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| -rw-r--r-- | buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 117 |
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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 6655864..dd8883e 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -26,22 +26,19 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner. \subsection{Geometrische Symmetrien} In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, -die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an -deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige -Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete -Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um -einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert -lässt. Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche -Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für -\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. - -% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird -\subsubsection{Symetriegruppe} -\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).} -Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. -Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} -nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden. -Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. +die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, +an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. +Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine +diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine +Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur +unverändert lässt. Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine +unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele +Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Ein +Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. Als Beispiel, kann das +Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um +\(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht +werden. Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine +Symmetriegruppe. \begin{definition}[Symmetriegruppe] Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt @@ -51,7 +48,18 @@ Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. wird. \end{definition} % ich lese diese Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen -% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann +Ausserdem benötigen wir zur Bildung einer Gruppe ein neutrales Element, das wir +mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist +gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch +äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen +(ihre Umkehrung anzuwenden). +Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, +es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass +manchmal die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet +wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige +Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n = +r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. + \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische @@ -59,18 +67,28 @@ Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. \end{definition} +\begin{beispiel} + Um die Syntax zu verstehen, betrachten Sie eine durch \(a\) erzeugte Gruppe + \(G = \langle a \rangle\). Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, + aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales + Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält. +\end{beispiel} +\begin{beispiel} + Nun zu einem sinnvolleren Beispiel, wir können das \(n\)-Gon Beispiel + formalisieren. Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn + von \(360^\circ/n\) um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die + gesamte Symmetriegruppe + \[ + C_n = \langle r \rangle + = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} + \] + der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch + die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die + Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant die + Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) enthält nur + \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). +\end{beispiel} -Damit können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. -Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) -um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe -\[ - C_n = \langle r \rangle - = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} -\] -der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die -mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die -Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte -Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen. @@ -84,18 +102,24 @@ komplexere Strukturen aufbauen. in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme. \end{definition} - -\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\ - -Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur -\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit -der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe -\[ - D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle - = \left\{ - \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} - \right\}. -\] +\begin{beispiel} + Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, + dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren. Die + Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 = + \mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\). + Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als + Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie + das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das + Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man das + zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt. + Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe + \begin{align*} + D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\ + &= \left\{ + \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} + \right\}. + \end{align*} +\end{beispiel} Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im @@ -105,16 +129,16 @@ Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können. Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man Punktsymmetrie. \begin{definition}[Punktgruppe] - Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens - einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine - Punktgruppe ist. + Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen + wird, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine Punktgruppe ist. \end{definition} \subsection{Algebraische Symmetrien} Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich -möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte -es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? Natürlich, ja. -Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. +möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die folgende Frage ist dann, ob wir +bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die +sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja. Um es +formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus] Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\) bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere @@ -154,7 +178,6 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} -\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.} %% TODO: title / fix continuity % Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren: % eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr |