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% chapter.tex -- Kapitel über endliche Körper
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\chapter{Endliche Körper
\label{buch:chapter:endliche-koerper}}
\lhead{Endliche Körper}
\rhead{}
Aus den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ entsteht ein Körper, indem wir Brüche
bilden und dabei alle von $0$ verschiedenen Nenner zulassen.
Der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ enthält unendliche
viele Zahlen und hat zusätzlich die sogenannte archimedische Eigenschaft,
nämliche dass es zu zwei positiven rationalen Zahlen $a$ und $b$ immer eine
ganze Zahl $n$ gibt derart, dass $na>b$.
Dies bedeutet auch, dass es in den rationalen Zahlen beliebig grosse Zahlen
gibt.
Man kann aus den ganzen Zahlen aber auch eine Reihe von Körpern ableiten,
die diese Eigenschaft nicht haben.
Nicht überraschend werden die ersten derartigen Körper, die wir
in Abschnitt~\ref{buch:section:galoiskoerper} konstruieren werden,
endlich viele Elemente haben.
Als Hilfsmittel für die Definition der Division in diesem Körper wird
als Vorbereitung in Abschnitt~\ref{buch:section:euklid} der
euklidische Algorithmus vorgestellt, wobei auch eine besonders zum
Thema dieses Buches passende Beschreibung in Matrixform angegeben wird.
Zu diesen sogenannten Galois-Körpern können wir dann weitere Elemente
hinzufügen, wie das in Abschnitt ~\ref{buch:section:wurzeln}
gezeigt wird.
Diese Technik, die auch für den Körper $\mathbb{Q}$ funktioniert, erlaubt
dafür zu sorgen, dass in einem Körper gewisse algebraische Gleichungen
lösbar werden.
\input{chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex}
\input{chapters/30-endlichekoerper/galois.tex}
\input{chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex}
\section*{Übungsaufgaben}
\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben}
\begin{uebungsaufgaben}
\uebungsaufgabe{3004}
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\end{uebungsaufgaben}
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