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diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex new file mode 100644 index 0000000..afafab8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% adjungiert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Adjungierter Operator} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$ +\item +\[ +H\to\mathbb{C} +: +x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L +\] +ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$ +\item +Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit +\[ +\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H +\quad +\forall x\in H +\] +\end{itemize} +Die Abbildung +\[ +L\to H +: +y\mapsto v =: A^*y +\] +heisst {\em adjungierte Abbildung} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)} +\[ +A^* = \overline{A}^t +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstabbildungen} +Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ +\[ +\langle x,Ay\rangle += +\langle A^*x, y\rangle +\quad +\forall x,y\in H +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren} +\[ +A=A^* +\;\Leftrightarrow\; +\langle x,Ay \rangle += +\langle A^*x,y \rangle += +\langle Ax,y \rangle +\] +Matrizen: +\begin{itemize} +\item hermitesch +\item für reelle Hilberträume: symmetrisch +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |