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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index d984c21..1aec16f 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -11,7 +11,8 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
     \caption{
-        Zweidimensionales Kristallgitter
+        Zweidimensionales Kristallgitter.
+        \texttt{TODO: make wider and shorter}
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
@@ -52,7 +53,10 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
-    \caption{Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter}
+    \caption{
+        Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
+        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
+    }
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
@@ -61,9 +65,9 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
  \begin{itemize}
      \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
-            
+
      \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.           
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
             Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
@@ -87,18 +91,18 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  \]
  Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
  \[
-    n|Q| = |Q| + 2|Q|sin(\alpha - \pi/2)
+    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
  Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
  was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2cos\alpha
-     \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
+     n = 1 - 2\cos\alpha
+     \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
  \[
-     \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
+     \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
  \]
 ein.
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
index 03a05ce..0b3ba54 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index 31ed6a4..a6e246c 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 \chapter[Crystal Math]{Crystal M\flippedA{}th\label{chapter:punktgruppen}}
 \lhead{Crystal M\flippedA{}th}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Tim T\"onz, Naoki Pross}
+\chapterauthor{Naoki Pross, Tim T\"onz}
 
 \input{papers/punktgruppen/intro}
 \input{papers/punktgruppen/symmetry}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 3c40aa8..e6b595a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -20,7 +20,10 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
-    \caption{Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft}
+    \caption{
+        Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
+        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
+    }
     \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
 \end{figure}
 
@@ -68,4 +71,4 @@ und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
 wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
 versuche sie es mit dem anderen.
 Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
-ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
-\ No newline at end of file
+ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index a2c36e8..1dc6f98 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -39,10 +39,11 @@ nun eingeführt wird.
 
 % Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
 \subsubsection{Symetriegruppe}
-	Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-	Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
-	nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
-	Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
+nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
+Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
@@ -85,6 +86,8 @@ Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
 	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
 
+\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\
+
 Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
 der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
@@ -112,7 +115,7 @@ Punktsymmetrie.
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
 möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
 es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
-Um es formaler zu beschreiben, werden wir ein einige Begriffe einführen.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
@@ -152,19 +155,20 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir ein einige Begriffe einführen.
 	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 
+\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
 %% TODO: title / fix continuity
-Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-hat, wenn es die Gleichung 
-\[
-	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-\]
-für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+% hat, wenn es die Gleichung 
+% \[
+% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+% \]
+% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
 
 % \subsection{Sch\"onflies notation}