, führt man einen infinitesimales Bodenteilchen ein.
-Das Bodenteilchen ist geometrisch gesehen ein Würfel.
-An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen.
-
+\rhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
+Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen.
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
- \caption{Infinitesimales Bodenteilchen}
- \label{fig:infintesimaler-wurfel}
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+ \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen}
+ \label{fig:infinitesimalerWuerfel}
\end{figure}
+Ein Tensor 0. Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben.
+Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2. Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
+Die Spannungen sind durch die zwei Indizes
+\[
+i, j\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Daher ergeben sich die neun Spannungen.
+Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben.
+Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
+ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand.
+Die Dehnungen wirken in die gleichen Richtungen wie die korrespondierenden Spannungen und sind durch die zwei Indizes
+\[
+k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
-An diesem infinitesimalen Bodenteilchen hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
-Die Achsen vom Koordinatensystem zeigen aus den 3 ersichtlichen Flächen heraus.
-Pro ersichtliche Fläche haben wir eine Normalspannung und zwei Schubspannungen.
-Im Gegensatz zum eindimensionalen Zustand entstehen bei einer Belastung des Bodenteilchens eine Vielzahl an Spannungen.
-Es entstehen diverse Normal- und Schubspannungen.
-Die Schubspannungen befinden sich an der Fläche, sie gehen rechtwinklig von den Achsen weg.
-Die Schubspannungen auf einer Fläche stehen im 90 Grad Winkel zueinander.
-Geschrieben werden diese mit $\sigma$, mit jeweils zwei Indizes.
-Die Indizes geben uns an, in welche Richtung die Spannungen zeigen.
-Der erste Index ist die Fläche auf welcher man sich befindet.
-Der zweite Index gibt an, in welche Richtung die Spannung zeigt, dabei referenzieren die Indizes auch auf die Achsen $(1,2,3)$.
-Bei den Spannungen sind immer positive als auch negative Spannungen möglich.
-Es können also Druck- oder Zugspannungen sein.
-
-Zunächst wird untenstehend der allgemeine Spannungszustand betrachtet.
+Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
+Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
+So ergibt sich der Spannungsvektor
-Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3}
\[
\overline{\sigma}
=
@@ -39,7 +62,6 @@ Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3}
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}
-=
\qquad
\Rightarrow
\qquad
@@ -57,9 +79,7 @@ Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3}
\sigma_{33}
\end{pmatrix}
\]
-
-Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3}
-
+und Dehnungsvektor
\[
\overline{\varepsilon}
=
@@ -70,7 +90,6 @@ Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3}
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
-=
\qquad
\Rightarrow
\qquad
@@ -87,13 +106,22 @@ Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3}
\varepsilon_{32} \\
\varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
+.
\]
-
-Bei diesen zwei obenstehenden Formeln kann man sehen wie Matrizen zu einem Vektor umgewandelt wurden.
-Unter dem Kapitel Hadamard-Algebra kann man sehen, dass man dabei Zeile um Zeile in eine Spalte schreiben kann,
-sodass es einen Vektor ergibt.
-
-Elastizitätstensor 4. Stufe i,j,k,l $\in$ {1,2,3}
+Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2. Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4. Stufe benötigt.
+Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0. Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$.
+
+Dieser Elastizitätstensor 4. Stufe kann als Tensor 2. Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden.
+So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert.
+Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen.
+Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
+Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes
+\[
+i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+,
+\]
+die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist.
+Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein
\[
\overline{\overline{C}}
=
@@ -104,32 +132,46 @@ C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{
C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
-C_{2211} & C_{2212} & C_{1113} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
+C_{2211} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
\end{pmatrix}
\]
-
-Dieser Elastizitätstensor muss eine quadratische Matrix mit $3^{4}$ Einträgen ergeben,
-da die Basis mit den drei Richtungen $1, 2, 3$ und die Potenz mit den 4 Indizes mit je $1, 2, 3$ definiert sind.
-Dies gibt daher eine 9 x 9 Matrix, welche zudem symmetrisch ist.
-
+geschrieben werden kann.
+Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein.
Folglich gilt:
\[
\overline{\overline{C}}
=
\overline{\overline{C}}~^{T}
+.
\]
-
-Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor)
+Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
\[
\vec\sigma
=
\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+.
\]
-
+Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert.
+Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist,
+muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden.
+Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche durch
+\[
+\nu
+=
+\frac{\varepsilon_q}{\varepsilon}
+=
+\frac{\Delta b}{b_0}
+\]
+und
+\begin{align*}
+ \varepsilon &= \text{Längsdehnung [$-$]} \\
+ \varepsilon_q &= \text{Querdehnung [$-$]}
+\end{align*}
+definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich
\[
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}\\
@@ -166,34 +208,66 @@ Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor)
\varepsilon_{32} \\
\varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
+,
\]
-
-Man kann das zudem auch als Indexnotation aufschreiben.
-
+welche ebenfalls als Indexnotation mit
\[
\sigma_{ij}
=
-=
-\sum_k=1^3
-\sum_l=1^3
+\sum_{k=1}^3
+\sum_{l=1}^3
C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
\]
-
-Um die Berechnung an einem Beispiel zu veranschaulichen:
-
+ausgedrückt werden kann.
+Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
\[
\sigma_{22}
=
\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
\]
+berechnen.
-Anhand dem Tensor der allgemeinen Spannungsgleichung kann man zwar eine Symmetrie erkennen.
-Die verschiedenen Einträge wechseln sich aber mit einander ab und es gibt keine klaren Blöcke mit nur einem gleichen Eintrag.
-Man greift deshalb auf die Voigt'sche Notation zurück.
-
-
-Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
+Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors.
+Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab.
+Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen.
+Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch Elastizitätstensor symmetrisch sind.
+Wäre dem nicht so, würde sich das Material je nach Richtung unterschiedlich elastisch verhalten.
+Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass
+\[
+\sigma_{12}
+=
+\sigma_{21}
+,
+\qquad
+\sigma_{13}
+=
+\sigma_{31}
+,
+\qquad
+\sigma_{23}
+=
+\sigma_{32}
+\]
+und folglich auch
+\[
+\varepsilon_{12}
+=
+\varepsilon_{21}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{13}
+=
+\varepsilon_{31}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{23}
+=
+\varepsilon_{32}
+\]
+gilt.
+Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation \cite{spannung:Voigtsche-Notation} ausgenutzt, um die Gleichung vereinfachen zu können.
+Durch diese Symmetrie gilt
\[
\overline{\sigma}
=
@@ -206,9 +280,11 @@ Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
& \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
- sym & & \sigma_{33}
+ \text{sym} & & \sigma_{33}
\end{pmatrix}
+\qquad
\Rightarrow
+\qquad
\vec{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
@@ -220,22 +296,7 @@ Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
\sigma_{12}
\end{pmatrix}
\]
-
-In der Voigt'sche Notation hat man die Reihenfolge von der Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
-Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben um den Vektor zu erhalten.
-
-Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix.
-So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ und $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
-Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen.
-Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material.
-Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen.
-Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen.
-Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung 3 geht,
-oder auf der Achse 3 in Richtung 2.
-
-Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken.
-Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
-
+und entsprechend
\[
\overline{\varepsilon}
=
@@ -247,7 +308,7 @@ Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
=
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
- & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+ & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\text{sym} & & \varepsilon_{33}
\end{pmatrix}
\qquad
@@ -263,31 +324,18 @@ Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
\varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
+.
\]
-
-Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul,
-der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben.
-Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor.
-Die Gleichung besagt:
-\[
-\text{Spannungsvektor}
-=
-\text{Elastizitätstensor}\cdot\text{Dehnungsvektor}
-\]
+Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je sechs Einträgen darstellen.
+Der Elastizitätstensor kann entsprechend auf eine $6\times6$ Matrix reduziert werden.
+Es lässt sich nun eine reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
\[
\vec{\sigma}
=
\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
\]
-
-Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor.
-Der Tensor hat sich also im Vergleich zum 9 x 9 Tensor verkleinert.
-Dies ist deshalb der Fall, da man in den Achsen 2 und 3 Symmetrien hat.
-Dadurch kann man die Einträge $(\varepsilon_{21}=\varepsilon_{12}; \varepsilon_{31}=\varepsilon_{13}; \varepsilon_{32}=\varepsilon_{23})$
-zusammenfassen und drei Einträge verschwinden, da drei Dehnungen gleich sind.
-Das ganze sieht dann wie folgt aus:
-
+beziehungsweise
\[
\begin{pmatrix}
\sigma_{11} \\
@@ -299,12 +347,12 @@ Das ganze sieht dann wie folgt aus:
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
- C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
- C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
- C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
- C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
- C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}
+ C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
+ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\
+ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} \\
@@ -315,11 +363,10 @@ Das ganze sieht dann wie folgt aus:
\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
\]
-
-Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen.
-Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind.
-Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein.
-Das sind folgendermassen aus:
+beschreiben.
+Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise erhält man, wenn man die sechs Produkte aus den Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$ summiert.
+Die Symmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors bleibt auch hier erhalten.
+Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
\[
\begin{pmatrix}
@@ -332,12 +379,12 @@ Das sind folgendermassen aus:
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
- & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
- & & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
- & & & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
- & & & & C_{55} & C_{56} \\
- \text{sym} & & & & & C_{66}
+ C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+ & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+ & & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+ & & & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
+ & & & & C_{1313} & C_{1312} \\
+ \text{sym} & & & & & C_{1212}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} \\
@@ -348,10 +395,9 @@ Das sind folgendermassen aus:
\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
\]
-
-Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken.
-Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz.
-
+beschreiben.
+Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert.
+Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
\[
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}\\
@@ -379,25 +425,26 @@ Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz.
\varepsilon_{13}\\
\varepsilon_{12}
\end{pmatrix}
+.
\]
-Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt,
-sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken.
-Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also,
-dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
-Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich bei der allgemeinen Darstellung der Spannungsgleichung,
-die Einträge verschoben haben. Man hat nun eine sehr vorteilhafte Anordnung der verschiedenen Blöcke im Tensor.
-Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen.
-Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$ und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
-Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3.
-Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$.
+Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben.
+Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die $3\times3$ Blöcke.
-Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um.
+Man betrachte als Beispiel die Berechnung von $\sigma_{33}$.
+Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss.
+Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss.
+
+Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man noch die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$ um die Gleichung umstellen zu können.
+Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung:
\[
\vec{\varepsilon}
=
-\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}\cdot \vec{\sigma}
\]
\[
@@ -427,25 +474,18 @@ Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\ove
\sigma_{13}\\
\sigma_{12}
\end{pmatrix}
+.
\]
-
-Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden.
-Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert.
-Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung.
-
+Die zwei $3\times3$ Blöcke links unten und rechts oben sind folglich noch vorhanden.
+Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man die Dehnung
\[
\varepsilon_{22}
=
\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+=
+\frac{1}{E}\cdot(\sigma_{22}-\nu\cdot\sigma_{11}-\nu\cdot\sigma_{33})
+.
\]
-
-$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2.
-In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab.
-Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner.
-Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle.
-Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss.
-
-Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen.
-In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen.
-Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind.
-
+Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab.
+Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert.
+Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=0.5$.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 500c404..8d99733 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,78 +1,86 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}}
-\rhead{Invarianten}
-Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden.
-Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
+\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
+\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
+In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
+Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
+wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+Folglich gilt:
\[
\sigma_{22}
=
\sigma_{33}
+.
\]
-
-Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
-In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
-Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe.
-
-Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein.
-Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus:
-
+Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
+Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
+Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
\[
p
=
\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+,
\]
-
-oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ :
-
+welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
+Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
+\[
+q
+=
+\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+.
+\]
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
\[
p
=
\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
\]
-
+vereinfacht werden.
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
\[
q
=
\sigma_{11}-\sigma_{33}
\]
+vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
-p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
-q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
-Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen.
-
-Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
-Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
-Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
-Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
-Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
-
-\[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
-=
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}}
-\]
-
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
+Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
+So ergibt sich
\[
\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
=
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
\]
-
+und
\[
-\varepsilon_{s}
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
=
-\text{Hydrostatische Dehnung} [-]
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+.
\]
-
+Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
\[
-\varepsilon_{\nu}
+\varepsilon_{v}
+=
+(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\varepsilon_{s}
=
-\text{Deviatorische Dehnung} [-]
+\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
\]
-
-Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen.
-Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
-
+eingeführt werden, mit
+\begin{align*}
+ \varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
+ \varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+\end{align*}
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
+Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+
+Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
\[
\begin{pmatrix}
q\\
@@ -85,10 +93,13 @@ Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{s}\\
- \varepsilon_{\nu}
+ \varepsilon_{v}
\end{pmatrix}
\]
+(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
-Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
index 85e9b1b..d524f13 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil4.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -1,68 +1,79 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}}
-\rhead{Oedometer - Versuch}
-Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden.
-In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt.
-Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet.
-
-Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab.
-Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe.
-Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0.
-Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen.
-Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung.
-Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen.
-Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet.
-
-Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik.
-Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet.
-Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund.
-Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen.
-
-Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren.
-So ist es auch beim Oedometer - Versuch.
-Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen.
-
-\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
- \caption{Diagramm Oedometer - Versuch}
- \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch}
-\end{figure}
-
-Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird.
-Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
-
-Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$.
+\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}}
+\rhead{Oedometer-Versuch}
+Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden.
+Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen.
+Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$.
+Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken.
+Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert.
+Die Probe wird sich so stetig verdichten.
+Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu.
+Unter diesen Bedingungen wird der oedometrische Elastizitätsmodul mit steigender Dehnung zunehmen.
+Da im Boden das umgebende Material ähnlich eine seitliche Verformung verhindert,
+bildet dieser oedometrische Elastizitätsmodul die Realität besser ab, als der gewöhnliche Elastizitätsmodul.
+Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist
\[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+\varepsilon_{22}
=
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}}
+\varepsilon_{33}
+=
+0
\]
-
+aber auch
\[
-\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+\sigma_{22}
=
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}}
+\sigma_{33}
+\neq 0
+.
\]
-
+Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit
+\[
+\sigma_{11}
+=
+\frac{F}{A}
+\]
+und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet.
+Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung (Nrxxx) eingesetzt werden.
+Diese lautet nun:
\[
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
\sigma_{11}+2\sigma_{33}
\end{pmatrix}
=
-\begin{bmatrix}
- \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\
- 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
-\end{bmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\
+ 0 & \frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{11}
\end{pmatrix}
+.
\]
+Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen
+\[
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+und
+\[
+\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+berechnen.
+Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
+Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7).
+Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
-An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen.
-Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen.
-Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen.
-
-Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+ \caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material}
+ \label{fig:DiagrammOedometer-Versuch}
+\end{figure} \ No newline at end of file
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