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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex index 1ed51ef..a03d4b5 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex @@ -11,15 +11,78 @@ selbst gehört die zugehörige lineare Abbildung $f_*\colon H_*(X)\to H_*(X)$ der Homologiegruppen. Diese linearen Abbildungen sind im Allgemeinen viel einfacher zu analysieren. -Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz} -die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber -ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann. -In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit -den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede -Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat. - -\subsection{Lefshetz-Spurformel -\label{buch:subsection:lefshetz}} - -\subsection{Brower-Fixpunktsatz -\label{buch:subsection:brower}} +%Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz} +%die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber +%ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann. +%In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit +%den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede +%Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat. + +%\subsection{Brower-Fixpunktsatz +%\label{buch:subsection:brower}} +% +%\begin{satz}[Brower] +%\end{satz} + +%\subsection{Lefshetz-Fixpunktsatz +%\label{buch:subsection:lefshetz}} +Eine Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$ von Kettenkomplexen führt auf +eine Selbstabbiludng der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$. +Da sowohl $H_k$ wie auch $C_k$ endlichdimensionale Vektorräume sind, +ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert. + +\begin{definition} +Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist +\[ +\lambda(f) += +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \operatorname{Spur}f_k += +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \operatorname{Spur}(H_k(f)). +\] +\end{definition} + +Die zweite Darstellung der Lefshetz-Zahl auf der rechten Seite ist +meistens viel leichter zu berechnen als die erste. +Die einzelnen Vektorräume eines Kettenkomplexes können haben typischerweise +eine hohe Dimension, so hoch wie die Anzahl der Simplizes der Triangulation. +Die Homologiegruppen dagegen haben typischerweise sehr viel kleinere +Dimension, die Matrizen $H_k(F)$ sind also relativ klein. +Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die +Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen. + +\begin{proof}[Beweis] +\end{proof} + +Die Lefshetz-Zahl ist eine Invariante einer topologischen Abbildung, +die Aussagen über Fixpunkte zu machen erlaubt. + +\begin{satz} +Ist $f\colon X\to X$ eine Selbstabbildung eines kompakten Polyeders und +ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt. +\end{satz} + +Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum +ein solcher Satz wahr sein könnte. + +Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle +Punkte von $X$. +Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$. +Wenn man also für $X$ eine Triangulation wählt, die wesentlich feiner ist +als dieser minimale Abstand, dann wird kein Simplex der Triangulation auf +Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird. +Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch +genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann, +so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat. + +Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit +die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird. +Die Matrix der Abbildung hat daher keine Nullen auf der Diagonalen, und +damit ist auch die Spur dieser Abbildung Null: $\operatorname{Spur}(H_k(f))=0$ +für alle $k$. +Erst recht ist die Lefshetz-Zahl $\lambda(f)=0$. +Wenn also die Lefshetz-Zahl verschieden ist von Null, dann muss $f$ +notwendigerweise einen Fixpunkt haben. + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile index 82f1285..ac964ff 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile @@ -3,8 +3,11 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: dreieck.pdf +all: dreieck.pdf polyeder.pdf dreieck.pdf: dreieck.tex pdflatex dreieck.tex +polyeder.pdf: polyeder.tex + pdflatex polyeder.tex + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3a8ba60 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.tex new file mode 100644 index 0000000..9a900cc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.tex @@ -0,0 +1,109 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here +\begin{scope}[xshift=-3.5cm,scale=0.5] +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (4,0); +\coordinate (C) at (5,-2); +\coordinate (D) at (8,-1); +\coordinate (E) at (7,1); +\coordinate (F) at (7,3); +\coordinate (G) at (1,3); +\coordinate (H) at (5,4); +\coordinate (I) at (9,5); +\coordinate (J) at (4,7); +\coordinate (K) at (-1,9); +\coordinate (L) at (7,11); +\coordinate (M) at (6,-0.5); + +\fill[color=gray,opacity=0.5] (A)--(B)--(H)--(G)--cycle; +\fill[color=gray,opacity=0.5] (G)--(I)--(K)--cycle; +\fill[color=gray,opacity=0.5] (G)--(L)--(K)--cycle; + +\draw (K)--(G)--(A)--(B)--(D); +\draw (C)--(E); +\draw (G)--(I)--(K); +\draw (G)--(L)--(K); +\draw (B)--(H); +\draw (B)--(F); + +\fill (A) circle[radius=0.1]; +\fill (B) circle[radius=0.1]; +\fill (C) circle[radius=0.1]; +\fill (D) circle[radius=0.1]; +\fill (E) circle[radius=0.1]; +\fill (F) circle[radius=0.1]; +\fill (G) circle[radius=0.1]; +\fill (H) circle[radius=0.1]; +\fill (I) circle[radius=0.1]; +%\fill (J) circle[radius=0.1]; +\fill (K) circle[radius=0.1]; +\fill (L) circle[radius=0.1]; +%\fill (M) circle[radius=0.1]; + +\draw[color=red] (H) circle[radius=0.5]; +\draw[color=red] (J) circle[radius=0.5]; +\draw[color=red] (M) circle[radius=0.5]; +\draw[color=red] ($0.25*(A)+0.25*(B)+0.25*(G)+0.25*(H)$) circle[radius=0.5]; + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.5cm,scale=0.5] +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (4,0); +\coordinate (C) at (5,-2); +\coordinate (D) at (8,-1); +\coordinate (E) at (7,1); +\coordinate (F) at (7,3); +\coordinate (G) at (1,3); +\coordinate (H) at (5,4); +\coordinate (I) at (9,5); +\coordinate (J) at (4,7); +\coordinate (K) at (-1,9); +\coordinate (L) at (7,11); +\coordinate (M) at (6,-0.5); + +\fill[color=gray!50] (A)--(B)--(H)--(I)--(J)--(L)--(K)--(G)--cycle; + +\draw (K)--(G)--(A)--(B)--(D); +\draw (C)--(E); +\draw (G)--(I)--(K); +\draw (G)--(L)--(K); +\draw (B)--(H); +\draw (B)--(F); +\draw (H)--(J); +\draw (A)--(H); + +\fill (A) circle[radius=0.1]; +\fill (B) circle[radius=0.1]; +\fill (C) circle[radius=0.1]; +\fill (D) circle[radius=0.1]; +\fill (E) circle[radius=0.1]; +\fill (F) circle[radius=0.1]; +\fill (G) circle[radius=0.1]; +\fill (H) circle[radius=0.1]; +\fill (I) circle[radius=0.1]; +\fill (J) circle[radius=0.1]; +\fill (K) circle[radius=0.1]; +\fill (L) circle[radius=0.1]; +\fill (M) circle[radius=0.1]; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex b/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex deleted file mode 100644 index 57105f8..0000000 --- a/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex +++ /dev/null @@ -1,28 +0,0 @@ -% -% mayervietoris.tex -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\section{Exaktheit und die Mayer-Vietoris-Folge -\label{buch:section:mayervietoris}} -\rhead{Exaktheit und die Mayer-Vietoris-Folge} -Die Berechnung der Homologie-Gruppen ist zwar im Wesentlichen ein -kombinatorisches Problem, trotzdem ist eher aufwändig. -Oft weiss man, wie sich toplogische Räume aus einfacheren Räumen -zusammensetzen lassen. -Eine Mannigkfaltigkeit zum Beispiel wird durch die Karten -definiert, also zusammenziehbare Teilmengen von $\mathbb{R}^n$, -die die Mannigkfaltigkeit überdecken. -Das Ziel dieses Abschnittes ist, Regeln zusammenzustellen, mit denen -man die Homologie eines solchen zusammengesetzten Raumes aus der -Homologie der einzelnen Teile und aus den ``Verklebungsabbildungen'', -die die Teile verbinden, zu berechnen. - -\subsection{Kurze exakte Folgen von Kettenkomplexen -\label{buch:subsection:exaktefolgen}} - -\subsection{Schlangenlemma und lange exakte Folgen -\label{buch:subsection:schlangenlemma}} - -\subsection{Mayer-Vietoris-Folge -\label{buch:subsection:mayervietoris}} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex index 397ba07..0cf4aa7 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex @@ -1,17 +1,17 @@ % -% simplex.tex -- simplizes und simpliziale Komplexe +% simplex.tex -- simplizes und Polyeder % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Simplexe und simpliziale Komplexe +\section{Simplices \label{buch:section:simplexe}} -\rhead{Simplexe und simpliziale Komplexe} +\rhead{Simplices} Die Idee, das Dreieck und seinen Rand zu unterscheiden verlangt, dass wir zunächst Dreiecke und deren höherdimensionale Verallgemeinerungen, die sogenannten Simplizes entwickeln müssen. -\subsection{Simplexe und Rand -\label{buch:subsection:simplexe}} +\subsection{Simplices und Rand +\label{buch:subsection:simplices}} \subsubsection{Rand eines Dreiecks} Die Inzidenz-Matrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte @@ -231,8 +231,127 @@ Vorzeichen zu, die Matrix ist \] \end{definition} +\subsection{Polyeder} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf} +\caption{Aufbau eines zweidimensionalen Polyeders aus +verschiedenen Simplizes. +Die Schnittmenge zweier Simplizes muss ein Untersimplex beider Simplizes +sein. +Die roten Kreise im linken Bild weisen auf verschiedene Situationen +hin, wo das diese Bedingung nicht erfüllt ist. +In rechten Bild sind zusätzliche Simlizes hinzugefügt worden, um +die Bedingungen eines Polyeders zu erfüllen. +\label{buch:homologie:figure:polyeder}} +\end{figure} +Aus einzelnen Simplizes können jetzt kompliziertere geometrische +Objekte gebaut werden. +Ein Graph ist ein Beispiel für ein geometrisches Objekt, welches +als Vereinigung von 1-Simplizes entsteht. +Die Vereinigung ist aber nicht beliebig, vielmehr ist die Schnittmenge +zweier beliebiger 1-Simplizes immer entweder leer, eine Menge +mit nur einem Vertex oder ein ganzes 1-Simplex. + +Dies reicht aber nicht, wie Abbildung~\ref{buch:homologie:polyeder} +zeigt. +In einem Graphen dürfen sich Kanten nicht in einem inneren Punkt treffen, +sondern nur in Endpunkten. +Verallgemeinert auf höherdimensionale Simplizes kann man dies als die +Bedingung formulieren, dass die Schnittmenge zweier beliebiger +Simplizes immer Untersimplizes beider Simplizes sein müssen. +Wir fassen dies zusammen in der folgenden Definition. + +\begin{definition} +\index{Polyeder}% +\index{Dimension eines Polyeders}% +\index{Polyeder, Dimension eines}% +Ein {\em Polyeder} ist eine Vereingung von endlich vielen Simplizes derart, +dass die Schnittmenge zweier beliebiger Simplizes immer ein Untersimplex +beider Simplizes ist. +Die {\em Dimension} des Polyeders ist die grösste Dimension der darin +enthaltenen Simplizes. +\end{definition} + +Ein Graph ist nach dieser Definition ein eindimensionales Polyeder. +Die Mengen in der Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:polyeder} +ist kein Polyeder, kann aber leicht zu einem Polyeder gemacht werden, +indem man einzelne Kanten mit zusätzlichen Punkten unterteilt. +Auch müssen die zweidimensionalen Simplizes aufgeteilt werden. + +Die Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:polyeder} zeigt auch, dass +die Darstellung einer Punktmenge als Polyeder nicht eindeutig ist. +Man kann die Kanten und Flächen jederzeit weiter unterteilen, ohne +dass sich die Gestalt der gesamten Menge dadurch ändert. \subsection{Triangulation \label{buch:subsection:triangulation}} +Unser Ziel ist, geometrische Objekte besser verstehen zu können. +Dabei sind uns Deformationen ja sogar Knicke egal, es interessiert uns +nur die ``Gestalt'' des Objekts. +Entfernungen zwischen Punkten sind ebenfalls von untergeordneter +Bedeutung, da sie bei Deformation nicht erhalten bleiben. +Der Begriff des ``topologischen Raumes'' fasst diese Ideen mathematisch +präzise ein, eine genaue Definition würde aber an dieser Stelle zu weit +führen. +Stattdessen beschränken wir uns auf eine Klasse von Punktmengen, die man +mit Simplizes beschreiben kann. + +Ein topologischer Raum zeichnet sich durch einen Nachbarschaftsbegriff +von Punkte aus, der erlaubt zu definieren, was eine stetige Abbildung ist. +Ein stetige Abbildungen bildet nahe beeinander liegende Punkte wieder +auf nahe beeinander liegende Punkte ab. +Dass nahe liegende Punkte nicht plötzlich auf weit auseinander liegende +Punkte abgebildet werden gibt die Intuition wieder, dass Deformationen +möglich sein sollen, dass der Raum dabei aber nicht ``reissen'' darf. +Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ können daher als ``gleichgestaltig'' +betrachtet werden, wenn es zwei stetige Abbildungen $f\colon X\to Y$ +und $g\colon Y\to X$ gibt, die zu einander invers sein. +Oder wenn sich $X$ stetig auf $Y$ abbilden lässt, so dass auch die +Umkehrabbildung stetig ist. +Eine solche Abbildung heisst ein {\em Homöomorphismus}, die beiden Räume +$X$ und $Y$ heissen {\em homomorph}. + +Eine Kugel ist natürlich kein Polyeder, aber sie kann leicht homöomorph +auf ein dreidimensionales Simplex abgebildet werden. + +\begin{beispiel} +Sei $T$ ein reguläres Tetraeder mit den Ecken auf der dreidimensionalen +Einheitskugel $B^3$. +Für jeden Richtungsvektor $x\ne 0$ sei $l(x)$ Entfernung vom Mittelpunkt des +Tetraeders bis zum Durchstosspunkt einer Geraden durch den Mittelpunkt +mit Richtungsvektor $x$ durch die Oberfläche des Tetraeders. +Dann sind die Abbildungen +\[ +f\colon +T\to B^3 +: +x \mapsto\begin{cases} +\displaystyle +\frac{x}{l(x)}&\quad\text{für $x\ne 0$}\\ +0&\quad\text{für $x=0$} +\end{cases} +\qquad\text{und}\qquad +g\colon +B^3\to T +: +x \mapsto\begin{cases} +l(x) x&\quad\text{für $x\ne 0$}\\ +0&\quad\text{für $x=0$} +\end{cases} +\] +zueinander inverse stetige Abbildungen oder Homöomorphismen. +\end{beispiel} + +Im Folgenden sollen daher nur solche topologischen Räume untersucht werden, +die homöomorph sind zu einem Polyeder. +Man nennt die homöomorphe Abbildung eines Polyeders auf so einen Raum +auch eine Triangulation. +Durch Unterteilung der Simplizes in kleiner Simplizes kann eine solche +Triangulation beliebig verfeinert werden. + + + + diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex index bdfb4e8..e650d5a 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Spiegelung} \rhead{Spiegelung} -Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. +Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \begin{figure} \centering \begin{tikzpicture} @@ -35,9 +35,9 @@ Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wi \begin{equation} \label{RefLinAlg} \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}. \end{equation} - Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$. In der geometrischen Algebra verwenden wir aber in den Formeln Vektoren, welche Spiegelachsen, nicht Spiegelebenen, repräsentieren. \end{definition} -Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix +Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$, aber in der geometrischen Algebra verwenden wir bevorzugter weise in den Formeln Vektoren, welche eine Spiegelung an einer Hyperebene beschreiben. Im zweidimensionalen repräsentiert der Vektor $\mathbf{v^{'}}$ also eine Spiegelung vom Vektor $\mathbf{v}$ an einer Gerade und im dreidimensionalen eine Spiegelung an einer Ebene. +Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix \begin{align} S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t \end{align} @@ -46,16 +46,16 @@ beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung S_2 = \begin{pmatrix} 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\ -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 - \end{pmatrix} \quad + \end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace S_3 = \begin{pmatrix} 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\ -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\ -2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\ \end{pmatrix}. \end{align} -Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S^t = S$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus +Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus \begin{align} - S^t S = S^2 = E + S_n^t S_n = S_n^2 = E \end{align} schliessen kann. @@ -63,11 +63,16 @@ schliessen kann. Um die folgenden Formeln zu verstehen, definieren wir zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert. \begin{definition} Die Inverse eines Vektors wird definiert als - \begin{align} - \mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1. + \begin{align} \label{InverseGA} + \mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2}. \end{align} - Wie schon aus anderen algebraischen Strukturen bekannt, ergibt ein Element, hier $\mathbf{u}$, multipliziert mit dessen Inversen, hier $\mathbf{u}^{-1}$, das neutrale Element der Struktur, hier 1. \end{definition} +Diese Definition ist sinnvoll, da wegen $\mathbf{u}^2 = |\mathbf{u}|^2$ folgt +\begin{align} + \mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1. +\end{align} +Der Vektor $\mathbf{u}^{-1}$ in \eqref{InverseGA} ist also tatsächlich das inverse Element im Sinne des Produktes in der geometrischen Algebra. + Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann. \begin{definition} Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ ist definiert als @@ -75,8 +80,7 @@ Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für ein \mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1} \end{align} \end{definition} - -verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu +Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu \begin{align} \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index 6a3251a..b960b56 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Rotation} \rhead{Rotation} -Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das wird für einige zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde. +Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde. \\(Hier wird noch ein Bild für das Verständnis eingefügt) \begin{figure} @@ -49,72 +49,80 @@ Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \te \subsection{Geometrische Algebra} Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten. \begin{satz} - Eine Rotation + Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Rotation \begin{align} \label{rotGA} \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) \end{align} - lässt sich durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen beschreiben. + beschreiben. \end{satz} Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. \subsubsection{Exponentialform} -Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung erweitern wir nun als erstes die Polarform +Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform \begin{align} \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right) \end{align} -eines Vektors mit $\mathbf{e}_1^2 = 1$ beim Sinus +eines Vektors einen Faktor 1 durch $1=\mathbf{e}_1^2$ und erhalten beim Sinus \begin{align}\label{e1ausklammern} - \mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right), + \mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). \end{align} -um dann $\mathbf{e}_1$ +In einem zweiten Schritt klammern wir $\mathbf{e}_1$ aus, dies ergibt \begin{align} - \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \label{ExponentialGA} + \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA} \end{align} -ausklammern zu können. Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks zu der Eulerschen Formel bei den Komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen +Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks in der Formel \eqref{ExponentialGA} zu der Eulerschen Formel bei den komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen \begin{align} \sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\ \cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots \end{align} -den Zusammenhang auch hier herzustellen. Verwenden wir jetzt noch die Eigenschaft, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, \dots$, bei dem Klammerausdruck in Formel \eqref{ExponentialGA} +diesen Zusammenhang auch hier herzustellen. Setzt man diese beiden Reihenentwicklungen in \eqref{ExponentialGA} ein, erhält man \begin{align} - \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots\\ - &= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots + \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots +\end{align} +Dies sieht noch nicht wie eine Exponentialreihe aus, da $\mathbf{e}_{12}$ nur in jedem zweiten Term auftritt. Da aber $\mathbf{e}_{12}=-1$ gibt, erhält man für +\begin{align} + e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots \label{ExponentialGA2} \end{align} -dann sieht man die Übereinstimmung mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion +Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit +\begin{align}\label{EulerGA} + e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}, +\end{align} +es gibt eine Euler-Formel mit $mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$. + +Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise \begin{align} - &e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{n}}{n!}}={\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{0}}{0!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{1}}{1!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{2}}{2!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{3}}{3!}}+\cdots\\ - &\Rightarrow \mathbf{w} = |w|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = |w|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). + \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} \end{align} -Man kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht. -Bei den komplexen Zahlen würden man vom Punkt 1 anstatt $\mathbf{e}_1$ ausgehen. +ersetzt, kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht. \subsubsection{Vektormultiplikation} -Nun werden wir das Produkt von zwei Vektoren $\mathbf{wu}$ -\begin{align} +Nun werden wir das Vektorprodukt +\begin{align} \label{VektorproduktformelGA} \mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} \end{align} -so umformen, dass wir eine bessere Darstellung erhalten. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von -$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitern +so umformen, dass wir die Drehung nur durch Exponentialterme beschreiben können. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von +$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position \begin{align} - \mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1\\ - &= |\mathbf{w}|e^{\theta_w \mathbf{e}_{21}}\mathbf{e}_1\\ - &= |\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1 + \mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1 +\end{align} +einsetzten. Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mathbf{e}_{12}$ können wir die Umformung +\begin{align} + |\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1 \end{align} -und umstrukturiert wieder in die Vektorproduktformel einsetzen +ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen un erhalten \begin{align} - \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ - \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}. + \mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ + &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}. \end{align} -Der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ +Das inverse Vektorprodukt \begin{align} \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} \end{align} -kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. -Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir +kann durch die selbe Methode vereinfacht werden. +Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte \begin{align}\label{wuExpo} - \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\\ - \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv} + \mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\ + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}. \end{align} -die finale Form der Vektorprodukte. \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein \begin{align} diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf Binary files differindex bee3bc0..5e4afdf 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex index 44319c3..2441766 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex @@ -1,13 +1,12 @@ \documentclass{standalone} \usepackage{pgfplots} - +\usepackage{txfonts} \pgfplotsset{compat = newest} \begin{document} - -\begin{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \begin{axis}[ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf Binary files differindex e86a403..b86023f 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex index 85455ef..032d6de 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex @@ -1,13 +1,12 @@ \documentclass{standalone} \usepackage{pgfplots} - +\usepackage{txfonts} \pgfplotsset{compat = newest} \begin{document} - -\begin{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \begin{axis}[ diff --git a/buch/papers/erdbeben/main.tex b/buch/papers/erdbeben/main.tex index 95f1f4b..4167475 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/main.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/main.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Erdbebenmessung\label{chapter:erdbeben}} -\lhead{Thema} +\lhead{Erdbeben} \begin{refsection} \chapterauthor{Lukas Zogg und Fabio Veicelli} diff --git a/buch/papers/erdbeben/references.bib b/buch/papers/erdbeben/references.bib index 56ca24b..444c82d 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/references.bib +++ b/buch/papers/erdbeben/references.bib @@ -1,22 +1,22 @@ %% This BibTeX bibliography file was created using BibDesk. %% https://bibdesk.sourceforge.io/ -%% Created for lukas zogg at 2021-07-17 16:48:19 +0200 +%% Created for lukas zogg at 2021-07-27 17:56:45 +0200 %% Saved with string encoding Unicode (UTF-8) -@article{aragher_understanding_2012, +@article{erdbeben:aragher_understanding_2012, author = {Faragher, Ramsey}, date-added = {2021-07-17 16:44:00 +0200}, date-modified = {2021-07-17 16:45:54 +0200}, - 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Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. +Der Seismograph ist in Abbildung ~\ref{erdbeben:Seismograph} ersichtlich. Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse. Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. @@ -30,52 +31,52 @@ Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. \begin{center} \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur} \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor} + \label{erdbeben:Seismograph} \end{center} \end{figure} \subsection{Ziel} Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit. -Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden bzw. die Kraft $f(t)$ welche auf das Gehäuse wirkt bestimmten. -Anhand dieser Beschleunigung bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung wird später das Bauwerk bemessen. +Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden, bzw. die Kraft $f(t)$, welche auf das Gehäuse wirkt, bestimmten. +Anhand dieser Beschleunigung, bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung, wird später das Bauwerk bemessen. Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ inklusive der Eigendynamik der Masse. -Um die Bewegung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden. +Um die Krafteinwirkung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden. \subsection{Systemgleichung} -Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. -Diese lautet: +Im Paper~\cite{erdbeben:mendezmueller} wurde das System gleich definiert und vorgegangen. +Im Fall unseres Seismographen, handelt es sich um ein Feder-Masse-Pendel. +Dieser kann durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator beschrieben werden. +Die Gleichung lautet: \begin{equation} -m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f +m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f. \end{equation} -mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante. -Da die DGL linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden. Dazu wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert: -\[ {s_1}=s \qquad -{s_2}=\dot s, \qquad\] -Somit entstehen die Gleichungen für die Position $s(t)$ der Masse : +wobei $m$ die Masse, $k$ die Dämpfungskonstante und $D$ die Federkonstante bezeichnet. +Da die Differentialgleichung linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden. +Dazu verwenden wir die Subsitution: +\[
s_1 = s
\qquad \text{und} \qquad
s_2 = \dot s
.
\] +Somit entstehen die Gleichungen für die Position $ \dot s_1(t)$ der Masse : \[ \dot {s_1} = {s_2}\] und -\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] für die Beschleunigung $a(t)$ der Masse. - +\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] +für die Beschleunigung $\dot s_2(t)$ der Masse. Diese können wir nun in der Form -\[ {s_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] +\[ f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen. Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. -Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. -Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. -Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse, innere Beschleunigung, als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur, äussere Beschleunigung. -In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. -\begin{equation} -\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \end{array}\right) = \left( - \begin{array}{ccc} -0 & 1& 0 \\ -- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ -\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {s_3} \end{array}\right). -\end{equation} - -Durch Rücksubstituion ergibt sich: +Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. + +Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. +Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung) als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). +In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. +Dazu wird ein Zustandsvektor definiert: +\[ + \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right). + \] +Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\dot {s_1}= v$ ist: \begin{equation} -\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1& 0 \\ - \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index e07800f..6c334bf 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -14,6 +14,8 @@ \rhead{Kalman-Filter} \section{Kalman-Filter} +Interessante Grösse ist also Integral von Überlagerung zweier Kräfte. +Wir brauchen also dir zweite Ableitung von der Messung , ohne deren Eigendynamik. Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt. Dies ist eine typische Anwendung für das Kalman-Filter. Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen. @@ -23,8 +25,8 @@ Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. -Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden. +Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. \subsection{Geschichte} Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. @@ -35,57 +37,60 @@ Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen. Dies bedeutet, das Filter schätzt nicht nur den Mittelwert, sondern auch die Standartabweichung. Da Normalverteilungen dadurch vollständig definiert sind, schätzt ein Kalman-Filter die gesamte Verteilungsfunktion des Zustandes. +In der Abbildung~\ref{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} sind zwei Funktionen dargestellt. Die eine Funktion zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normalverteilung. Die andere Funktion zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normalverteilung. -Wie man am Beispiel der Gauss-Verteilungen unten sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand normalverteilt und haben dementsprechend unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$. - +Wie man am Beispiel der Gauss-Verteilungen in Abblidung~\ref{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand normalverteilt und haben dementsprechend unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$. Dies wird in~\cite{erdbeben:aragher_understanding_2012}beschrieben. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf} \caption{Zwei Normalerteilungen; Die eine Funktion zeigt die Vorhersage, die andere die Messung} + \label{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} \end{center} \end{figure} - - +Wir haben eine Vorhersage aus der Systemdynamik und eine Messung des Zustandes. +Diese widersprechen sich im Allgemeinen. +Jedoch wissen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Aussagen. Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen berechnet. Nun wird eine Eigenschaft der Normalverteilung ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung. Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: - -\[ {y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \] +\[ +{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} +\] und der Messung: -\[ {y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. \] - - - -Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: -\[ -{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}\cdot{y_2} dx\,} - \] - +\[ +{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. +\] +Diesen werden nun multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu normieren, $\odot$ beschreibt dabei die Multiplikation und die Normierung auf den Flächeninhalt eins : +\begin{align*}
{y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}) + &= + \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \odot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}} + \\ + &=
\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}.
\end{align*} Diese Kombination der beiden Verteilungen resultiert wiederum in einer Normalverteilung -\[ {y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) {\cdot y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}), \] mit Erwartungswert \[ \mu_f = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \] und Varianz -\[ \sigma_f^2 = \frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}. \] - +\[ +\sigma_f^2 = \frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}. +\] Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. Ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. -Sie ist also gewichtet und die best mögliche Schätzung. - - +Somit ist $\mu_f$ ist das gewichtete Mittel der beiden $\mu_{1,2}$, und die Varianzen sind die Gewichte! +Die neue Funktion ist die best mögliche Schätzung für zwei Verteilungen, welche den selben Zustand beschreiben. +Dies ist in der Abbildung~\ref{erdbeben:Gauss3} anhand der rote Funktion ersichtlich. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf} \caption{Durch das Multiplizieren der blauen und der orangen Verteilung entsteht die die rote, optimale Funktion} + \label{erdbeben:Gauss3} \end{center} \end{figure} - - Was in zwei Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich das Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. \section{Filter-Matrizen} +Da wir nun ein Werkzeug besitzen, dass die Beschleunigung, welche auf das Gehäuse wirkt, ermitteln kann, wird dieses nun Schritt für Schritt erklärt. Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erläutert, wofür sie nützlich sind. @@ -94,8 +99,6 @@ In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erl Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. - - \[ {x_0 }= \left( \begin{array}{c} {s_0}\\ {v_0}\\{f_0}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) \] \subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$} @@ -108,7 +111,6 @@ Kovarianz: Cov(x, y) und Varianz: Var(x) = Cov(x, x) In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Als Initialwert für die Kovarianzmatrix ergibt sich - \[ {P_0 }= \left( @@ -145,9 +147,9 @@ Die Matrix $\Phi$ beschreibt die Übergänge zwischen zeitlich aufeinanderfolgen \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$} Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert. -Kalman-Filter berücksichtigen sowohl Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. -In der Matrix $Q$ geht es jedoch im die Unsicherheit die der Prozess mit sich bringt. -Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. +Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. +In der Matrix $Q$ geht es jedoch um die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. +Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein oder auch die Ungenauigkeiten im Modell, wie die Annahme das dich die Kraft nicht ändert. Für uns wäre dies: \[ Q = \left( @@ -157,7 +159,6 @@ Q = \left( 0 & 0& {\sigma_f }^2\\ \end{array}\right) \] - Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung. @@ -165,13 +166,15 @@ Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nic Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden. $H$ ist die Gleichung die für die Vorhersage der Messung. In unserem Falle ist es die Position der Massen. - -\[ H = (1, 0, 0) \] +\[ +H = (1, 0, 0) +\] \subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$} Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name schon sagt, das Rauschen der Messung. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich: -\[ R= ({\sigma_{sensor}}^2). +\[ +R= ({\sigma_\mathrm{sensor}}^2). \] Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. @@ -182,19 +185,25 @@ Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. +Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt: +Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$. +Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand. +Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. \subsubsection*{Vorhersage} Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert mit dem Rechenschritt: -\[ -{x_{k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}. - \] - -Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}. +\] +Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung -\[ {P_{k-1}} = {\Phi_k} {P_{k-1}} {\Phi_k} ^T + {Q_{k-1}} .\] -Es vergeht genau $t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. +\[ +{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}. +\] +Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. +Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix. Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. @@ -202,74 +211,83 @@ Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. \subsubsection*{Messen} Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. -Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert - -\[{w_{k}}={z_{k}}-{H}\cdot{x_{k-1}}.\] - +Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert. +\[ +{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}. +\] Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. -Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. +Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. \[ -{S_{k}}={H}{P_{k-1}}{H}^T+{R_{k}} - \] +{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}} +\] \subsubsection*{Aktualisieren} Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. -\[ -{K_{k}}= {{P_{k-1}} \cdot {H_{k}^T}}\cdot {S_{k}}^{-1} - \] +\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. -Er sagt aus, welcher Kurve mehr Vertraut werden soll, dem Messwert oder der Systemdynamik. -Das Kalman-Gain wird geringer, wenn der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht. -Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser. -Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert. +Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt. +Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. +In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. -\[ -{x_{k|k}}={x_{k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) - \] +Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert. +\[ +{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}} +\] +Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet. Dazu kommt eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt: - -\[ -{P_{k}}=(I-({K_{k}} \cdot {H})) \cdot {P_{k-1}} - \] - +\[ +{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} +\] Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage - -\[ -{x_{k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}. - \] - +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}. +\] \subsection{Zusammenfassung } Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$ 1. Nächster Zustand vorhersagen -\[{x_{k-1}}={\Phi} \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.\] +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}. +\] 2. Nächste Fehlerkovarianz vorhersagen -\[{P_{k-1}}={\Phi} {P_{k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.\] +\[ +{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}. +\] 3. Zustand wird gemessen -\[{w_{k}}={z_{k}}-{H}\cdot{x_{k-1}}.\] +\[ +{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}. +\] 4. Innovation (= Messung - Vorhersage) -\[ {S_{k}}={H}{P_{k-1}}{H}^T+{R_{k}}\] +\[ +{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}} +\] 5. Das Kalman Filter anwenden -\[{K_{k}}= {P_{k-1}} \cdot {H^T}\cdot {S_{k}^{-1}}\] +\[ +{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}} +\] 6. Schätzung aktualisieren -\[{x_{k}}={x_{k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) \] +\[ +{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}} +\] 7. Fehlerkovarianz aktualisieren -\[{P_{k}}=(I-({K_{k}}\cdot {H})) \cdot {P_{k-1}} \] +\[ +{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} +\] 8. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index c13732c..4532783 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -8,21 +8,30 @@ \rhead{Problemstellung} Das spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen -Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. +Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} +Man hat der Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne +soll möglichst klein werden. +Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte angenommen werden.$\mathbb{R}$. +Beim Beispiel mit den Kräne gib es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden.$\mathbb{Z}$. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. +Doch das Problem bleibt, mit ganzzahligen Punkten kann kein Optimum erzielt werden und ist eine träge, langsame Angelegenheit. \subsection{Zuordnungsproblem abstrakt \label{munkres:subsection:bonorum}} -Es sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 +In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 \begin{equation} a_{i}=b_{j}=1 \end{equation} -\subsection{alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems +Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann dann auch der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. + +In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Kosten dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Arbeiter $i$ die Aufgabe $j$ zuordnet. + +\subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \begin{equation} Netzwerk @@ -35,7 +44,7 @@ Bitpartiter Graph \end{equation} Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen. -Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen» +Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung} diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex index 9a44cd4..a3b249e 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil2.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{munkres:section:teil2}} \rhead{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen)} -Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. +Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine optimale Zuordnung gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. -Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer n×n-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von n Elementen gibt, also n!. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigender Permutationen. +Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer $n$×$n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigender Permutationen. diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index cd47c92..6307f55 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{munkres:section:teil3}} \rhead{Der Munkres-Algorithmus (Ungarische Methode)} -Mit der ungarischen Methode können also lineare Optimierungsprobleme gelöst +Mit der ungarischen Methode können also Optimierungsprobleme gelöst werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen. Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen so optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der @@ -29,15 +29,16 @@ um eine $O(n^3)$-Laufzeit zu erreichen. \subsection{Besondere Leistung der Ungarischen Methode \label{munkres:subsection:malorum}} -Es ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem +Die Ungarische Methode ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem in polynomieller Zeit löst. Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms -wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. - +wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. $n$ ist hierbei die "Grösse" des Problems. \subsection{Beispiel eines händischen Verfahrens \label{munkres:subsection:malorum}} +Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel
erläutert werden. Es gibt eine Ausgangsmatrix. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer
weiter reduziert. Anschließend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass
jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt.
Die optimale Lösung ist erreicht, wenn genau $n$ Zuordnungen gefunden
sind. + \begin{figure} \centering \includegraphics[width=14cm]{papers/munkres/figures/beispiel_munkres} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/Makefile index 9c96e88..25fd98b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile +++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile @@ -4,6 +4,52 @@ # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller # -images: - @echo "no images to be created in reedsolomon" +SOURCES := \ + anwendungen.tex \ + codebsp.tex \ + decmitfehler.tex \ + decohnefehler.tex \ + dtf.tex \ + einleitung.tex \ + endlichekoerper.tex \ + hilfstabellen.tex \ + idee.tex \ + main.tex \ + packages.tex \ + rekonstruktion.tex \ + restetabelle1.tex \ + restetabelle2.tex \ + standalone.tex \ + zusammenfassung.tex + +TIKZFIGURES := \ + tikz/polynom2.tex \ + tikz/plotfft.tex + +FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) + + +all: images standalone + + +.PHONY: images +images: $(FIGURES) + +figures/%.pdf: tikz/%.tex + mkdir -p figures + pdflatex --output-directory=figures $< + +.PHONY: standalone +standalone: standalone.tex $(SOURCES) $(FIGURES) + mkdir -p standalone + cd ../..; \ + pdflatex \ + --halt-on-error \ + --shell-escape \ + --output-directory=papers/reedsolomon/standalone \ + papers/reedsolomon/standalone.tex; + cd standalone; \ + bibtex standalone; \ + makeindex standalone; + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index a111527..4552bed 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,55 +1,85 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% dtf.tex -- Idee mit DFT % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Diskrete Fourier Transformation +\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourientransformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. -Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauch -für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. -wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. +Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourietransformation. +Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. +Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourietransformation auf Fehler reagiert. +Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourietransformation. -\subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang +\subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als - \[ - \label{ft_discrete} - \hat{c}_{k} - = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} - {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} - \] -, wenn man nun - \[ - w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} - \] -ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man - \[ - \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) - \] -was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -\subsection{Übertragungsabfolge -\label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} +Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. +Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\begin{enumerate}[1)] -\item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. -Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. -\item Nun wurde mittels der schnellen diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. -Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. -\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. -\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert. -\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96. -\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, auch Syndrom genannt, und Transformiert diese. -\item Bekommt man die Fehlerstellen im Locator wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkkent man wo die Fehler stattgefunden haben. -\end{enumerate} +\subsubsection{Beispiel einer Übertragung +\label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} +Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, +16 Fehler erkennen und rekonstruieren. +Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. +In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für Schritt, +und hier werden die einzelne Schritte erklärt: +\begin{enumerate}[(1)] + \item Das Signal hat 64 die Daten $k$, hier zufällige Zahlen, welche übertragen werden sollen. + Zusätzlich soll nach 16 Fehler $t$, die rekonstruierbar sind abgesichert werden. + Das macht dann insgesamt $k + 2t = + 64 +2 \cdot 16= 96$ Übertragungszahlen. + (siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) + Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Nullzahlen Übertragen. + \item Nun werden mittels der diskreten Fourietransformation diese 96 codiert, transformiert. + Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden, auch die Fehlerkorrekturstellen Nullzahlen. + \item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. + Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. +Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist.Die Fehlerskala ist rechts. + \item Dieses wird nun Empfangen, man kann keine Fehler erkennen, da diese soviel kleiner sind. + Für das Decodieren wird die Inverse Fourietransformation angewendet, und alle Fehler werden mittransformiert. + \item Nun sieht man die Fehler im decodierten Signal in den Übertragungszahlen. + Von den Übertragungsstellen 64 bis 96 erkennt man, das diese nicht mehr Null sind. + \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom. + In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden. + \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. + Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der Ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. + Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder. + \end{enumerate} + Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, + jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. \begin{figure} \centering - \resizebox{0.9\textwidth}{!}{ - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/plot.pdf} - \input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + \resizebox{1.1\textwidth}{!}{ + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} + %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} -\end{figure}
\ No newline at end of file +\end{figure} + +Nun zur Definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als + \begin{equation} + \hat{c}_{k} + = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} + {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}. + ,\label{reedsolomon:DFT} + \end{equation} + Wenn man nun + \begin{equation} + w = + e^{-\frac{2\pi j}{N} k} + \label{reedsolomon:DFT_summand} + \end{equation} + ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man + \begin{equation} + \hat{c}_{k}= + \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) + \label{reedsolomon:DFT_polynom} + \end{equation} + was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. +Die Polynominterpolation und die Fourietransformation rechnen beide mit reelen Zahlen. +Wenn die Fehlerabweichung sehr sehr klein ist, erkennt man diese irgendwann nicht mehr. +Zusätzlich muss mann immer Grenzen bestimmen auf wieviel Stellen gerechnet wird und wie die Fehler erkannt werden im Locator. +Deshalb haben Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, +dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 2b1d878..074df05 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -7,13 +7,11 @@ \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um, -das Problem der Fehler, bei der Datenübertragung, zu lösen. -In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus erklärt. +das Problem der Fehler bei der Datenübertragung, zu lösen. +In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, +Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. -Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, -und so jeweilige Fehler zu erkennen. -Doch nur schon um weinige Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex index 2196c82..4b156bb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex @@ -90,7 +90,7 @@ \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); %item - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west)+(1,0) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..80d17d2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..55a50ac --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 39adbbf..41e0d4c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -1,21 +1,30 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% idee.tex -- Polynom Idee % \section{Idee \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} +Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, +und so jeweilige Fehler zu erkennen. +Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. +Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen. -Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, +Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, man kann sogar einige Fehler korrigieren. +Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. +Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), +was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. +Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} +\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. +\subsection{Polynom-Ansatz +\label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist aus den Daten -ein Polynom zu bilden. -Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt. -Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, +Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. +Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt. +\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, welche uns dann das Polynom \begin{equation} p(x) @@ -24,49 +33,64 @@ p(x) \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} ergeben. -Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. +Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} +dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, -mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, -\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, -\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, -\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ -Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. -Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. +mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, +\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, +\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, +\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ +Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. +Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. +Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}. +\end{beispiel} -\subsection{Beispiel} -Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, -ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen, -da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. -(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte}) +\begin{beispiel} +Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. +Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}). +Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. +Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den +\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden. Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, -gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} -Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. +gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom} +Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt. Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. +Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet. +Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. +\end{beispiel} -\begin{figure} +\begin{figure}%[!ht] \centering - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} - \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} - \caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}} + %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} + \input{papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex} + \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} -\section{Fehlerbestimmung -\label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}} -So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann, -wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen. -Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können. -Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), -die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) ) -Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen. -Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen, -$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. +\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen +\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} +Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, +muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. +Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, +brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. +Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. +\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden. +Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom, +maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. +Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. +\end{beispiel} +Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung +\begin{equation} + \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}} + =2 + \label{reedsolomon:equation2} +\end{equation} +zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } +\begin{table} + \centering + \begin{tabular}{ c c | c} \hline Nutzlas & Fehler & Übertragen \\ \hline @@ -77,12 +101,11 @@ $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ \hline \end{tabular} -\end{center} + \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} + \label{tab:fehlerkorrekturstellen} +\end{table} -Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. -Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, -können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen -und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert. -Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, -doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig. +Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. +Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, +doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt deleted file mode 100644 index 4a481d8..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,284 -1,131.570790435043 -2,41.9840308053375 -3,12.1189172092243 -4,23.8408857476069 -5,69.1793197789512 -6,24.0186013379153 -7,37.3066577242559 -8,18.2010889773887 -9,12.3214904922455 -10,15.6627133315015 -11,24.5237955316204 -12,32.1114345314062 -13,44.9845039238714 -14,13.5324640263625 -15,10.1736266929292 -16,4.58257569495584 -17,23.217268502288 -18,16.5769107917917 -19,6.89948680823017 -20,4.84567134895776 -21,10.4219666223433 -22,43.6179140616243 -23,35.9073375743642 -24,15.0332963783729 -25,21.7594021268945 -26,23.2496572716993 -27,17.9815599423852 -28,11.3577742151117 -29,38.467599433197 -30,28.3035029562577 -31,9.54321919833388 -32,21.377558326432 -33,17.6292439561917 -34,12.6951848921471 -35,20.0667752354841 -36,22.9097309529208 -37,8.78894645948548 -38,13.360682005498 -39,25.1757616314718 -40,38.0357773686457 -41,18.4633287776253 -42,19.0584505869806 -43,10.8631093309173 -44,12.6147770818983 -45,12.5398140021274 -46,34.901983501949 -47,22.3480442021702 -48,6 -49,22.3480442021702 -50,34.901983501949 -51,12.5398140021274 -52,12.6147770818983 -53,10.8631093309173 -54,19.0584505869806 -55,18.4633287776253 -56,38.0357773686457 -57,25.1757616314718 -58,13.360682005498 -59,8.78894645948548 -60,22.9097309529208 -61,20.0667752354841 -62,12.6951848921471 -63,17.6292439561917 -64,21.377558326432 -65,9.54321919833388 -66,28.3035029562577 -67,38.467599433197 -68,11.3577742151117 -69,17.9815599423852 -70,23.2496572716993 -71,21.7594021268945 -72,15.0332963783729 -73,35.9073375743642 -74,43.6179140616243 -75,10.4219666223433 -76,4.84567134895776 -77,6.89948680823017 -78,16.5769107917917 -79,23.217268502288 -80,4.58257569495584 -81,10.1736266929292 -82,13.5324640263625 -83,44.9845039238714 -84,32.1114345314062 -85,24.5237955316204 -86,15.6627133315015 -87,12.3214904922455 -88,18.2010889773887 -89,37.3066577242559 -90,24.0186013379153 -91,69.1793197789512 -92,23.8408857476069 -93,12.1189172092243 -94,41.9840308053375 -95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt deleted file mode 100644 index f6221e6..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,6.05208333333333 -1,6.02602539785853 -2,0.0261327016093151 -3,5.98927158561317 -4,4.019445724874 -5,0.0247005083663722 -6,4.97798278395618 -7,1.95246440445439 -8,0.974000110512201 -9,2.00528527696027 -10,1.00071804528155 -11,1.97630907888264 -12,0.0232923747656228 -13,6.01302820392331 -14,3.03567381915226 -15,5.02435590137329 -16,7.00526061008995 -17,5.00739608089369 -18,5.02211514480064 -19,4.02175864806658 -20,1.00236543833726 -21,4.98147315261261 -22,8.97728828610336 -23,8.98481304394618 -24,2.98958333333333 -25,1.98491220960989 -26,5.97728835934715 -27,5.98144124907561 -28,4.00163839998525 -29,2.02176249296313 -30,9.02210713874162 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83a89eb..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex +++ /dev/null @@ -1,89 +0,0 @@ -% -% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT -% -\begin{tikzpicture}[] - -%--------------------------------------------------------------- - %Knote -\matrix[draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ - \node(signal) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis} - [title = {\Large {Signal}}, - xlabel={Anzahl Übertragene Zahlen}, - xtick={0,20,40,64,80,98},] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/signal.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(codiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/codiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; \\ - - &\node(fehler) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}, - xtick={7,21,75}] - \addplot[red] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/fehler.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(decodiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/decodiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(empfangen) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/empfangen.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(syndrom) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/syndrom.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(locator) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/locator.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ -}; -%------------------------------------------------------------- - %FFT & IFFT deskription - -\draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); -\node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; -\draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); -\node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; -\draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); - -\draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); -%Arrows -\draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); -\draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); -\draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); -\draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); -\draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); -\draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; -\draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); - -%item -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; -\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt deleted file mode 100644 index c4fa5f8..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,6 -1,6 -2,0 -3,6 -4,4 -5,0 -6,5 -7,2 -8,1 -9,2 -10,1 -11,2 -12,0 -13,6 -14,3 -15,5 -16,7 -17,5 -18,5 -19,4 -20,1 -21,5 -22,9 -23,9 -24,3 -25,2 -26,6 -27,6 -28,4 -29,2 -30,9 -31,1 -32,1 -33,1 -34,2 -35,6 -36,6 -37,1 -38,9 -39,7 -40,7 -41,1 -42,9 -43,9 -44,10 -45,9 -46,8 -47,5 -48,2 -49,4 -50,1 -51,0 -52,9 -53,3 -54,3 -55,3 -56,5 -57,6 -58,0 -59,8 -60,6 -61,9 -62,3 -63,4 -64,0 -65,0 -66,0 -67,0 -68,0 -69,0 -70,0 -71,0 -72,0 -73,0 -74,0 -75,0 -76,0 -77,0 -78,0 -79,0 -80,0 -81,0 -82,0 -83,0 -84,0 -85,0 -86,0 -87,0 -88,0 -89,0 -90,0 -91,0 -92,0 -93,0 -94,0 -95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt deleted file mode 100644 index 8ca9eed..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,0 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 -11,0 -12,0 -13,0 -14,0 -15,0 -16,0 -17,0 -18,0 -19,0 -20,0 -21,0 -22,0 -23,0 -24,0 -25,0 -26,0 -27,0 -28,0 -29,0 -30,0 -31,0 -32,0 -33,0 -34,0 -35,0 -36,0 -37,0 -38,0 -39,0 -40,0 -41,0 -42,0 -43,0 -44,0 -45,0 -46,0 -47,0 -48,0 -49,0 -50,0 -51,0 -52,0 -53,0 -54,0 -55,0 -56,0 -57,0 -58,0 -59,0 -60,0 -61,0 -62,0 -63,0 -64,0.0275599094902563 -65,0.0115837187254191 -66,0.025877761014238 -67,0.0224618032819697 -68,0.04410594689944 -69,0.0474504002669341 -70,0.0227694695500626 -71,0.0271436638090525 -72,0.0104166666666667 -73,0.0271436638090523 -74,0.0227694695500608 -75,0.0474504002669343 -76,0.0441059468994397 -77,0.0224618032819701 -78,0.0258777610142379 -79,0.0115837187254183 -80,0.027559909490256 -81,0.0245124379481793 -82,0.0499782237195209 -83,0.0401432022864265 -84,0.0232923747656228 -85,0.0237974288564099 -86,0.0143895905726624 -87,0.0271745729691685 -88,0.0275599094902567 -89,0.0515501672184983 -90,0.0358255004834542 -91,0.024700508366373 -92,0.0210194725405171 -93,0.0177592928994296 -94,0.0261327016093158 -95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index ab4e4be..017fe94 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -8,29 +8,9 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Joshua Bär und Michael Steiner} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - % Joshua \input{papers/reedsolomon/einleitung.tex} \input{papers/reedsolomon/idee.tex} -%\input{papers/reedsolomon/teil2.tex} \input{papers/reedsolomon/dtf.tex} % Michael diff --git a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex index b84e228..40c6ea3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex @@ -10,3 +10,5 @@ \usepackage{pgfplots} \usepackage{filecontents} +\usepackage{xr} + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex b/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex new file mode 100644 index 0000000..c850d1f --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +\documentclass{book} + +\input{common/packages.tex} + +% additional packages used by the individual papers, add a line for +% each paper +\input{papers/common/addpackages.tex} + +% workaround for biblatex bug +\makeatletter +\def\blx@maxline{77} +\makeatother +\addbibresource{chapters/references.bib} + +% Bibresources for each article +\input{papers/common/addbibresources.tex} + +% make sure the last index starts on an odd page +\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} +\makeindex + +%\pgfplotsset{compat=1.12} +\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning +\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} + +\begin{document} + \input{common/macros.tex} + \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} + \input{papers/reedsolomon/main.tex} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4a44333 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt index 4a481d8..4a481d8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/decodiert.txt index f6221e6..f6221e6 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/decodiert.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/empfangen.txt index 38c13b0..38c13b0 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/empfangen.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt index 23f1a83..23f1a83 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt index b28988c..b28988c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex new file mode 100644 index 0000000..bb74dfb --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{pgfplotstable} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{filecontents} + + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[] + + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix(m) [draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xtick={0,20,40,64,80,98}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture}[] + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); + \node(IFFT) [scale=0.9] at (0,9.3) {IFFT}; + \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); + + \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); + %Arrows + \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); + \draw[thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw[thick](decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; +\end{tikzpicture} +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex new file mode 100644 index 0000000..141d2ce --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +\begin{tikzpicture}[] + + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix(m) [draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xtick={0,20,40,64,80,98}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture}[] + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); + \node(IFFT) [scale=0.9] at (0,9.3) {IFFT}; + \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); + + \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); + %Arrows + \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); + \draw[thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw[thick](decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex new file mode 100644 index 0000000..80557fb --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex @@ -0,0 +1,60 @@ +% polynome +%------------------- + +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} + + +\begin{document} +% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 +\newcommand{\teiler}{40} + + +%////////////////////////////////////// + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,] + \draw[color=blue, line width=1.4pt] + plot[domain=0:8, samples=100] + ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); + + \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; + + \def\punkt#1{ + \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \def\hellpunkt#1{ + \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; + \draw[gray] #1 circle[ radius=0.07]; + } + + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + + \punkt{(1,8/\teiler)} + \hellpunkt{(2,15/\teiler)} + \hellpunkt{(3,26/\teiler)} + \punkt{(4,41/\teiler)} + \punkt{(5,60/\teiler)} + \punkt{(6,83/\teiler)} + \punkt{(7,110/\teiler)} + + + + \def\erpunkt#1{ + \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \erpunkt{(2,50/\teiler)} + \erpunkt{(3,37.66/\teiler)} + + \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; + \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; +\end{tikzpicture} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex index 288b51c..02968fd 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex @@ -1,12 +1,11 @@ -% polynome -%------------------- -% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 +% polynomraw + \newcommand{\teiler}{40} %////////////////////////////////////// -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,] \draw[color=blue, line width=1.4pt] plot[domain=0:8, samples=100] ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); @@ -21,9 +20,14 @@ \def\hellpunkt#1{ \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; + \draw[gray] #1 circle[ radius=0.07]; } + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + \punkt{(1,8/\teiler)} \hellpunkt{(2,15/\teiler)} \hellpunkt{(3,26/\teiler)} @@ -32,9 +36,7 @@ \punkt{(6,83/\teiler)} \punkt{(7,110/\teiler)} - \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] - plot[domain=0.5:7, samples=100] - ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + \def\erpunkt#1{ \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; @@ -45,5 +47,4 @@ \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; -\end{tikzpicture} -%\end{document} +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt index c4fa5f8..c4fa5f8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt index 8ca9eed..8ca9eed 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 5abd107..6ac86ad 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -6,25 +6,27 @@ Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufba Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz. \section{Suchalgorithmen} -Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eines Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren. +Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eine Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren. Einerseits wird zwischen optimalen und nicht-optimalen Algorithmen unterschieden. Ein Suchalgorithmus gilt als optimal, falls er einen günstigsten Pfad zwischen zwei Knoten findet. Es gilt zu beachten, dass im Falle des Vorhandenseins von mehrerern Pfaden mit identischer, minimaler Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten, mindestens einer dieser Pfade gefunden wird. Weiter wird zwischen informierten und uninformierten Algorithmen differenziert. Während uninformierte Suchalgorithmen den Suchraum schematisch auf Basis der Eigenschaften des Graphen absuchen, bis eine günstigste Lösung gefunden wurde, verwenden informierte Suchalgorithmen eine Heuristik zur Abschätzung der Suchrichtung. Oftmals wird bei informierten Algorithmen ein Verlust der Optimalität zugunsten einer verbesserten Rechenzeit in Kauf genommen. Es exisitieren jedoch auch Heurstiken, die eine optimale Lösung gewährleisten. -Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass stets der günstigste Weg verfolgt wird und davon ausgehend der darauffolgende, günstigste Folgezustand ausgewählt wird. Am Beispiel eines Verkehrsnetzes ist somit gewährleistet, dass beim Antreffen des Zielknotens auch der günstigste Pfad gefunden wurde. +Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie stets den zurzeit günstigsten Folgezustand auswählen. Dadurch sind sie in der Regel äusserst effizient, garantieren bei vielen Problemstellungen jedoch keine optimale Lösung. \subsection{Dijkstra-Algorithmus} -Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikter Positivität des Graphen gewährleistet. -Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. Die für dieses Paper verwendete Funktion verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt: -Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ weist das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades. +Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikt positiven Kantengewichten gewährleistet. +Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. + +Die für dieses Paper verwendete programmierte Funktion (MATLAB) verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt: +Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ enthält das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades. Zudem werden zwei Hilfs-Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{b}$ der Länge $n$ eingeführt, wobei $n$ die Anzahl Knoten des Graphen ist. Im Vektoreintrag $\vec{d}(i)$ wird das kummulierte Kantengewicht zur Erreichung von Knoten $i$ vom Startknoten $a$ gespeichert. Der Eintrag $\vec{d}(a)$ beträgt somit $0$. Im Vektor $\vec{b}$ wird zudem vermerkt, falls ein Knoten bereits als Ziel eines kürzesten Pfads gefunden wurde und somit für die weitere Suche nicht mehr berücksichtigt werden muss ($\vec{b}(i)=1$, sonst $\vec{b}(i)=0$). Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$. Ausschlaggebend für die folgende Auswahl ist die Summe der kummulierten Kantengewichte und des Kantengewichts des nächsten Knotens. Als Beispiel zur Erreichung von Knoten $k$ über Knoten $j$: \begin{equation} \vec{d}(k)=\vec{d}(j)+A(k,j) \end{equation} -Diese Iteration wird solang durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht. +Diese Iteration wird solange durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht. \subsection{A*-Algorithmus} Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine Heuristik zur Abschätzung der günstigsten Suchrichtung. Somit handelt es sich um einen informierten Greedy-Algorithmus, der abhängig von der verwendeten Heuristik auch optimal sein kann. Er wurde von Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael entwickelt. @@ -32,17 +34,22 @@ Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine H \subsection{Anwendung A*-Algorithmus} Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch eine optimale Lösung darstellt.\\ -Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht. +Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht. Ein Beispiel dafür, wie eine Abschätzfunktion gebildet werden kann findet sich in Abschnitt \ref{sec:verkehr/euklidische} \subsection{Euklidische Heuristik} +\label{sec:verkehr/euklidische} Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. Unter Verwendung dieser Heuristik gilt der A*-Algorithmus als optimal. +Bei der euklidischen Heuristik wird die Abschätzfunktion $f(k)$ für jeden Knoten $k$ durch euklidische Distanz zum Zielknoten $b$ gebildet. +\begin{equation} +f(k)=\sqrt{(x_k-x_b)^2+(y_k-y_b)^2} +\end{equation} + Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant. Hier können hingegen andere Eigenschaften des Netzwerks verwendet werden, auf welche in diesem Paper nicht weiter eingegangen wird. \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus} Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt. -Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis. -Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\ +Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ein Kreis, sprich ein Weg mit identischem Start- und Zielknoten, ist negativ, falls die Summe der Kantengewichte des Weges kleiner als null ist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis. \subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus} @@ -53,7 +60,7 @@ Dabei versucht er in jeder Iteration alle Wege von $i$ nach $j$ durch die Wege $ Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der entsprechende Eintrag aktualisiert. Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit -\begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation} +\begin{equation}d[i, j]=\min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation} ermittelt. @@ -62,10 +69,7 @@ ermittelt. Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc. Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich nicht um einen Suchalgorithmus, stattdessen werden Knoten aufgrund der Vernetzung des vorliegenden Graphen bewertet. Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\ -Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt. - -%THEORIE... -Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen. +Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche folgendes gilt: \begin{equation} A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix} @@ -75,16 +79,20 @@ A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix} \label{verkehr:Adja} \end{equation} +%THEORIE... +Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen. + + -Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1...n\right\}\end{equation} +Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}\end{equation} Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet. -Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt. -\begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation} +Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt: +\( P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \) Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt: -\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1...n\right\} \end{equation} +\( \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\} \) Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet. -Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt. -\begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation} -somit -\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation} -Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ und stellt das abschliessende Ranking dar. +Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste'' Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt: +\( \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\) +und somit allgemein: +\( \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\) +Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ der das abschliessende Ranking darstellt. diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex index 4de0b24..527885e 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section2.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex @@ -3,8 +3,8 @@ Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der Dijkstra- und der A*-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal wiederholt. -Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Menge der Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Menge der Knoten (engl. \emph{vertices}) des Graphen $G$ darstellt. -Für den A*-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zur Zeitkomplexität machen. +Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(|E|\log{}|V|)$ auf, wobei $E$ die Menge der Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Menge der Knoten (engl. \emph{vertices}) des Graphen $G$ darstellt. +Für den A*-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine definitive Angabe zur Zeitkomplexität machen. Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. |