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diff --git a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex deleted file mode 100644 index 6417bb3..0000000 --- a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex +++ /dev/null @@ -1,7 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Dirac-Matrizen} -\rhead{Dirac-Matrizen} diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex new file mode 100644 index 0000000..9392285 --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Pauli-Matrizen} +\rhead{Pauli-Matrizen} + +Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen ein textueller Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt +\begin{beispiel} + der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann + \begin{align} + 3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2 + \end{align} +\end{beispiel} +Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen. +\begin{definition} \label{def:defPauli} + vier Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare) + \begin{align} + \mathbf{e}_0 = E = + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_1 = + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_2 = + \begin{pmatrix} + 0 & -j \\ + j & 0 + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_3 = + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & -1 + \end{pmatrix}\quad + \end{align} + durch normale Matrizenmultiplikation lassen sich die restlichen Basiselemente der dreidimensionalen Clifford-Algebra herleiten + \begin{align} + \mathbf{e}_{12} = + \begin{pmatrix} + j & 0 \\ + 0 & -j + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_{23} = + \begin{pmatrix} + 0 & j \\ + j & 0 + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_{31} = + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_{123} = + \begin{pmatrix} + j & 0 \\ + 0 & j + \end{pmatrix}\quad + \end{align} +\end{definition} +Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat. +\begin{align} + \mathbf{e}_1^2 &= \mathbf{e}_0 = + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix}^2 = + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix}\\ + \mathbf{e}_{12}^2 &= -\mathbf{e}_0 = + \begin{pmatrix} + j & 0 \\ + 0 & -j + \end{pmatrix}^2 = + \begin{pmatrix} + -1 & 0 \\ + 0 & -1 + \end{pmatrix} +\end{align} +Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer grossen Matrix zusammenfasst und anschliessend wieder herausgelesen werden können. +\begin{definition} + Multivektor mit Pauli-Matrizen + \begin{align} + M &= a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}\\ + M &= + \begin{pmatrix} + (a_0+a_3) + (a_{12}+a_{123})j & (a_1+a_{31})+(-a_2+a_{23})j \\ + (a_1-a_{31})+(a_2+a_{23})j & (a_0-a_3)+(-a_{12}+a_{123})j + \end{pmatrix} + \end{align} +\end{definition} +\begin{beispiel} + \begin{align} + M &= \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 0 + \end{pmatrix}\\ + &\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \land a_0 - a_3 = 0\\ + &\Rightarrow a_0 = 0.5 \land a_3 = 0.5\\ + M &= 0.5 \mathbf{e}_0 + 0.5 \mathbf{e}_3 + \end{align} +\end{beispiel}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex index 46d04bd..ec44963 100644 --- a/buch/papers/clifford/main.tex +++ b/buch/papers/clifford/main.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \input{papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex} \input{papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex} \input{papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex} -\input{papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex} +\input{papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex} \input{papers/clifford/7_Reflektion.tex} \input{papers/clifford/8_Rotation.tex} \input{papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex} |