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diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex index 8916e15..d54b068 100644 --- a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex @@ -4,7 +4,7 @@ Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}. Was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt, mag anfänglich unintuitiv wirken. \begin{figure}[tb] \centering - \begin{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); \draw[blue,thick,->] (0,0)--(3.5,2) node[midway,above,sloped] {$\textbf{a}$}; \draw[red,thick,->] (3.5,2)--(1.5,3.8) node[midway,above,sloped] {$\textbf{b}$}; diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex index 549848c..d4f2c6f 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \begin{figure} \centering - \begin{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; @@ -92,4 +92,4 @@ Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, wel \begin{align} \mathbf{v'} = -\mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} -vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
\ No newline at end of file +vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. diff --git a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG Binary files differindex eedfbcd..f46354d 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG +++ b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..971ee82 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG Binary files differindex cc7926f..aff9ed8 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG +++ b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f2c1d3b --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9da5f5e --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b511ff4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4f4e770 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG Binary files differindex 0f0e0b8..a678df2 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG +++ b/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index 2ef12b5..2ab6052 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -12,68 +12,44 @@ haben wir keine Bauschäden zu beklagen. \subsection{Wahl der Schwingung} Wir müssen uns überlegen, mit welcher Schwingung wir ein realitätsnahes Beben erzeugen können. - Mit einer ungedämpften harmonischen Schwingung können wir zwar die meisten Vorgänge in der Physik erklären. Da aber unser Erdbeben irgendwann abklingen muss, wählen wir die gedämpfte harmonische Schwingung. Die dazugehörige Schwingungsgleichung lautet - -\begin{equation} - y = A e^{-\lambda t} \sin(\omega t) -\end{equation} - -Für die Variablen der harmonisch gedämpften Schwingung setzen wir die Werte - \begin{equation} -A = 5 + y = A e^{-\lambda t} \sin(\omega t). \end{equation} - -ein. - -$A$ ist die Amplitude der Schwingung, die uns die Heftigkeit des Erdebebens beschreibt. +Dabei ist $A=5$ die anfängliche Amplitude der Schwingung, +die uns die Heftigkeit des Erdebebens beschreibt. Sie ist vergleichbar mit der Magnitude. - -$\omega$ definiert sich durch - +$\lambda$ bezeichnet die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. +Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingt +und kreiert die bei gedämpften Schwingungen typische Hüllkurve. +Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. +Die Kreisfrequenz $\omega$ ist durch \begin{equation} \omega = 2 \pi f \end{equation} - -wobei die Frequenz $f$ mit - +gegeben, +wobei die Momentanfrequenz $f = \mathcal N(\mu_f, \sigma_f) $ einer Normalverteilung mit \begin{equation} - f = E(\mathrm{Frequenz}) + \sigma^2(\mathrm{Frequenz}) + \mu_f = \SI{15}{\hertz} + \qquad \text{und} \qquad + \sigma_f = \SI{10}{\hertz} \end{equation} +folgt. -erzeugt wird. - -Zusätzlich haben wir $f$ mit dem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. +Zusätzlich haben wir $f$ mit einem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an -und bildet ein Polynom $n$-ter Ordnung. -In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, -jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polynom $0$-ter Ordnung. -Da wir den Grad $0$ gewählt haben, erhalten wir pro zehn Punkte eine Gerade mit der Steigung $0$. -Diese Art von der Filterung nennt sich gleitender Mittelwert. - -Für den Erwartungswert und die Standardabweichung setzen wir die Zahlen - -\begin{equation} -E(f) = \SI{15}{\hertz} -\end{equation} - -und -\begin{equation} -\sigma^2 = \SI{10}{\hertz} -\end{equation} - -ein. - -$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. -Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingen wird und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve der Amplitude. -Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. - -\subsection{Ab hier bin ich noch dran/ Versuch im Standardfall} +und bildet darüber ein Polynom $n$-ter Ordnung. +In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschiebbaren Fensters, +jeweils elf aufeinanderfolgende Datenpunkte an +und approximiert diese mit ein Polynom $0$-ter Ordnung, +also einer Konstanten. +Somit erhalten wir mit Matlab-Standardfunktionen einen gleitenden Mittelwert. + +\subsection{Versuch im Standardfall} Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. -Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. \SI{100}{\gram} hat. +Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca.\ \SI{100}{\gram} hat. Zur Federkonstante D und Dämpfung k konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden und treffen die Annahme, dass $D = 1$ und $k = 0.01$. Für die Masse definieren wir $m = 0.01$. @@ -89,67 +65,77 @@ Wir nehmen an, dass 0 & 0& {\sigma_f }^2\\ \end{array}\right)= \left( \begin{array}{ccc} - {0.00001 }^2& 0& 0 \\ - 0 & {0.00001 }^2& 0\\ + {0.00001}^2& 0& 0 \\ + 0 & {0.00001}^2& 0\\ 0 & 0& {1 }^2\\ - \end{array}\right) + \end{array}\right). \end{equation} Auch für die Messung setzen wir ein Rauschen voraus und definieren \begin{equation} R= ({\sigma_x}^2)= -({0.00001}^2) +({0.00001}^2). \end{equation} -Sind nun die benötigten Systemparameter und das Rauschen definiert, erzeugen wir das Erdbeben und schauen, wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. +Sind nun die benötigten Systemparameter und Varianzen definiert, +erzeugen wir ein Erdbeben mittels Simulation und schauen, +wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. -\subsection*{Ergebnis} +\subsubsection{Ergebnis} + +Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} zeigt zuoberst unsere Messwerte, +also die Position der Masse relativ zum Seismografen. +Wir sehen, dass unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung erzeugen. +Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit, +und die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, welche für unsere Aufgabenstellung relevant ist. +Sehr gut ersichtlich ist die typische Hüllkurve, wie wir sie bei einer gedämpften Schwingung erwarten. -Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung. -Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit. -Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, welche für unsere Aufgabenstellung relevant ist. -Sehr gut ersichtlich ist die Hüllkurve der Amplitude, wie wir sie bei einer gedämpften Schwingung erwarten. Die blaue Kurve ist die geschätzte äussere Kraft des Kalman-Filters. -Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in der Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-zoom} wie nahe die Schätzung an der idealen Schwingung liegt. +Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-zoom}, +wie nahe die Schätzung an der idealen Schwingung liegt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Standard_alles.PNG} - \caption{Das Position-Zeit-Diagramm zeigt uns die typische Aufzeichnung eines Seismographen während eines Erdbebens. Um die Geschwindigkeit zu erhalten müssen wir die Positionsveränderung einmal ableiten. Ein weiteres Ableiten erzeugt uns die Beschleunigung resp. die Kraft.} + \caption{Das Position-Zeit-Diagramm zeigt uns die typische Aufzeichnung eines Seismographen während eines Erdbebens. Um die Geschwindigkeit zu erhalten müssen wir die Position einmal ableiten. Ein weiteres Ableiten erzeugt uns die Beschleunigung, respektive die Kraft.} \label{erdbeben:fig:standard-alles} \end{center} \end{figure} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG} + \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG} \caption{Erst das Vergrössern an die Datenpunkte zeigt uns auf, wie gut die Schätzung des Kalman-Filters funktioniert.} \label{erdbeben:fig:standard-zoom} \end{center} \end{figure} \subsection{Veränderung der Systemparameter} -Was wir nun austesten möchten, sind die Auswirkungen wenn z.B. der Seismograph andere Systemparameter aufweist. -Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt. +Was wir nun testen möchten, sind die Auswirkungen wenn zum Beispiel der Seismograph andere Systemparameter aufweist. +Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Federdämpfung doppelt so stark wirkt. Somit gilt neu \[ -m = 0.05 -\qquad \qquad +m = 0.05, +\qquad D = 0.5 \qquad \text{und} \qquad k = 0.02. \] -Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben, erwarten wir sicher eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Frequenz wird sich reduzieren. +Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben, +erwarten wir eine langsamere Bewegung der Masse, +das heisst die Frequenz wird kleiner. -Betrachten wir die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert} können wir diese Erwartung bestätigen. -Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können. +Betrachten wir Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert}, +können wir diese Erwartung bestätigen. +Zudem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, +die wir mir durch die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder erklären können. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG} - \caption{Im Geschwindigkeits-Diagramm erkennen wir in den ersten $6-7$ Sekunden, wie die Erdbebenschwingung die Masse beeinflusst. Gleichzeitig und vorallem im gesamten Zeitverlauf, pendelt sich die Masse in die Eigenschwingung ein.} + \caption{Im Geschwindigkeits-Diagramm erkennen wir, dass sich im Vergleich zum Standardfall, die Auslenkung und Frequenz vergrössert hat. Dies wird mit der Erhöhung der Masse und somit der Trägheit begründet. Auch stellen wir fest, dass die Positionsmessung überwiegend die Eigenfrequenz misst.} \label{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert} \end{center} \end{figure} @@ -157,27 +143,55 @@ Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die h \subsection{Verstärkung des Prozessrauschens} Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen. -Dieses Rauschen beeinflusst die Position und Geschwindigkeit in der Zustands-Matrix $Q$. -Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen in der Matrix $Q$ um den Faktor $1'000$. -Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf, dass die Kalman-Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst. +Dieses Rauschen beeinflusst die Varianzen der Position und Geschwindigkeit in der Matrix $Q$. +Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen in der Matrix $Q$ um den Faktor $100$. +Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf, dass das Kalman-Filter die Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG} - \caption{} + \caption{Mit dem Erhöhen des Prozessrauschens gehen wir von einer grösseren Unsicherheit der Systemmatrix aus. Aus diesem Grund folgt das Filter vor allem den Messwerten, was sichtbare Folgen für die Schätzkurve im Kraft-Zeit-Diagramm hat. Hier möchte das Filter auch den Messwerten folgen. Da wir aber für die Kraft keine Messwerte aufzeichnen, erhalten wir eine sehr schwache Kurve} \label{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} \end{center} \end{figure} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG} + \caption{Die Position kann immernoch präzise geschätzt werden und die Ableitung zur Geschwindigkeit ergibt gute Resultate. Jedoch ist die Schätzkurve der Kraft sehr weit von der idealen Kurve entfernt und nicht nutzbar.} + \label{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert-zoom} + \end{center} +\end{figure} + \subsection{Verstärkung des Messrauschens} -Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor 100 und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. -Diese Anpassung bewirkt bei der Position und Geschwindigkeit grosse Abweichungen zwischen der Messgrösse und des Schätzwertes. -Im ganzen ist der Output sehr ungenau und somit nicht mehr brauchbar. +Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. +Wie man eigentlich schon erwarten kann, zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert}, dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen gestört wird. +Weil die Messung somit ungenau wird, kann das Kalman-Filter nicht mehr genau arbeiten und produziert eine ungenaues Resultat. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG} - \caption{Das verstärkte Messrauschen dominiert über der Erdbebenschwingung. Die Aufzeichnung wird unbrauchbar und die Schätzung zu ungenau.} + \caption{Im Kraft-Zeit-Diagramm erhalten wir nur bis ca. $t = 10$ gute Schätzwerte. Von $t = 10$ bis $t = 30$ wirkt das Messrauschen zu stark und erhalten keine brauchbaren Werte mehr} + \label{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert} \end{center} \end{figure} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG} + \caption{Im Position-Zeit-Diagramm erhielten wir bis jetzt immer genaue Schätzungen. Mit einem starken Messrauschen fällt es nun dem Filter schwerer, präzise Werte zu generieren. Die Nahaufnahme im Kraft-Zeit-Diagramm bestätigt uns aber, dass die Messfehler zu gross sind, um ein klares Bild über die äussere Kraft zu erhalten.} + \label{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert_zoom} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Zusammenfassung} +Wir haben uns zum Ziel gesetzt, die äussere Beschleunigung $a(t)$, bzw. die Kraft $f(t)$ eines Erdbebens zu ermitteln. + +Mit der Software Matlab haben wir einen virtuellen Seismographen gebaut und ein künstliches Erdbeben erzeugt. +Der Seismograph war fähig die Position der Masse während der Einwirkung des Erdbebens aufzuzeichnen. +$a(t)$ kann zwar nicht mit Sensoren gemessen werden, jedoch erhalten wir $a(t)$ durch zweifaches Ableiten. +Da wir so aber die innere Beschleunigung erhalten, mussten wir das Kalman-Filter anwenden. +Das Kalman-Filter half uns die äussere Beschleunigung zu schätzen und lieferte erstaunlich genaue Werte. + +Schlussendlich haben wir aufgezeigt, das Veränderungen an den System- und Rauschparametern die Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Kalman-Filters beeinträchtigen. + diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex index 4a8a71f..3802820 100644 --- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex +++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex @@ -166,7 +166,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four \end{gather*} \item Öffentlicher Schlüssel: \index{Schlüssel, öffentlicher}% -\index{öffentlicher Schlüssel}% +\index{offentlicher Schlüssel@öffentlicher Schlüssel}% % \begin{itemize} % \item[] \begin{align*} diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index 3ffc24c..7637854 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -17,7 +17,7 @@ C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in Abbildung \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. -\index{Matrizenmultiplikation}% +\index{Matrixmultiplikation}% \index{Multiplikation, Matrizen-}% Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung \begin{equation} diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index ed8902c..8a0d2cb 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -21,7 +21,7 @@ Die Ungarische Methode wurde 1955 von Harold Kuhn entwickelt und veröffentlicht Der Name ``Ungarische Methode'' ergab sich, weil der Algorithmus weitestgehend auf den früheren Arbeiten zweier ungarischer Mathematiker basierte: Dénes Kőnig und Jenő Egerváry. -\index{Kőnig, Dénes}% +\index{Konig, Denes@Kőnig, Dénes}% \index{Egerváry, Jenő}% \index{Munkres, James}% James Munkres überprüfte den Algorithmus im Jahr 1957 und stellte fest, diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex index 43b313e..14bab31 100644 --- a/buch/papers/spannung/main.tex +++ b/buch/papers/spannung/main.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \chapter{Dreidimensionaler Spannungszustand\label{chapter:spannung}} \lhead{Dreidimensionaler Spannungszustand} \begin{refsection} -\chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin} +\chapterauthor{Thomas Reichlin und Adrian Schuler} % TODO Text diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex index d4a07ab..f708055 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil0.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Man spricht auch von einem Elementarwürfel. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png} - \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen} + \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den neun Spannungen} \label{fig:Bild2} \end{figure} @@ -72,7 +72,8 @@ Es ist praktisch, die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine ab \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe} \label{fig:Bild1} \end{figure} -Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit +Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ (auch Youngscher Modul) als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit +\index{Youngscher Modul} \[ \sigma = diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex index 10f7663..552c1cf 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil1.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex @@ -1,23 +1,23 @@ \section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}} \rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren} -Der Begriff Tensor kann als Überbegriff der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden. +Der Begriff Tensor kann als Überbegriff der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix betrachtet werden. \index{Tensor}% Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet. Skalare, Vektoren oder Matrizen sind daher auch Tensoren. Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe. \index{Stufe}% Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden. -Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar. +Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufiger als ein Skalar. Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden. -Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor. +Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufiger als ein Vektor. Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor. Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln. So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2. Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben. -In den 40er Jahren des 19.~Jahrhunderts wurde der Begriff Tensor von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt. -\index{Hamilton, Rowan}% +In den 40er Jahren des 19.~Jahrhunderts wurde der Begriff Tensor von William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt. +\index{Hamilton, William Rowan}% James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben. \index{Maxwell, James Clerk}% Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert. diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index b260b6f..fec0120 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -4,17 +4,17 @@ Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.30\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} - \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen} + \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchens} \label{fig:infinitesimalerWuerfel} \end{figure} Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben. -Um den 3D-Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. +Um den 3D-Spannungszustand als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. Die Spannungen sind durch die zwei Indizes \( i, j\in\left\{1, 2, 3\right\} \) definiert. -Daher ergeben sich die neun Spannungen. +Daher ergeben sich die $9$ Spannungen. Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben. Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit \[ @@ -48,7 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.~Stufe und kann somit auch als $3\ \] dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand. -Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. +Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welcher ein Spaltenvektor ist. Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt. So ergibt sich der Spannungsvektor @@ -114,8 +114,8 @@ Dieser ist im 1D-Spannungszustand ein Tensor 0.~Stufe und somit ein Skalar, der Dieser Elastizitätstensor 4.~Stufe kann als Tensor 2.~Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert. -Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen neun Dehnungen mit Konstanten erfassen. -Dies bedeutet um eine von neun Spannungen berechnen zu können müssen alle neun Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. +Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen $9$ Dehnungen mit Konstanten erfassen. +Dies bedeutet um eine von $9$ Spannungen berechnen zu können müssen alle $9$ Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den vier Indizes \( i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} @@ -354,14 +354,19 @@ beziehungsweise \sigma_{12} \end{pmatrix} = +%\left( +%\begin{array}{ccc|ccc} \begin{pmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ +%\hline C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212} \end{pmatrix} +%\end{array} +%\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ @@ -417,14 +422,19 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: \end{pmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} -\begin{pmatrix} +\left( +\begin{array}{ccc|ccc} +%\begin{pmatrix} 1- 2\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ \nu & 1- 2\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ \nu & \nu & 1- 2\nu & 0 & 0 & 0\\ +\hline 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} -\end{pmatrix} +%\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ @@ -468,14 +478,19 @@ Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung: \end{pmatrix} = \frac{1}{E} -\begin{pmatrix} +\left( +\begin{array}{ccc|ccc} +%\begin{pmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ +\hline 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu -\end{pmatrix} +%\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index c68c0d1..147fe01 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Folglich gilt: \] Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht. Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden. -Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung +Die erste Invariante ist die volumetrische oder auch hydrostatische Spannung \begin{equation} p = @@ -76,8 +76,8 @@ Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so als \] eingeführt werden, mit \begin{align*} - \varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\ - \varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].} + \varepsilon_{v} &= \text{hydrostatische Dehnung [-]} \\ + \varepsilon_{s} &= \text{deviatorische Dehnung [-].} \end{align*} Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ mit einer Verzerrung verglichen werden. @@ -105,6 +105,7 @@ vereinfachen. Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen ($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$). -Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. +Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch. -Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. +In Abschnitt~\ref{spannung:section:Oedometrischer Elastizitätsmodul} +wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index 2e0de45..06d67c9 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -78,5 +78,5 @@ Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{\text{OED}}$ und $\si Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden. Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{fig:DiagrammOedometer-Versuch}). Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. -Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. +Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen in der Geotechnik durchführen. diff --git a/buch/papers/uebersicht.tex b/buch/papers/uebersicht.tex index b809892..f095947 100644 --- a/buch/papers/uebersicht.tex +++ b/buch/papers/uebersicht.tex @@ -10,5 +10,133 @@ Im zweiten Teil kommen die Teilnehmer des Seminars selbst zu Wort. Die im ersten Teil dargelegten mathematischen Methoden und grundlegenden Modelle werden dabei verfeinert, verallgemeinert -und auch numerisch überprüft. +und auf vielfältige Weise angewandt. + +Den Anfang machen {\em Robine Luchsinger} und {\em Pascal Andreas Schmid}, +\index{Luchsinger, Robine}% +\index{Schmid, Pascal Andreas}% +die zeigen, wie man basierend auf der Adjazenzmatrix Suchalgorithmen +für Netzwerke aufbauen kann. +Sie konzentrieren sich dabei auf Verkehrsnetze, die die zusätzliche +Eigenschaft haben, eine geometrische Realsierung zu besitzen. +Diese führt zu zusätzlichen Einschränkungen, die einen positiven +Einfluss auf die Effizienz der Suchalgorithmen haben können. + +Die naive Umsetzung der Definition der Matrizenmultiplikation in +ein Coputerprogramm ist nicht unbedingt die effizienteste. +{\em Michael Schmid} stellt die Algorithmen von Strassen und +\index{Schmid, Michael}% +Windograd vor, welche ermöglichen, die Laufzeitkomplexität +von $O(n^3)$ auf $O(n^{2.8074})$ oder noch schneller zu verbessern. +Allerdings nur unter gewissen Voraussetzungen, die im Paper +ebenfalls diskutiert werden. + +Eine der schönsten Anwendungen der Gruppentheorie ist die +Kristallographie. +{\em Naoki Pross} und {\em Tim Tönz} zeigen, wie man mit ihrer +\index{Pross, Naoki}% +\index{Tönz, Tim}% +Hilfe Kristalle klassifizieren kann, und sie illustrieren am Beispiel +der Piezoelektrizität, dass man auch physikalische Eigenschaften daraus +ableiten kann. + +Der Reed-Solomon-Code ist ein Klassiker unter den fehlerkorrigierenden +Codes. +Berühmt gemacht durch seine Anwendung in den Voyager-Sonden und in CDs +und DVDs, begegnet er uns heute auch in den allgegenwärtigen QR-Codes. +Ein ganzes Arsenal von algebraischen Methoden ist nötig, um seine +Funktionsweise zu verstehen. +{\em Joshua Bär} und {\em Michael Steiner} zeigen in vielen Einzelschritten, +\index{Bär, Joshua}% +\index{Steiner, Michael}% +wie die man die einzelnen Ideen an vertrauteren Beispielen aus der +elementaren Algebra und der Fourier-Theorie verstehen kann. +Die Übertragung in einen Polynomring über einem endlichen Körper +ist dann nicht mehr schwierig. +Die Analogie wird deutlich, wenn man das Codierungsverfahren und +die diskrete Fourier-Transformation beide als Matrizen schreibt. + +Wer glaubt, mit linearen Abbildungen lassen sich nur gradlinige +Objekte beschreiben, liegt völlig falsch. +Die Arbeit von {\em Alain Keller} zeigt, dass die Iteration von +\index{Keller, Alain}% +affinen Abbildungen hochkomplexe Fraktale hervorbringen kann. +Solche iterierten Funktionsschemata erzeugen aber nicht nur schöne +Bilder, man kann daraus auch eine Idee zur Kompression von +Bildern ableiten. + +Es gibt zwar noch keine ernstzunehmenden Quantencomputer, aber man weiss +bereits, dass ein leistungsfähriger Quantencomputer viele der heute +im Internet üblichen Verschlüsselungsverfahren, allen voran das RSA-Verfahren, +brechen könnte. +Das McEliece-Kryptosystem kombiniert verschiedene Arten von Matrizen +mit zufälligem Rauschen und einem fehlerkorrigierenden Code. +Wie {\em Reto Fritsche} erklärt, kommt dabei ein Verschlüsselungsverfahren +\index{Fritsche, Reto}% +heraus, welches nach heutigem Wissensstand gegen Angriffe mit +Quantencomputern resistent ist. + +Vektoren und Matrizen bilden die Basis vieler geometrischer +Anwendungen. +Doch ist die Beschreibung von Bewegungen im Raum mit Matrizen nicht +immer einfach. +In der Ebene kann man die komplexen Zahlen als Modell verwenden, +wo Drehungen und Translationen durch einfache arithmetische +Operationen mit Zahlen beschrieben werden können. +{\em Marius Baumann} und {\em Thierry Schwaller} tauchen in die +\index{Baumann, Marius}% +\index{Schwaller, Thierry}% +geometrische Algebra ein, welche diese Idee verallgemeinert. +Sie illustrieren, wie sich mit geometrischer Algebra Bewegungen +in $\mathbb{R}^n$ einfach beschreiben lassen. +So gibt es zum Beispiel ein Euler-Formel, für Drehungen und Spiegelungen +kann die selbe Abbildungsformel verwendet werden und die Zusammensetzung +von Transformationen ist eine Multiplikation in einer Algebra, die +aus den Vektoren konstruiert worden ist. +In drei Dimensionen ist diese Algebra der Quaternionen zum Beispiel +in der Computergraphik sehr beliebt. + +Man soll sein Haus nicht auf Sand bauen, sagt eine Redensart. +Etwas mathematischer heisst das, dass man den Spannungszustand, +der von einem Gebäude im darunterliegenden Boden aufgebaut wird, +im Detail verstehen und modellieren können sollte. +Dazu muss man erst eine geeignete Darstellung finden. +{\em Thomas Reichlin} und {\em Adrian Schuler} zeigen, wie man +\index{Reichlin, Thomas}% +\index{Schuler, Adrian}% +dazu eigentlich über die Welt der Matrizen hinaus gehen muss und +sich mit sogenannten Tensoren herumschlagen muss. +Dank sinnvollen Annahmen über die reale Situation im Boden +kann man aber auf eine handlichere Beschreibung zurückkommen, +die wieder nur Matrizen verwendet. +Ausserdem ergeben sich daraus spezielle Blockstrukturen der +Matrizen. + +Ein Erdbeben versetzt alles auf der Erdoberfläche in Bewegung und +kann beträchtliche Schäden anrichten. +Daher wird die seismische Aktivität weiltweit überwacht. +Ein Seismograph enthält eine schwingungsfähige Masse, die die Bewegungen +aufzeichen kann. +Doch welcher Teil der aufgezeichneten Bewegung kommt vom Erdbeben +und welcher Teil ist Eigenschwingung der Messmasse? +Dieser Frage gehen {\em Fabio Viecelli} und {\em Lukas Zogg} nach. +\index{Viecelli, Fabio}% +\index{Zogg, Lukas}% +Die Antwort gelingt mit einem Klassiker unter den Ingenieur-Methoden: +dem Kalman-Filter. +Die Autoren stellen die für den Filter nötigen Matrizen zusammen +und illustrieren mit Hilfe von Simulationen, wie er funktioniert. + +Eine Matrix kann dazu verwende werden, die Kosten zusammenzustellen, +die die Lösung einzelner Aufgaben durch verschiedene Anbieter +verursachen würden. +Doch wie findet man jetzt diejenige Zuteilung der Aufgaben +zu den Anbietern, die die Gesamtkosten minimiert. +Für dieses klassische Zuordnungsproblem ist die +von {\em Marc Kühne} beschriebene ungarische Methode, +\index{Kühne, Marc}% +auch als Munkres-Algorithmus bekannt, eine besonders effiziente +Lösung. + + diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 1b4a328..cc5893d 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -8,7 +8,7 @@ Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, a Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können. \index{Knotenpunkt}% \index{Hinterland}% -\index{Verkehrtsstrom}% +\index{Verkehrsstrom}% Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes. \index{Graphentheorie}% Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz. |
