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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 9848469..7628942 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. -\subsubsection{Homomorphismen} +\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen} Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren. Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung, diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index d3ccb4e..23b1411 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -2,8 +2,8 @@ Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) -\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, -verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein +\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, +verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr präzise Bedeutung. \begin{definition}[Symmetrie] @@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle = \left\{ \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} - \right\}. + \right\}. \] Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die @@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus] Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\) - bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass - für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man - sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass - \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist. + bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere + Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist + eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt + \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus + \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von + \(G\) ist. \end{definition} \begin{beispiel} Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine @@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. \] definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und - die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass - \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). + die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 + \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} \begin{beispiel} Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen @@ -153,9 +155,10 @@ der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda = -\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation -gehören. Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, -nennt man Punktsymmetrie. +\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v} += \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören. +Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man +Punktsymmetrie. \begin{definition}[Punktgruppe] Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine @@ -164,15 +167,16 @@ nennt man Punktsymmetrie. Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren: eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen -Objekt \(x\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q\) hat, wenn es -die Gleichung +Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\) +hat, wenn es die Gleichung \[ - Q(x) = Q(x + a), + U(x) = U(Q(x)) = U(x + a), \] für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\) dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\). +% \subsection{Sch\"onflies notation} % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: |