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-rw-r--r--buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex2
-rw-r--r--buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex46
-rw-r--r--buch/papers/clifford/8_Rotation.tex39
3 files changed, 52 insertions, 35 deletions
diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
index e41275a..4438aeb 100644
--- a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
@@ -91,7 +91,7 @@ bestätigt. Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPau
\begin{hilfssatz}
Ein beliebiger Multivektor
\begin{align} \label{MultiVektorAllg}
- M = a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}\\
+ M = a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}
\end{align}
erhält durch das einsetzten der Formel Matrizen \eqref{Pauli} und \eqref{Pauli2} die Form
\begin{align}
diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
index e650d5a..549848c 100644
--- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
+++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
@@ -13,8 +13,8 @@ Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man we
\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+ \draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
- \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
@@ -22,35 +22,34 @@ Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man we
0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift=
0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
- \draw[line width=1.5pt,purple,-stealth](0,1.5)--(1,1.5) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{n}}$};
+ \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0.05)--(1,0.05) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{u}}$};
\end{tikzpicture}
- \caption{Spiegelung des Vektors \textbf{v} an Spiegelachse bzw. Vektor \textbf{u}}
+ \caption{Spiegelung des Vektors $\mathbf{v}$ an der Spiegelebene $\sigma_u$ mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$}
\label{BildSpiegelung}
\end{figure}
\subsection{Linearen Algebra}
Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann.
\begin{definition}
- Die Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{n}}$ zur Spiegelebene ist
+ Die Abbildung der Spiegelung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$ zur Spiegelebene ist
\begin{equation} \label{RefLinAlg}
- \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}.
+ \mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v'} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel u}}.
\end{equation}
\end{definition}
-Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$, aber in der geometrischen Algebra verwenden wir bevorzugter weise in den Formeln Vektoren, welche eine Spiegelung an einer Hyperebene beschreiben. Im zweidimensionalen repräsentiert der Vektor $\mathbf{v^{'}}$ also eine Spiegelung vom Vektor $\mathbf{v}$ an einer Gerade und im dreidimensionalen eine Spiegelung an einer Ebene.
-Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
+Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Weil man $\mathbf{v_{\parallel u}}$ auch als Skalarprodukt $\mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{\hat{u}} \cdot \mathbf{v}$ schreiben kann, ist es leicht diese Abbildung auch als Matrix darzustellen. Sei $\mathbf{\hat{u}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungsebene, also $\mathbf{\hat{u}}\perp \sigma_u$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{u}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
\begin{align}
- S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t
+ S = E - 2\mathbf{\hat{u}\hat{u}}^t
\end{align}
beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung
\begin{align} \label{Spiegelmatrizen}
S_2 = \begin{pmatrix}
- 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\
- -2n_1n_2 & 1-2n_2^2
+ 1-2u_1^2 & -2u_1u_2 \\
+ -2u_1u_2 & 1-2u_2^2
\end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace
S_3 = \begin{pmatrix}
- 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\
- -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\
- -2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\
+ 1-2u_1^2 & -2u_1u_2 & -2u_1u_3\\
+ -2u_1u_2 & 1-2u_2^2 & -2u_2u_3\\
+ -2u_1u_3 & -2u_2u_3 & 1-2u_3^2\\
\end{pmatrix}.
\end{align}
Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus
@@ -60,7 +59,7 @@ Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(
schliessen kann.
\subsection{Geometrische Algebra}
-Um die folgenden Formeln zu verstehen, definieren wir zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert.
+Wir definieren zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert.
\begin{definition}
Die Inverse eines Vektors wird definiert als
\begin{align} \label{InverseGA}
@@ -72,16 +71,25 @@ Diese Definition ist sinnvoll, da wegen $\mathbf{u}^2 = |\mathbf{u}|^2$ folgt
\mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1.
\end{align}
Der Vektor $\mathbf{u}^{-1}$ in \eqref{InverseGA} ist also tatsächlich das inverse Element im Sinne des Produktes in der geometrischen Algebra.
-
Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann.
\begin{definition}
- Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ ist definiert als
+ Die Abbildung der Spiegelung in der geometrischen Algebra mit dem senkrechten Vektor $\mathbf{u}$ zur Spiegelungsebene $\sigma_u$ ist
\begin{align}\label{RefGA}
- \mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1}
+ \mathbf{v} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1}
\end{align}
\end{definition}
-Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu
+Diese Abbildung muss stimmen, weil man durch die Schlussfolgerungen \eqref{uperpv} und \eqref{uparallelv} die Zusammenhänge
+\begin{align}
+ \mathbf{uv_{\perp u}} = -\mathbf{v_{\perp u}u} \enspace\text{und}\enspace \mathbf{uv_{\parallel u}}=\mathbf{v_{\parallel u}u}
+\end{align}
+der geometrischen Produkte findet und somit die Abbildung aus der geometrischen Algebra \eqref{RefGA} wegen
+\begin{align}
+ \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1} = -\mathbf{uv_{\perp u}u}^{-1} - \mathbf{uv_{\parallel u}u}^{-1} = -(-\mathbf{v_{\perp u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} -(\mathbf{v_{\parallel u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}
+\end{align}
+gleichbedeutend zu der Definition \eqref{RefLinAlg} der Spiegelung ist.
+
+Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung \eqref{RefGA} zu
\begin{align}
- \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
+ \mathbf{v'} = -\mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
\end{align}
vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
index b960b56..1d5e889 100644
--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -15,19 +15,28 @@ Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das ka
\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+ \draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$};
+ \draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$};
+ \draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
+ \draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$};
\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
- \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
- \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
+ \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
- \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$};
+ \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
\coordinate (A) at (0,0);
- \coordinate (B) at (0,2.5);
- \coordinate (C) at (-2.31, 0.957);
- \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw, thick, angle radius=1.25cm}}
+ \coordinate (B) at (2.5,0);
+ \coordinate (C) at (0.957, 2.31);
+ \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw, thick, angle radius=1cm}}
\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
+ \coordinate (D) at (0,0);
+ \coordinate (E) at (1,1);
+ \coordinate (F) at (-1, 0);
+ \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw, thick, angle radius=1.25cm}}
+ \draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F};
\end{tikzpicture}
\caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
\label{BildRotation}
@@ -51,13 +60,13 @@ Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelunge
\begin{satz}
Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Rotation
\begin{align} \label{rotGA}
- \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
+ \mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
\end{align}
beschreiben.
\end{satz}
Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern.
\subsubsection{Exponentialform}
-Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform
+Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{1}$-$\mathbf{e}_{2}$-Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{i}$-$\mathbf{e}_{j}$-Ebenen $(i\not=j)$ erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform
\begin{align}
\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
\end{align}
@@ -87,7 +96,7 @@ Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit
\begin{align}\label{EulerGA}
e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12},
\end{align}
-es gibt eine Euler-Formel mit $mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$.
+es gibt eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$.
Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise
\begin{align}
@@ -126,7 +135,7 @@ Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\t
\subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein
\begin{align}
- \mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}),
+ \mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr),
\end{align}
erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
\begin{align}
@@ -153,12 +162,12 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors
\end{align}
und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$
\begin{align}
- \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = (\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2})(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
+ \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
\end{align}
Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA}
\begin{align}
- \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\
- &= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\
+ \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
+ &= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3
\end{align}
finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
@@ -167,11 +176,11 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors
\item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb.
\item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise
\begin{align}
- &\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos(\dfrac{-\pi}{2} + \sin(\dfrac{-\pi}{2})\mathbf{e}_{12})) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
+ &\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
\end{align}
durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo}
\begin{align}
- \theta = -(\dfrac{-\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2}
+ \theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
\end{align}
ausgelesen werden.
\end{itemize}
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