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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index b80769f..135ebf6 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -378,13 +378,118 @@ R^{(k+l)}[X]. % \subsection{Teilbarkeit \label{buch:subsection:polynome:teilbarkeit}} -XXX Beispiel für Polynomdivision? +Im Ring der ganzen Zahlen sind nicht alle Divisionen ohne Rest +ausführbar, so entsteht das Konzept der Teilbarkeit. +Der Divisionsalgorithmus, den man in der Schule lernt, liefert +zu beliebigen ganzen Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ den Quotienten +$q$ und den Rest $r$ derart, dass $a=qb+r$. +Der Algorithmus basiert auf der Zehnersystemdarstellung +\begin{align*} +a &= a_n10^{n} + a_{n-1}10^{n-1} + \dots + a_110^{1} + a_0 +\\ +b &= b_m10^{n} + b_{m-1}10^{n-1} + \dots + b_110^{1} + b_0 +\end{align*} +und ermittelt den Quotienten, indem er mit den einzelnen Stellen +$a_k$ und $b_k$ arbeitet. +Er ist also eigentlich ein Algorithmus für die Polynome +\begin{align*} +a &= a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X^{1} + a_0 +\\ +b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0, +\end{align*} +mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$ +gearbeitet wird. +Der Teilungsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht +rekonstruieren. + +\subsubsection{Polynomdivision} +Wir zeigen den Polynomdivisionsalgorithmus an einem konkreten Beispiel. +Gesucht sind Quotient $q\in \mathbb{Z}[X]$ und Rest $r\in\mathbb{Z}[X]$ +der beiden Polynome +\begin{equation} +\begin{aligned} +a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\ +b(X) &= X^2+X+1, +\end{aligned} +\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} +\end{equation} +für die also gilt $a=bq+r$. +Die Division ergibt +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\ +\llap{$-($}X^4&+& X^3&+& X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5} + &-&2X^3&-&8X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & & \\ + &\llap{$-($}-&2X^3&-&2X^2&-&2X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{2-7} + & & &-&6X^2&+&3X&+&6& & & & & & & & & & & & \\ + & & &\llap{$-($}-&6X^2&-&6X&-&6\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{4-9} + & & & & & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{7-9} +\end{array} +\] +Durch nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich +\begin{align*} +bq +&= +X^4-X^3-7X^2-8X-6 +\\ +bq+r&= +X^4-X^3-7X^2+X+6 = a +\end{align*} +gilt. + +Das Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war besonders +einfach, weil der führende Koeffizient des Divisorpolynomes $1$ war. +Für $b=2X^2+X+1$ funktioniert der Algorithmus dagegen nicht mehr. +Jedes für $q$ in Frage kommende Polynom vom Grad $2$ muss von der +Form $q=q_2X^2+q_1X+q_0$ sein. +Multipliziert man mit $b$, erhält man $bq=2q_2X^4 + (2q_1+q_2)X^3+\dots$. +Insbesondere ist es nicht möglich mit ganzzahligen Quotienten +$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur der ersten Koeffizienten von $a$ zu +erhalten. +Dazu müsste nämlich $a_n = 1 = 2q_2$ oder $q_2 = \frac12\not\in\mathbb{Z}$ +sein. +Der Divisionsalgorithmus funktioniert also nur dann, wenn die +Division durch den führenden Koeffizienten des Divisorpolynomes $b$ +immer ausführbar ist. +Im Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war das der +Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war. +Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist das aber nur der Fall, +wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen. + +Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten +in einem Körper $\Bbbk$. +In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome +\begin{equation} +\begin{aligned} +a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\ +b(X) &= X^2+X+1, +\end{aligned} +\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} +\end{equation} +problemlos durchführbar: +\[ +\arraycolsep=1.4pt +\renewcommand{\arraystretch}{1.2} +\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +X^4&-& X^3&-& 7X^2&+& X&+& 6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\frac12X^2&-&\frac34X&-\frac{27}{8} = q\\ +\llap{$-($}X^4&+&\frac12X^3&+& \frac12X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5} + &-&\frac32X^3&-&\frac{15}2X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & \\ + &\llap{$-($}-&\frac32X^3&-&\frac{ 3}4X^2&-&\frac{ 3}4X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & \\\cline{2-7} + & & &-&\frac{27}4X^2&+&\frac{ 7}4X&+& 6& & & & & & & & & & & \\ + & & &\llap{$-($}-&\frac{27}4X^2&-&\frac{27}8X&-&\frac{27}{8}\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & \\\cline{4-9} + & & & & & &\frac{41}8X&+&\frac{75}{8}\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & \\ +\end{array} +\] +Der Algorithmus funktioniert selbstverständlich genauso in $\mathbb{R}[X]$ +oder $\mathbb{C}[X]$, und ebenso in den in +Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} studierten endlichen Körpern. \subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung} -Der Polynomring $R[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn +Der Polynomring $\Bbbk[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn von einem gewöhnlichen Ring unterschiedet. -Der Polynomdivisionsalgorithmus findet zu zwei Polynomen $f,g\in R[X]$ -den Quotienten $q\in R[X]$ und den Rest $r\in R[X]$ mit +Der Polynomdivisionsalgorithmus findet zu zwei Polynomen $f,g\in\Bbbk[X]$ +den Quotienten $q\in\Bbbk[X]$ und den Rest $r\in\Bbbk[X]$ mit $f=qg+r$, wobei ausserdem $\deg r<\deg g$ ist. \begin{definition} |