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| -rw-r--r-- | buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 38 |
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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex index 9bc36a6..8aa2f71 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex @@ -637,7 +637,7 @@ grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$. Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein. Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$. Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend -mit der Bestimmung der Zahle $u$ und $v$. +mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$. Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als \begin{equation} @@ -704,7 +704,7 @@ Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen $Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben. -Schreiben wir die die gesuchte Matrix +Schreiben wir die gesuchte Matrix \[ K_k = @@ -715,8 +715,8 @@ e_k & e_{k-1}\\ f_k & f_{k-1} \end{pmatrix}, \] -dann kann, kann $K_k$ durch die Rekursion -\[ +dann kann man $K_k$ durch die Rekursion +\begin{equation} K_{k+1} = K_{k} Q(q_k)^{-1} @@ -724,7 +724,8 @@ K_{k} Q(q_k)^{-1} K_k K(q_k) \qquad\text{mit}\qquad K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I -\] +\label{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion} +\end{equation} berechnen. Die Inverse von $Q(q)$ ist \[ @@ -760,30 +761,9 @@ von $A$ sein. In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist die erste Spalte von $K_k$. -Wenn $K_k$ die Matrixelemente -\[ -K_k -= -\begin{pmatrix} -e_k & e_{k-1} \\ -f_k & f_{k-1} -\end{pmatrix} -\qquad\text{und}\qquad -K_0 = -\begin{pmatrix} -1&0\\ -0&1 -\end{pmatrix} -\Rightarrow -\left\{ -\begin{aligned} -e_0 &= 1 & e_{-1} &= 0\\ -f_0 &= 0 & f_{-1} &= 1 -\end{aligned} -\right. -\] -Daraus kann man Rekursionsformeln für die Folgen $e_k$ und $f_k$ -ablesen, es gilt +Aus der Rekursionsformel \eqref{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion} +für die Matrizen $K_k$ kann man jetzt eine Rekursionsbeziehung +für die Folgen $e_k$ und $f_k$ ablesen, es gilt \begin{align*} e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\ f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1} |