14 files changed, 299 insertions, 76 deletions
diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
index f1d5d70..37c2ec2 100644
--- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -7,7 +7,7 @@ Besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Oedometer - Versuch.
 
 Bei dieser Untersuchung der zugehörigen Berechnungen hat man es mit Vektoren, Matrizen und Tensoren zu tun.
 Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
-Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematisches Zeichen einzuführen,
+Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen,
 damit sich den Berechnungen schlüssig folgen lässt.
 
 In diesem Kapitel hat man es insbesondere mit Spannungen und Dehnungen zu tun.
@@ -16,7 +16,7 @@ sondern eine Kraft geteilt durch Fläche.
 
 \section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Wichtige Begriffe}}
 \[
-l
+l_0
 =
 \text{Ausgangslänge [\si{\meter}]}
 \]
@@ -26,6 +26,11 @@ l
 \text{Längenänderung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
 \]
 \[
+\Delta b
+=
+\text{Längenänderung in Querrichtung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
+\]
+\[
 \varepsilon
 =
 \text{Dehnung [$-$]}
@@ -38,12 +43,12 @@ l
 \[
 E
 =
-\text{Elastizitätsmodul}
+\text{Elastizitätsmodul [\si{\kilo\pascal}]}
 \]
 \[
 \nu
 =
-\text{Querdehnungszahl}
+\text{Querdehnungszahl; Poissonzahl [$-$]}
 \]
 \[
 F
@@ -58,7 +63,7 @@ A
 \[
 t
 =
-Tiefe\enspace[m]
+\text{Tiefe [\si{\meter}]}
 \]
 \[
 s
@@ -77,7 +82,7 @@ Beziehungen
 =
 \frac{\Delta b}{l_0}
 =
-\varepsilon_\upsilon
+\varepsilon\cdot\nu
 \]
 \[
 \sigma
@@ -85,18 +90,29 @@ Beziehungen
 \frac{N}{A}
 \]
 \[
-N
+F
 =
 \int_{A} \sigma dA
 \]
 \[
 \varepsilon^{\prime}
 =
-\frac{1}{l_0}\]
+\frac{1}{l_0}
+\]
 
-Der Begriff Tensor
-Tensoren werden unter anderem in der Elastizitätstheorie gebraucht.
+\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Tensoren}}
+Tensoren wurden als erstes in der Elastizitätstheorie eingesetzt. (Quelle Herr Müller)
 In der Elastizitätstheorie geht es darum viele verschiedene Komponenten zu beschreiben.
-
-
-
+Mit einer Matrix oder einem Vektor kann man dies nicht mehr bewerkstelligen.
+Wenn man den dreidimensionalen Spannungszustand abbilden möchte, müsste man mehrere Vektoren haben.
+Deshalb wurden 1840 von Rowan Hamilton Tensoren in die Mathematik eingeführt.
+Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
+Albert Einstein hat Tensoren zudem in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt.
+Tensor sind eine Stufe höher als Matrizen. Matrizen sind 2. Stufe.
+Da Tensoren eine Stufe höher sind, kann man auch Matrizen, Vektoren und Skalare als Tensoren bezeichnen.
+Der Nachteil von den Tensoren ist, dass man die gewohnten Rechenregeln, die man bei Vektoren oder Matrizen kennt,
+nicht darauf anwenden kann. Man ist deshalb bestrebt die Tensoren als Vektoren und Matrizen darzustellen,
+damit man die gewohnten Rechenregeln darauf anwenden kann. (Quelle Wikipedia)
+In der vorliegenden Arbeit sind bereits alle Tensoren als Matrizen 2. Stufe abgebildet.
+Trotzdem kann man diese Matrizen wie vorher beschrieben als Tensor bezeichnen.
+Da diese als Matrizen abgebildet sind, dürfen wir die bekannten Rechenregeln auf unsere Tensoren anwenden.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
new file mode 100644
index 0000000..8ca72a1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
new file mode 100644
index 0000000..526ee7b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
new file mode 100644
index 0000000..6ee004d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg
deleted file mode 100644
index 52f1b5c..0000000
--- a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
new file mode 100644
index 0000000..31505bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg
deleted file mode 100644
index e3875bb..0000000
--- a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
new file mode 100644
index 0000000..398529c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWürfel.jpg b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWürfel.jpg
deleted file mode 100644
index e3875bb..0000000
--- a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWürfel.jpg
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index 67896b8..2f4d23b 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,22 +1,43 @@
 \section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
 \rhead{Spannungsausbreitung}
 Anhand untenstehendem Bild kann ein einfaches Beispiel betrachtet werden.
-Es gibt eine Kraft, diese wird auf den Boden abgetragen.
-Diese Kraft muss dann vom Boden aufgenommen werden.
-Im Boden entsteht eine Spannung. Diese Spannung ist abhängig von $\sigma(x,y,t)$
+Es gibt eine Flächenlast (Kraft), diese wird auf den Boden abgetragen.
+Diese Last muss dann vom Boden aufgenommen werden.
+Im Boden entsteht nebst der Eigenspannung eine weitere Spannung durch diese Last (Zusatzspannung).
+Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist abhängig von $(x,y,t)$.
 Je nach dem, wo man sich im Boden befindet variert die Spannung.
-Mit der Tiefe wird die Spannung geringer.
-Die Ausbreitung der Spannung im Boden hat die Form einer Zwiebel.
+Mit der Tiefe wird die Zusatzspannung geringer.
+Die Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden hat die Form einer Zwiebel.
 Durch Untersuchung der Spannung an verschiedenen Punkten im Boden, kann man eine Funktion abtragen.
 Dasselbe macht man auch mit der Dehnung. Es zeigt sich, dass die Form der beiden Funktionen gleich ist.
-Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional sind zueinander sind.
+Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional zueinander sind.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
+	\caption{Ausbreitung der Spannung im Boden}
+	\label{fig:Bild4}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
+	\caption{Funktionen Spannung und Dehnung}
+	\label{fig:Bild5}
+\end{figure}
 
 Anhand eines etwas schwierigeren Beispiels sieht man,
 dass die Spannungsausbreitung nicht immer ganz einfach ist.
 Man hat hier eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen wurde.
-Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung von drei Variablen abhängig ist. $\sigma(x,y,t)$
+Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung $\sigma$ von drei Variablen abhängig ist $(x,y,t)$.
 Ansätze um die Spannungsausbreitung zu berechnen gibt es je nach Bodentyp verschiedene.
 
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
+	\caption{Beispiel Lastauftrag auf Boden}
+	\label{fig:Bild3}
+\end{figure}
+
 Die Spannungsausbreitung ist uns jedoch gegeben, es geht nicht darum, dies genauer zu untersuchen.
 Durch die Spannungsausbreitung und das Elastizitätsmodul kann man eine Dehnung berechnen.
 Anhand dieser Dehnung kann man mit einem Integral wiederum die Setzung berechnen.
@@ -32,6 +53,4 @@ s
 \]
 Die Setzung zu bestimmen ist in der Geotechnik sehr wichtig.
 Besonders ungleichmässige Setzungen können bei Bauwerken Probleme ergeben.
-Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt.
-
-
+Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index cc55664..9467d21 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,20 +1,30 @@
 \section{Proportionalität Spannung-Dehnung\label{spannung:section:Proportionalität Spannung-Dehnung}}
 \rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
-Das Hooksche Gesetz beschreibt die elastische Längenänderung von Festkörpern im Zusammenhang mit einer Krafteinwirkung.
-Die Längenänderung $\Delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung.
-$F\sim \Delta l$
-Man kann dies nur im Bereich vom linearen elastischen Materialverhalten anwenden.
-Das heisst das alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt.
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt die elastische Längenänderung von Festkörpern im Zusammenhang mit einer Krafteinwirkung.
+Die Längenänderung $\Delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung $F$.
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+\]
+Man kann dies nur im Bereich vom linearen-elastischen Materialverhalten anwenden.
+Das heisst, dass alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt.
 Es findet somit keine dauernde Verformung statt.
 Da es sehr praktisch ist die Längenänderung nicht absolut auszudrücken haben wir $\varepsilon$.
-$\varepsilon$ beschreibt die relative Längenänderung.
-$\varepsilon$ ist wiederum proportional zu der aufgebrachten Spannung.
-Im Bauingenieurwesen hat man es oft mit grösseren Teilen oder Grösseren Betrachtungsräumen zu tun.
+Die Dehnung $\varepsilon$ beschreibt die relative Längenänderung.
+Die Dehnung $\varepsilon$ ist wiederum proportional zu der aufgebrachten Spannung.
+Im Bauingenieurwesen hat man es oft mit grösseren Teilen oder grösseren Betrachtungsräumen zu tun.
 Da ist es nun natürlich sehr sinnvoll, wenn wir nicht mit absoluten Zahlen rechnen,
-sondern unabhängig von der Länge den Zustand mit Epsilon beschreiben können.
+sondern unabhängig von der Länge den Zustand mit Dehnung $\varepsilon$ beschreiben können.
 Mithilfe vom E-Modul, (steht für Elastizitätsmodul) einer Proportionalitätskonstante,
 kann man das in eine Gleichung bringen, wie man hier sieht. Das E-Modul beschreibt,
 das Verhältnis von Kraftaufnahme eines Werkstoffes und dessen zusammenhängender Längenveränderung.
+(Quelle Wikipedia)
+\[
+\sigma
+=
+E\cdot\varepsilon
+\]
 \[
 E
 =
@@ -26,9 +36,6 @@ const.
 Aus diesem Verhältnis kann man das E-Modul berechnen.
 Je nach Material ist dies verschieden.
 Das E-Modul lässt sich nur im linearen-elastischen Materialverhalten anwenden.
-Für Bodenmaterial gibt es ein spezielles E-Modul. Dieses wird mit dem Oedometerversuch ermittelt.
+Für Bodenmaterial gibt es ein spezielles E-Modul. Dieses wird mit dem Oedometer-Versuch ermittelt.
 Es wird mit $E_{OED}$ ausgedrückt. Dieser Versuch wird später noch beschrieben.
-Der Oedometerversuch ist abhängig von den diesem Kapitel zu untersuchenden Matrizen.
-
-
-
+Der Oedometer-Versuch ist abhängig von den diesem Kapitel zu untersuchenden Matrizen.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index d11b3f6..3db3e26 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,22 +1,197 @@
 \section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
 \rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
 Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand.
-Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können für man einen infinitesimalen Würfel ein.
+Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können, führt man einen infinitesimales Bodenteilchen ein.
+Das Bodenteilchen ist geometrisch gesehen ein Würfel.
+An diesem Bodenteilchen trägt man die Spannungen ein in alle Richtungen.
+
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg}
-	\caption{Infinitesimaler Würfel}
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+	\caption{Infinitesimales Bodenteilchen}
 	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
 \end{figure}
 
-Sobald eine Kraft von oben wirkt hat man auch Kräfte die seitlich wirken.
+An diesem infinitesimalen Bodenteilchen hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
+Die Achsen vom Koordinatensystem zeigen aus den 3 ersichtlichen Flächen heraus.
+Pro ersichtliche Fläche haben wir eine Normalspannung und zwei Schubspannungen.
+Im Gegensatz zum eindimensionalen Zustand entstehen bei einer Belastung des Bodenteilchens eine Vielzahl an Spannungen.
+Es entstehen diverse Normal- und Schubspannungen.
+Die Schubspannungen befinden sich an der Fläche, sie gehen rechtwinklig von den Achsen weg.
+Die Schubspannungen auf einer Fläche stehen im 90 Grad Winkel zueinander.
+Geschrieben werden diese mit $\sigma$, mit jeweils zwei Indizes.
+Die Indizes geben uns an, in welche Richtung die Spannungen zeigen.
+Der erste Index ist die Fläche auf welcher man sich befindet.
+Der zweite Index gibt an, in welche Richtung die Spannung zeigt, dabei referenzieren die Indizes auch auf die Achsen $(1,2,3)$.
+Bei den Spannungen sind immer positive als auch negative Spannungen möglich.
+Es können also Druck- oder Zugspannungen sein.
+
+Zunächst wird untenstehend der allgemeine Spannungszustand betrachtet.
+
+Spannungstensor 2. Stufe i,j $\in$ {1,2,3}
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Dehnungstensor 2. Stufe k,l $\in$ {1,2,3}
+
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Bei diesen zwei obenstehenden Formeln kann man sehen wie Matrizen zu einem Vektor umgewandelt wurden.
+Unter dem Kapitel Hadamard-Algebra kann man sehen, dass man dabei Zeile um Zeile in eine Spalte schreiben kann,
+sodass es einen Vektor ergibt.
+
+Elastizitätstensor 4. Stufe i,j,k,l $\in$ {1,2,3}
+\[
+\overline\overline{C}
+=
+C_{ijkl}
+=
+\begin{pmatrix}
+C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\
+C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
+C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
+C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
+C_{2211} & C_{2212} & C_{1113} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
+C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
+C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
+C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
+C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Dieser Elastizitätstensor muss eine quadratische Matrix mit $3^{4}$ Einträgen ergeben,
+da die Basis mit den drei Richtungen $1, 2, 3$ und die Potenz mit den 4 Indizes mit je $1, 2, 3$ definiert sind.
+Dies gibt daher eine 9 x 9 Matrix, welche zudem symmetrisch ist.
+
+Folglich gilt:
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{T}
+\]
+
+Allgemeine Spannungsgleichung (mit Vektoren und Tensor)
+\[
+\vec\sigma
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1-2\nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+	     0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 & frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 & frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+  	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} & 0     \\
+	     0 &          0 & frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 & frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 & frac{1}{4} &          0 & frac{1}{4} & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Man kann das zudem auch als Indexnotation aufschreiben.
+
+\[
+\sigma_{ij}
+=
+=
+\sum_k=1^3
+\sum_l=1^3
+C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+\]
+
+Um die Berechnung an einem Beispiel zu veranschaulichen:
+
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
+\]
+
+Anhand dem Tensor der allgemeinen Spannungsgleichung kann man zwar eine Symmetrie erkennen.
+Die verschiedenen Einträge wechseln sich aber mit einander ab und es gibt keine klaren Blöcke mit nur einem gleichen Eintrag.
+Man greift deshalb auf die Voigt'sche Notation zurück.
+
 
-An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
-Jede dieser 6 Flächen dieses Würfels hat damit 3 Pfeile.
-Geschrieben werden diese mit $\sigma$ mit jeweils zwei Indizes gibt.
-Die Indizes geben uns an, in welche Richtung der Pfeil zeigt.
-Der erste Index ist die Achse auf welcher man sich befindet.
-Der zweite Index gibt an, in welche Richtung der Pfeil zeigt.
 Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
 
 \[
@@ -30,14 +205,14 @@ Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
 =
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
-	& \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
-	sym &  & \sigma_{33} \\ 
+  	            & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	        sym &             & \sigma_{33} 
 \end{pmatrix}
 \Rightarrow
-\overrightarrow{\sigma}
+\vec{\sigma}
 =
 \begin{pmatrix}
-  \sigma_{11}\\
+    \sigma_{11}\\
 	\sigma_{22}\\
 	\sigma_{33}\\
 	\sigma_{23}\\
@@ -46,24 +221,23 @@ Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
 \end{pmatrix}
 \]
 
-Voigt'sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf.
-Die Reihenfolge folgt der Regel von Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
-Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben.
+In der Voigt'sche Notation hat man die Reihenfolge von der Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
+Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben um den Vektor zu erhalten.
 
 Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix.
-So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ oder $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
+So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ und $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
 Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen.
 Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material.
 Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen.
 Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen.
-Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung drei geht,
+Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung 3 geht,
 oder auf der Achse 3 in Richtung 2.
 
 Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken.
 Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
 
 \[
-\bar{\varepsilon}
+\overline{\varepsilon}
 =
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
@@ -96,15 +270,22 @@ Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul,
 der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben.
 Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor.
 Die Gleichung besagt:
-Spannungsvektor $=$ Elastitzitätstensor $\times$ Dehnungsvektor
-
 \[
-\overrightarrow{\sigma}
+\text{Spannungsvektor}
+=
+\text{Elastizitätstensor}\cdot\text{Dehnungsvektor}
+\]
+\[
+\vec{\sigma}
 =
-\overline{\overline{C}}\cdot \overrightarrow{\varepsilon}
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
 \]
 
-Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor. (Kann man das noch weiter erklären weshalb?????)
+Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor.
+Der Tensor hat sich also im Vergleich zum 9 x 9 Tensor verkleinert.
+Dies ist deshalb der Fall, da man in den Achsen 2 und 3 Symmetrien hat.
+Dadurch kann man die Einträge $(\varepsilon_{21}=\varepsilon_{12}; \varepsilon_{31}=\varepsilon_{13}; \varepsilon_{32}=\varepsilon_{23})$
+zusammenfassen und drei Einträge verschwinden, da drei Dehnungen gleich sind.
 Das ganze sieht dann wie folgt aus:
 
 \[
@@ -135,8 +316,6 @@ Das ganze sieht dann wie folgt aus:
 \end{pmatrix}
 \]
 
-IST DIESE REIHENFOLGE KORREKT???? BEI DEHNUNG
-
 Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen.
 Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind.
 Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein.
@@ -206,10 +385,12 @@ Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt,
 sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken.
 Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also,
 dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich bei der allgemeinen Darstellung der Spannungsgleichung,
+die Einträge verschoben haben. Man hat nun eine sehr vorteilhafte Anordnung der verschiedenen Blöcke im Tensor.
 Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen.
 Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$  und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
 Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3.
-Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$
+Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$.
 
 Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um.
 
@@ -231,12 +412,12 @@ Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\ove
 =
 \frac{1}{E}
 \begin{pmatrix}
-	1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0\\
-	-\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0\\
-	-\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0\\
-	0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0\\
-	0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0\\
-	0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu
+	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
+ 	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11}\\
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index a3b0b7d..4054262 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -80,8 +80,8 @@ Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-	\frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\
-	0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
+	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{s}\\
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
index f1437b1..85e9b1b 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil4.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -23,7 +23,7 @@ Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg}
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
 	\caption{Diagramm Oedometer - Versuch}
 	\label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch}
 \end{figure}
@@ -52,8 +52,8 @@ Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetz
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
-	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\
-	0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
+	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} &                        0 \\
+	                      0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
 \end{bmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11}\\