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diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex index 70b0b1b..a75b529 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil1.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex @@ -98,8 +98,9 @@ Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen. Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$. +Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist somit \begin{align*} - D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619 + D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. \end{align*} Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten. diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index 0c957d6..fd10634 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -115,15 +115,14 @@ Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leer S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E). \label{ifs:transformation} \end{equation} -Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt +Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, gilt \begin{equation} F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E). \label{ifs:ifsForm} \end{equation} In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert. -Diese Menge ist auch als Attraktor des IFS bekannt. +Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt. Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. -Aus diesem Beweis folgt, dass die Startmenge $E$, anders als in \ref{ifs:ifsForm} beschrieben ist, beliebig sein kann. \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn} Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann. diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex index ebae0fb..78fb935 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil3.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex @@ -87,13 +87,13 @@ Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müs Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen. -Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion +Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion \begin{align*} z' = s_i z + g_i. \end{align*} Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein. $f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst Skalierten und dann mit \ref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. -$s$ und $g$ werden mit der einfachen linearen Regression ermittelt. + Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das \begin{align*} f_{R_i} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i = \bar{f_{R_i}}. |