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-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/chapter.tex14
-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex35
-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex17
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex80
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-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex78
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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index fd72a59..19f0221 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ In dieser eher arithmetischen Sichtweise ist es aber eigentlich egal, dass in
\eqref{buch:eqn:polynome:polynom} nur einfache Multiplikationen und
Additionen vorkommen.
In einem Programm könnten ja auch beliebig komplizierte Operationen
-verwendet werden, warum also diese Beschränkung.
+verwendet werden, warum also diese Beschränkung?
Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht
mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues
@@ -88,7 +88,8 @@ Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch
die rationalen oder reellen Zahlen $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$.
Man kann sogar noch weiter gehen: man kann als Koeffizienten auch
Vektoren oder sogar Matrizen zulassen.
-Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden.
+Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden,
+und sie können mit Skalaren aus dem Koeffizentenkörper multipliziert werden.
Polynome können aber auch multipliziert werden, was auf die Faltung
der Koeffizienten hinausläuft:
\begin{align}
@@ -103,15 +104,14 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m}
+
(a_{n}b_{m-1}+a_{n-1}b_{m})X^{n+m-1}
+
-\dots
-+
-\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k
-+
-\dots
+\ldots
+
(a_1b_0+a_0b_1)X
+
a_0b_0
+\\
+&=
+\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k.
\label{buch:eqn:polynome:faltung}
\end{align}
Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 3c541d8..659a972 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -74,7 +74,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
\index{normiertes Polynom}%
\index{Polynom!monisch}%
\index{normiertes Polynom}
-höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist,
+höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist,
also $a_n=1$.
\index{Leitkoeffizient}%
Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
@@ -84,7 +84,7 @@ $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom
X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
\]
machen.
-Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
+Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde {\em normiert}.
Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich.
Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
@@ -136,7 +136,7 @@ p(X)q(X)r(X)
=
p(X)(q(X)r(X))
\end{align*}
-für die Multiplikation besagt, das es keine Rolle spielt, in welcher
+für die Multiplikation besagen, dass es keine Rolle spielt, in welcher
Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt.
%
@@ -155,7 +155,7 @@ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0
\]
hat den Grad $n$, wenn $a_n\ne 0$ ist.
Der Grad von $p$ wird mit $\deg p$ bezeichnet.
-Konstante Polynome $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
+Das konstante Polynom $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
Der Grad des Nullpolynoms $p(X)=0$ ist definiert als
$-\infty$.
\end{definition}
@@ -196,24 +196,23 @@ p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\
q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m.
\end{aligned}
\]
-Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben
+Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht ``weiter oben''
sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
-Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei
+Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei
$n+m$ liegen, dies beweist
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
In einem Ring mit Nullteilern
(Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
dass der Grad kleiner ist.
-Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
+Schliesslich kann der höchste Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
\eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
\end{proof}
-In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad
-jetzt exakt:
+In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad exakt:
\begin{lemma}
Sei $R$ ein nullteilerfreier Ring und $p$ und $q$ Polynome über $R$
@@ -338,7 +337,7 @@ a &= a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X^{1} + a_0
\\
b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0,
\end{align*}
-mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$
+mit dem einzigen Unterschied, dass statt mit $X$ mit der festen Zahl $X=10$
gearbeitet wird.
Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
rekonstruieren.
@@ -399,15 +398,16 @@ Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war.
Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall,
wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen.
+\begin{beispiel}
Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten
in einem Körper $\Bbbk$.
In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome
\begin{equation}
\begin{aligned}
a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
-b(X) &= X^2+X+1,
+b(X) &= 2X^2+X+1,
\end{aligned}
-\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe}
+\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2}
\end{equation}
problemlos durchführbar:
\[
@@ -424,8 +424,9 @@ X^4&-& X^3&-& 7X^2&+& X&+& 6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\
\end{array}
\]
Der Algorithmus funktioniert selbstverständlich genauso in $\mathbb{R}[X]$
-oder $\mathbb{C}[X]$, und ebenso in den in
+oder $\mathbb{C}[X]$ und ebenso in den in
Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} studierten endlichen Körpern.
+\end{beispiel}
\subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung}
Der Polynomring $\Bbbk[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn
@@ -462,7 +463,8 @@ kann auf eindeutige Art und Weise in ein Produkt von Primfaktoren
zerlegt werden.
\subsubsection{Irreduzible Polynome}
-Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen.
+Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in die Welt der Polynomringe
+übertragen.
\index{Primzahl}%
\begin{definition}
@@ -479,16 +481,17 @@ Sei jetzt $f=X^2+bX+c$ ein quadratisches Polynom in $\mathbb{Q}[X]$.
Wenn es faktorisierbar sein soll, dann müssen die Faktoren Polynome
ersten Grades sein, also $f=(X-x_1)(X-x_2)$ mit $x_i\in\mathbb{Q}$.
Die Zahlen $x_i$ die einzigen möglichen Lösungen für $x_i$ können mit
-der Lösungsformel für die quadratische Gleichung
+der Lösungsformel
\[
x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
\]
+für die quadratische Gleichung
gefunden werden.
Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein
Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist.
In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist.
In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen,
-in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$.
+in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
\end{beispiel}
\subsubsection{Faktorisierung in einem Polynomring}
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 0743592..e494477 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
\end{pmatrix}
.
\]
-Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
+Die Vektormengen $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
$R[X]$ abgebildet werden.
\begin{center}
@@ -165,10 +165,10 @@ der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
-Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators
+Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators
$X\cdot$.
-Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht
-also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
+Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$,
+entspricht also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
in das Polynom erhalten kann:
\[
p(X\cdot)
@@ -192,7 +192,7 @@ $(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen:
0&1&0&0&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix},
&
(X\cdot)^k
&=
@@ -225,11 +225,14 @@ a_4 &a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & \dots \\
Da die Matrix-Operation als Produkt
$\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird,
kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf
-eine Faltung hinausläuft.
+eine Faltung hinausläuft:
+Die Multiplikation einer Zeile der Matrix $p(X\cdot)$ mit
+einem Spaltenvektor $b$ multipliziert den gespiegelten und verschobenen
+Vektor der Koeffizienten $a$ mit den Koeffizienten $b$.
Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist
die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
-wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf
+wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise
abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
geeigneten Vektorraum.
Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
index b4c602e..b94ae48 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
@@ -29,7 +29,7 @@ Zu diesen sogenannten Galois-Körpern können wir dann weitere Elemente
hinzufügen, wie das in Abschnitt ~\ref{buch:section:wurzeln}
gezeigt wird.
Diese Technik, die auch für den Körper $\mathbb{Q}$ funktioniert, erlaubt
-dafür zu sorgen, dass in einem Körper gewisse algebraische Gleichungen
+dafür zu sorgen, dass in einem Körper vorgebebene algebraische Gleichungen
lösbar werden.
\input{chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index a75046f..7586273 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -8,6 +8,8 @@
\rhead{Der euklidische Algorithmus}
Der euklidische Algorithmus bestimmt zu zwei gegebenen ganzen
Zahlen $a$ und $b$ den grössten gemeinsamen Teiler $g$.
+Wir schreiben $g|a$ für ``$g$ ist Teiler von $a$'' oder ``$g$ teilt $a$'',
+gesucht ist also die grösste ganze Zahl $g$ derart, dass $g|a$ und $g|b$.
\begin{definition}
\label{buch:endliche-koerper:def:ggt}
@@ -28,18 +30,16 @@ In diesem Abschnitt soll der Algorithmus zunächst für ganze Zahlen
vorgestellt werden, bevor er auf Polynome verallgemeinert und dann
in Matrixform niedergeschrieben wird.
Die Matrixform ermöglicht, einfach zu implementierende iterative
-Algorithmen für die Zahlen $s$ und $t$ un später auch für die
+Algorithmen für die Zahlen $s$ und $t$ und später auch für die
Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu finden.
%
% Der euklidische Algorithmus für ganze Zahlen
%
\subsection{Grösster gemeinsamer Teiler ganzer Zahlen}
-Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ und wir dürfen annehmen,
-dass $a\ge b$.
+Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$.
+Wir dürfen annehmen, dass $a\ge b$.
Gesucht ist der grösste gemeinsame Teiler $g$ von $a$ und $b$.
-Wir schreiben $g|a$ für ``$g$ ist Teiler von $a$'' oder ``$g$ teilt $a$'',
-gesucht ist also die grösste ganze Zahl $g$ derart, dass $g|a$ und $g|b$.
Ist $b|a$, dann ist offenbar $b$ der grösste gemeinsame Teiler von $a$
und $b$.
@@ -70,7 +70,15 @@ neuen Quotienten $q_1$ und einen neuen Rest $r_1$ liefert mit $a_1-q_1b_1=r_1$.
So entstehen vier Folgen von Zahlen $a_k$, $b_k$, $q_k$ und $r_k$ derart,
dass in jedem Schritt gilt
\begin{align*}
-a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1}.
+a_k - q_kb_k &= r_k
+&&\wedge &
+g&|a_k
+&&\wedge &
+g&|b_k
+&&\wedge &
+a_k &= b_{k-1}
+&&\wedge &
+b_k = r_{k-1}.
\end{align*}
Der Algorithmus bricht im Schritt $n$ ab, wenn $r_{n+1}=0$.
Der letzte nicht verschwindende Rest $r_n$ muss daher der grösste gemeinsame
@@ -109,7 +117,8 @@ Wir können sie aber verwenden, um die Zahlen $s$ und $t$ zu bestimmen.
Wir drücken die Reste im obigen Beispiel durch die Zahlen $a_k$, $b_k$ und
$q_k$ aus und setzen sie in den Ausdruck $g=a_5-q_5b_5$ ein, bis wir
einen Ausdruck in $a_0$ und $b_0$ für $g$ finden:
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
r_5&=a_5-q_5 b_5=a_5-1\cdot b_5& g &= a_5 - 1 \cdot b_5 = b_4 - 1 \cdot r_4
\\
r_4&=a_4-q_4 b_4=a_4-2\cdot b_4& &= b_4 - (a_4 -2b_4)
@@ -126,7 +135,8 @@ r_1&=a_1-q_1 b_1=a_1-3\cdot b_1& &= -7b_1 + 17(a_1-3b_1)
\\
r_0&=a_0-q_0 b_0=a_0-3\cdot b_0& &= 17b_0 - 58(a_0t-3b_0)
= -58a_0+191b_0
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
Tatsächlich gilt
\[
-58\cdot 76415 + 191 \cdot 23205 = 85,
@@ -339,7 +349,7 @@ berechnen.
% Vereinfachte Durchführung des euklidischen Algorithmus
%
\subsection{Iterative Durchführung des erweiterten euklidischen Algorithmus
-\label{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}}
+\label{buch:endlichekoerper:subsection:erweitertereuklidischeralgo}}
Die Durchführung des euklidischen Algorithmus mit Hilfe der Matrizen
$Q(q_k)$ ist etwas unhandlich.
In diesem Abschnitt sollen die Matrizenprodukte daher in einer Form
@@ -348,6 +358,8 @@ dargestellt werden, die leichter als Programm zu implementieren ist.
In Abschnitt~\ref{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}
wurde gezeigt, dass das Produkt der aus den Quotienten $q_k$ gebildeten
Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden muss.
+Im Folgenden soll ein rekursiver Algorithmus zu seiner Berechnung
+hergeleitet werden.
Dazu beachten wir zunächst, dass die Multiplikation mit der Matrix
$Q(q_k)$ die zweite Zeile in die erste Zeile verschiebt:
\[
@@ -372,7 +384,7 @@ Die Matrizen
\[
Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\cdots Q(q_0)
\]
-haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte vo $k$ eine Zeile
+haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte von $k$ eine Zeile
gemeinsam.
Wir bezeichnen die Einträge der ersten Zeile der Matrix $Q_k$ mit
$c_k$ und $d_k$.
@@ -389,7 +401,7 @@ Q(q_k)
\begin{pmatrix}
c_{k-1}&d_{k-1}\\
c_{k} &d_{k}
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
\]
Daraus ergeben sich die Rekursionsformeln
\begin{equation}
@@ -445,6 +457,15 @@ um die Spalten zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
\begin{center}
\label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\fill[color=darkgreen!30] (1.8,-0.4) rectangle (3.5,0.4);
+\node at (3.10,0) {$\displaystyle
+\color{darkgreen}
+\begin{pmatrix}
+\phantom{-33}\,\,&\phantom{-233}\\
+\phantom{-33}\,\,&\phantom{-233}
+\end{pmatrix}\;=Q_2$};
+\node at (0,0) {$\displaystyle
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
\hline
@@ -460,7 +481,8 @@ k& a_k& b_k& q_k& r_k& c_k& d_k\\
6& 340& 85& 4& 0& -58& 191\\
7& 85& 0& & & 273& -899\\
\hline
-\end{tabular}
+\end{tabular}$};
+\end{tikzpicture}
\end{center}
Aus den letzten zwei Spalten der Tabelle kann man ablesen, dass
\begin{align*}
@@ -471,9 +493,10 @@ wie erwartet.
Die gesuchten Zahlen $s$ und $t$ sind also $s=-58$ und $t=191$.
\end{beispiel}
-Die Matrizen $Q_k$ kann man auch as der Tabelle ablesen, sie bestehen
+Die Matrizen $Q_k$ kann man auch aus der Tabelle ablesen, sie bestehen
aus den vier Elementen in den Zeilen $k$ und $k+1$ in den
Spalten $c_k$ und $d_k$.
+Die Matrix $Q_2$ ist beispielhaft grün hervorgehoben.
Auf jeder Zeile gilt $b_k = c_ka_0 + d_kb_0$, für $k>0$ ist dies
$c_ka_0+d_kb_0=r_{k-1}$.
@@ -527,7 +550,7 @@ durch das Problem der Teilbarkeit der Koeffizienten.
Dieses Problem entfällt, wenn man die Koeffizienten aus einem
Bereich wählt, in dem Teilbarkeit kein Problem ist, also in einem Körper.}
verhält
-sich bezüglich Teilbarkeit ganz genau gleich wie die ganzen Zahlen.
+sich bezüglich Teilbarkeit ganz ähnlich wie die ganzen Zahlen.
Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die
Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar.
@@ -595,7 +618,7 @@ ta+sb
-4X^2+4X+8,
\end{align*}
und dies ist tatsächlich der gefundene grösste gemeinsame Teiler.
-Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Polynomfaktoren, mit denen
+Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Faktoren, mit denen
$a$ und $b$ gleich werden:
\begin{align*}
q_{21}a+q_{22}b
@@ -609,20 +632,23 @@ q_{21}a+q_{22}b
\qedhere
\end{align*}
Man kann natürlich den grössten gemeinsamen Teiler auch mit Hilfe einer
-Faktorisierung der Polynome $a$ und $b$ finden:
+Faktorisierung der Polynome $a$ und $b$ finden.
+Um die Übersicht zu erleichtern, werden gleiche Faktoren jeweils untereinander
+geschrieben und fehlende Faktoren als Platzhalter in grau dargestellt.
+\def\grau#1{\bgroup\color{gray!50}#1\egroup}
\begin{align*}
&\text{Faktorisierung von $a$:}&
-a &= (X-3) (X-2)\phantom{(X-1)}(X+1) (X+2) \phantom{(X+3)}\\
+a &= (X-3) (X-2)\grau{(X-1)} (X+1) (X+2) \grau{(X+3)}\\
&\text{Faktorisierung von $b$:}&
-b &=\phantom{(X-3)}(X-2) (X-1) (X+1)\phantom{(X+2)} (X+3) \\
+b &=\grau{(X-3)} (X-2) (X-1) (X+1) \grau{(X+2)} (X+3) \\
&\text{gemeinsame Faktoren:}&
-g &=\phantom{(X-3)}(X-2)\phantom{(X-1)}(X+1)\phantom{(X+2)}\phantom{(X+3)}
+g &=\grau{(X-3)} (X-2)\grau{(X-1)} (X+1) \grau{(X+2)}\grau{(X+3)}
= X^2 -X + 2\\
&&
-v=a/g&= (X-3)\phantom{(X-2)(X-1)(X+1)} (X+2) \phantom{(X+3)}
+v=a/g &= (X-3)\grau{(X-2) (X-1) (X+1)} (X+2) \grau{(X+3)}
= X^2-X-6 \\
&&
-u=b/g&=\phantom{(X-3)(X-2)} (X-1)\phantom{(X+1)(X+2)}(X+3)
+u=b/g&=\grau{(X-3) (X-2)} (X-1)\grau{(X+1) (X+2)} (X+3)
= X^2+2X-3
\end{align*}
Aus den letzten zwei Zeilen folgt
@@ -702,7 +728,7 @@ Q(q_n)^{-1}
\]
Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
-ist der die Matrix
+ist daher die Matrix
\[
K
=
@@ -715,7 +741,9 @@ Q(q_n).
Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
Matrix $Q$.
-Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht schwierig.
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht schwierig,
+aber eingebaut in den bereits etablierten iterativen Prozess fällt
+sie noch leichter.
Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
$Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
@@ -938,7 +966,9 @@ Man weiss zusätzlich noch, dass der euklidische Algorithmus genau drei
Schritte braucht, es gibt also genau drei Quotienten, die in die
Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
-Im ersten Schritt des euklidischen Algorithmus ist der Quotient
+In den folgenden Zeilen wird der euklische Algorithmus für die Polynome
+$n(X)$ und $r(X)$ durchgeführt.
+Im ersten Schritt ist der Quotient
$n(X) / r(X)$ zu bestimmen, der Grad $1$ haben muss.
\begin{align*}
a_0=n(X) &= X^{12}+12
@@ -961,7 +991,7 @@ a_2 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
\\
b_2 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
\\
-q_2 &= 2X+10
+q_2 &= 2X+10.
\end{align*}
Aus den Polynomen $q_k$ können jetzt die Faktoren $u$ und $v$
bestimmt werden:
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index 7ffef0b..1d4a9c9 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -80,14 +80,14 @@ Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden.
Zum Beispiel gilt
\[
\begin{aligned}
-48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$}
+48&\equiv -1\mod 7&&\Leftrightarrow& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$}
\\
-3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.}
+3\cdot 5=15&\equiv\phantom{-}1\mod 7&&\Leftrightarrow & 3\cdot 5&=\phantom{-}1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.}
\end{aligned}
\]
Das Beispiel zeigt, dass man mindestens in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ mit
Resten ganz ähnlich rechnen kann wie in $\mathbb{Q}$.
-In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative inverse
+In $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ scheinen $3$ und $5$ multiplikative Inverse
zu sein.
Tatsächlich kann man auf den Restklassen eine Ringstruktur definieren.
@@ -97,7 +97,6 @@ Der Rest $a$ kann jede Zahl der Form $a+kn$ darstellen.
Ebenso kann der Rest $b$ jede Zahl der Form $b+ln$ darstellen.
Deren Summe ist $a+b+(k+l)n\equiv a+b\mod n$.
Der Repräsentant des Restes hat also keinen Einfluss auf die Summe.
-
Ebenso ist das Produkt der beiden Repräsentaten
$(a+kn)\cdot(b+ln) = ab + (al+bk)n + kln^2=ab + (al+bk+kln)n\equiv ab\mod n$
für jede Wahl von $k$ und $l$.
@@ -105,7 +104,7 @@ Auch die Multiplikation ist also unabhängig vom gewählten Repräsentanten.
\begin{definition}
Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist ein Ring,
-heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}.
+er heisst der {\em Restklassenring modulo $n$}.
\end{definition}
\subsubsection{Division in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$}
@@ -288,7 +287,7 @@ Primzahl ist.
Wir betrachten dazu die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
Perlenketten der Länge $p$ mit $a$ Farben.
Einge dieser Perlenketten unterscheiden sich nur durch eine
-Drehung um einzelne Perlen.
+Drehung um eine gewisse Anzahl Perlen.
Sei $G$ die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
Perlenketten, die sich nicht nur um eine Drehung unterscheiden.
@@ -362,14 +361,11 @@ $(p-1)!\equiv -1\mod p$.
\begin{proof}[Beweis]
Wenn $p$ keine Primzahl ist, dann lässt sich $p$ in Faktoren
-$p=n_1\cdot n_2=p$ zerlegen.
-Beide Faktoren kommen in der Liste $1,2,\dots,p-1$ vor.
-Insbesondere haben $p=n_1n_2$ und $(p-1)!$ mindestens einen
-der Faktoren $n_1$ oder $n_2$ gemeinsam, wir können annehmen,
-dass $n_1$ dieser Faktor ist.
-Es folgt, dass der grösste gemeinsame Teiler von $p$ und $(p-1)!$
-grösser als $n_1$ ist, auch $(p-1)!$ ein Vielfaches von $n_1$ in
-$\mathbb{F}_p$.
+$p=n_1\cdot n_2$ zerlegen.
+Dies bedeutet auch, dass $n_1$ und $n_2$ Nullteiler sind in
+$\mathbb{F}_p$, es ist also $n_1n_2=0\in\mathbb{F}_p$.
+Beide Faktoren kommen in der Liste der Zahlen $1,2,\dots,p-1$ vor.
+Daher muss auch $1\cdot2\cdot\dots\cdot(p-1)=(p-1)!=0\in\mathbb{F}_p$ sein.
Insbesondere kann $(p-1)!$ nicht $-1\in\mathbb{F}_p$ sein.
Ist andererseits $p$ eine Primzahl, dann sind die Zahlen $1, 2,\dots,p-1$
@@ -382,7 +378,7 @@ Daher ist auch $(a+1)(a-1)=0$, in $\mathbb{F}_p$ muss daher einer
der Faktoren $0$ sein, also $a=-1$ oder $a=1$ in $\mathbb{F}_p$.
Zu jeder Zahl $a\in\{2,\dots,p-2\}$ liegt die Inverse $a^{-1}$
-ebenfalls in diesen Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$.
+ebenfalls in diesem Bereich und ist verschieden von $a$: $a^{-1}\ne a$.
Das Produkt der Zahlen
$2\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (p-2)$ besteht also aus zueinander inversen
Paaren.
@@ -467,7 +463,7 @@ Ein Körper mit Charakteristik $0$ enthält immer unendliche viele
Elemente.
\subsubsection{Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten}
-Als Beispiel für die Auswrikung der Charakteristik auf die Arithmetik
+Als Beispiel für die Auswirkung der Charakteristik auf die Arithmetik
in einem endlichen Körper betrachten wir die Teilbarkeitseigenschaften
der Binomialkoeffizienten.
@@ -500,9 +496,10 @@ Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten.
\index{Binomialkoeffizient}%
Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$
und $0<m<n$.
+
Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial5} zeigt das Pascal-Dreieck
auch noch für $p=5$.
-Hier ist auch schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar.
+Auch hier ist schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar.
\index{Selbstähnlichkeit}%
\index{Pascal-Dreieck}%
Ersetzt man die ``5er-Dreiecke'' durch ein volles Dreieck mit der Farbe
@@ -530,7 +527,7 @@ Für den Binomialkoeffizienten gilt
=
\frac{p\cdot (p-1)\cdot(p-2)\cdot\ldots\cdot (p-m+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot m}.
\]
-Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner $p$ sein, der Faktor $p$
+Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner die Zahl $p$ sein, der Faktor $p$
im Zähler kann also nicht weggekürzt werden, so dass der Binomialkoeffizient
durch $p$ teilbar sein muss.
@@ -569,6 +566,18 @@ Sei $p$ eine Primzahl, dann ist
für $0<m<p^k$
\end{satz}
+Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man
+auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren, in dem auch der Beweis
+etwas eleganter formuliert werden kann:
+
+\begin{satz}
+\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp}
+In $\mathbb{F}_p$ gilt
+\[
+\binom{p^k}{m}=0
+\]
+für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$.
+\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir wissen aus Satz \ref{buch:endliche-koerper:satz:binom}, dass
\begin{equation}
@@ -601,17 +610,6 @@ Damit ist
\eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} für alle $k$ bewiesen.
\end{proof}
-Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man
-auch im Körper $\mathbb{F}_p$ formulieren:
-
-\begin{satz}
-\label{buch:endliche-koerper:satz:binomFp}
-In $\mathbb{F}_p$ gilt
-\[
-\binom{p^k}{m}=0
-\]
-für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$.
-\end{satz}
\subsubsection{Frobenius-Automorphismus}
Die Abbildung $x\mapsto x^n$ ist weit davon entfernt, sich mit den
@@ -629,7 +627,7 @@ a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n
gibt es zwischen den Termen an den Enden des Ausdrucks noch viele
Zwischenterme, die normalerweise nicht verschwinden.
-Ganz anders sieht die Situation aus, wenn $n=p$ ist.
+Ganz anders sieht die Situation in $\mathbb{F}_p$ aus, wenn $n=p$ ist.
Nach Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomFp} verschwinden die
Binomialkoeffizienten der Zwischenterme der Summe
\eqref{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel}
@@ -638,12 +636,17 @@ Daher gilt
\index{Frobenius-Automorphismus}%
\begin{satz}[Frobenius-Automorphismus]
+\label{buch:endliche-koerper:satz:frobenius}
In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung
$x\mapsto x^p$ ist ein Automorphismus, der den Primkörper
$\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ fest lässt.
\end{satz}
-\begin{proof}[Beweis]
+\begin{definition}
+Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}.
+\end{definition}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:frobenius}]
Wir müssen uns nur noch davon überzeugen, dass $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$
fest bleibt.
Nach dem kleine Satz von Fermat~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat}
@@ -651,6 +654,3 @@ ist $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p$, der Frobenius-Automorphismus
lässt also alle Elemente von $\mathbb{F}_p$ fest.
\end{proof}
-\begin{definition}
-Der Automorphismus $x\mapsto x^p$ heisst {\em Frobenius-Automorphismus}.
-\end{definition}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index e3731d5..1118387 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
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@@ -15,12 +15,13 @@ erweitert haben.
Es ist aber auch möglich, nur die Zahl $\sqrt{2}$ hinzuzufügen,
so entsteht der Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
Das Problem dabei ist, was denn eigentlich $\sqrt{2}$ überhaupt ist.
-Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch $\sqrt{2}$ nicht.
+Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch die
+gewohnte Realisation von $\sqrt{2}$ nicht.
Das Problem wird akut bei den endlichen Körpern wie zum Beispiel
$\mathbb{F}_3$,
da man diese nicht in $\mathbb{R}$ einbetten kann, also keine
bekannte Menge von Zahlen existiert, in der wir die Wurzel $\sqrt{2}$
-finden könnte.
+finden könnten.
Im Altertum fiel dieses Problem zunächst den Pythagoreern auf.
Wenn $\sqrt{2}$ kein Bruch ist, was ist es dann?
@@ -46,7 +47,7 @@ Zunächst wird in Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerpererweiterungen}
gezeigt, dass man immer eine Matrix $M_\alpha$ finden kann, welche
genau die algebraischen Eigenschaften einer Nullstelle $\alpha$ eines
Polynoms hat.
-Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``Eine Matrix''.
+Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``eine Matrix''.
Mit diesem Bild lassen sich alle Körperoperationen realisieren, die
Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem
Gauss-Algorithmus berechnet werden.
@@ -62,7 +63,7 @@ genauer zu charakterisieren.
\subsection{Irreduzible Polynome
\label{buch:subsection:irreduziblepolynome}}
-Die Zahlen, die man dem Körper hinzufügen möchte, müssen Nullstellen
+Die Zahlen, die man dem Körper $\Bbbk$ hinzufügen möchte, müssen Nullstellen
eines Polynoms sein.
Wir gehen daher davon aus, dass $f\in \Bbbk[X]$ ein Polynom mit
Koeffizienten in $\Bbbk$ ist, dessen Nullstelle $\alpha$ hinzugefügt
@@ -89,7 +90,8 @@ Zusätzlich kann verlangt werden, dass das Polynom normiert ist.
\begin{definition}
Ein Polynom $f\in \Bbbk[X]$ heisst {\em irreduzibel}, wenn es sich nicht
-in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ mit $f=gh$ zerlegen lässt.
+in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ geringeren Grades mit $f=gh$ zerlegen
+lässt.
\index{irreduzibles Polynom}%
\end{definition}
@@ -101,10 +103,10 @@ Das Polynom $f(X)=X^2-2$ ist in $\mathbb{Q}[X]$, es hat die beiden
Nullstellen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$.
Beide Nullstellen haben die exakt gleichen algebraischen Eigenschaften,
sie sind mit algebraischen Mitteln nicht zu unterscheiden.
-Nur die Vergleichsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der
+Nur die Ordnungsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der
positiven zu unterscheiden.
Das Polynom kann in $\mathbb{Q}$ nicht faktorisiert werden, denn die
-einzig denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
+einzige denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
Faktoren sind aber keine Polynome in $\mathbb{Q}[X]$.
Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$.
@@ -130,9 +132,11 @@ X^2 -2 \mod 23,
\begin{beispiel}
Die Zahl
\[
-\alpha = \frac{1+i\sqrt{3}}2
+\alpha = \frac{-1+i\sqrt{3}}2\in\mathbb{C}
\]
+\label{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
ist eine Nullstelle des Polynoms $f(X)=X^3-1\in\mathbb{Z}[X]$.
+Der Ausdruck für
$\alpha$ enthält aber nur Quadratwurzeln, man würde also eigentlich
erwarten, dass $\alpha$ Nullstelle eines quadratischen Polynoms ist.
Tatsächlich ist $f(X)$ nicht irreduzibel, es ist nämlich
@@ -178,7 +182,7 @@ konstruiert werden soll.
\subsubsection{Erweiterung mit einem irreduziblen Polynom}
Sei $m\in\Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynome über $\Bbbk$ mit dem Grad
-$\deg m=n$,
+$\deg m=n>1$,
wir dürfen es als normiert annehmen und schreiben es in der Form
\[
m(X)
@@ -238,7 +242,7 @@ Basisvektoren von $\Bbbk(\alpha)$ wirkt:
\alpha^2&\mapsto \alpha^3 \\
&\phantom{m}\vdots\\
\alpha^{n-2}&\mapsto \alpha^{n-1}\\
-\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1}
+\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1}.
\end{aligned}
\right.
\]
@@ -255,8 +259,7 @@ M_{\alpha}
& & & & 1 &-m_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]
-%TODO: Was ist hier die Aussage?
-Aufgrund der Konstruktion die Lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
+Aufgrund der Konstruktion wird die lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
die man erhält, wenn
man die Matrix $M_\alpha$ in das Polynom $m$ einsetzt, jeden Vektor
in $\Bbbk(\alpha)$ zu Null machen.
@@ -264,7 +267,9 @@ Als Matrix muss daher $m(M_\alpha)=0$ sein.
Dies kann man auch mit einem Computeralgebra-System nachprüfen.
\begin{beispiel}
-In einem früheren Beispiel haben wir gesehen, dass
+In dem früheren Beispiel auf
+Seite~\pageref{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
+haben wir gesehen, dass
$\alpha=\frac12(-1+\sqrt{3})$
eine Nullstelle des irreduziblen Polynomes $m(X)=X^2+X+1$ ist.
Die zugehörige Matrix $M_\alpha$ ist
@@ -317,7 +322,7 @@ M_\alpha^2+M_\alpha+I
\]
Die Matrix ist also eine mögliche Realisierung für das ``mysteriöse''
Element $\alpha$.
-Es hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$.
+Sie hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$.
\end{beispiel}
Die Menge $\Bbbk(\alpha)$ kann durch die Abbildung $\alpha\mapsto M_\alpha$
@@ -335,12 +340,14 @@ Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus.
Die Menge $\Bbbk(M_\alpha)$ ist also das Bild des
Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$.
-\subsubsection{Inverse}
-Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir $\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
-Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden.
-Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie Matrizen invertiert
+\subsubsection{Inverse mit der inversen Matrix}
+Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir Elemente in $\Bbbk(\alpha)$
+invertieren sollen.
+%$\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
+Wir können dafür aber die Matrizendarstellung verwenden.
+Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie sie invertiert
werden können.
-Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ direkt invertieren:
+Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ z.~B.~direkt invertieren:
\[
M_\alpha^{-1}
=
@@ -527,8 +534,8 @@ werden:
\hline
\end{tabular}
\end{align*}
-Für die Durchführung braucht man die Inversen in $\mathbb{F}_7$
-der Pivot-Elemente, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
+Für die Durchführung braucht man die Inversen
+der Pivot-Elemente in $\mathbb{F}_7$, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
Im rechten Teil des Tableau steht jetzt die inverse Matrix
\[
A^{-1}
@@ -544,28 +551,29 @@ Daraus können wir jetzt das inverse Element
b(\alpha) = 6\alpha+5\alpha^2
\]
ablesen.
-Das Produkt $b(X)\cdot a(X)$ ist
+Zur Kontrolle berechnen wir das Produkt $b(X)\cdot a(X)$, es ist
\begin{align*}
(1+2X+2X^2)(6X+5X^2)
&=
10X^4 + 22X^3 + 17X^2 + 6X
\\
&=
-3X^4+X^3+3X^2+6X
+3X^4+X^3+3X^2+6X.
\intertext{
-Diese Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
+Dieses Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
werden, wir subtrahieren dazu $3Xm(X)$ und erhalten}
&=
-5X^3-3X^2-3X
\\
&=
-2X^3+4X^2+4X
+2X^3+4X^2+4X.
\intertext{Die vollständige Reduktion wird erreicht, indem wir nochmals
$2m(X)$ subtrahieren:}
&=
-6 \equiv 1\mod 7,
\end{align*}
-das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von
+das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also tatsächlich
+das inverse Element von
$a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$.
\label{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix}
\end{beispiel}
@@ -588,9 +596,9 @@ Beispiel auf $\varphi(m) = m(M_\alpha) = 0$ abgebildet.
Der Kern von $\varphi$ besteht aus allen Polynomen $p\in\Bbbk[X]$,
für die $p(M_\alpha)=0$ gilt.
-Da aber alle Matrizen $E,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear
+Da aber alle Matrizen $I,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear
unabhängig sind, muss ein solches Polynom den gleichen Grad haben
-we $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein.
+wie $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein.
Der Kern besteht daher genau aus den Vielfachen von $m(X)$,
$\ker\varphi = m(X)\Bbbk[X]$.
@@ -641,7 +649,7 @@ welches $I$ echt enhält.
Sei $a\in J\setminus I$.
Da $R/I$ ein Körper ist, ist $a+I$ invertierbar, es gibt also ein
$b\in R$ mit $ab+I=1+I$.
-Da $a\in J$ folgt $Ra\subset J$.
+Da $a\in J$ ist, folgt $Ra\subset J$.
Andererseits ist $1\in Ra$, also ist $J=R$ und das Ideal $J$ ist maximal.
\end{proof}
@@ -652,10 +660,10 @@ somit ist $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]\cong \Bbbk(M_\alpha) \cong \Bbbk(\alpha)$.
Die algebraische Konstruktion hat gezeigt, dass die arithmetischen
Operationen im Körper $\Bbbk(\alpha)$ genau die Operationen
in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$ sind.
-Eine Zahl in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom
+Eine ``Zahl'' in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom
$n-1$ dargestellt.
-Addieren und Subtrahieren erfolgen Koeffizientenweise in $\Bbbk$.
-Bei der Multiplikation entsteht möglicherwise ein Polynom grösseren
+Addieren und Subtrahieren erfolgen koeffizientenweise in $\Bbbk$.
+Bei der Multiplikation entsteht möglicherweise ein Polynom grösseren
Grades, mit dem Polynomdivisionsalgorithmus kann der Rest bei Division
durch $m$ ermittelt werden.
@@ -739,8 +747,8 @@ Dies ist derselbe Rest wie wir mit dem Divisionsalgorithmus
gefunden haben.
\end{beispiel}
-Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist besonders leicht durchzuführen
-in einem Körper $\mathbb{F}_2$, da dort die Addition und die Subtraktion
+Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist in einem Körper $\mathbb{F}_2$
+besonders leicht durchzuführen, da dort die Addition und die Subtraktion
der Koeffizienten übereinstimmen.
Die Multiplikation mit $X$ ist nichts anders als ein Shift der
Koeffizienten.
@@ -919,5 +927,5 @@ Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix}
Besonders einfach ist die Rechung für $\Bbbk=\mathbb{F}_2$.
Dieser Spezialfall ist für die praktische Anwendung in der Kryptographie
von besonderer Bedeutung, daher wird er im
-In Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.
+Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.
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