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diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex index 46c2320..022fa07 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex @@ -14,24 +14,27 @@ \begin{block}{Definition} Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn \begin{itemize} -\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ -\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist +\item<2-> $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ +\item<3-> Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist dicht: Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$ approximiert werden. \end{itemize} -Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel} +\uncover<4->{% +Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}} \end{block} +\uncover<5->{% \begin{block}{Endlichdimensional} Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Konstruktion} Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$ \begin{enumerate} -\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ -\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor +\item<7-> $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ +\item<8-> Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor \begin{align*} x\in V_k^{\perp} &= @@ -44,17 +47,18 @@ x\in H\;|\; x\perp V_k x\perp y\;\forall y\in V_k \} \end{align*} -\item $b_{k+1} = x/\|x\|$ +\item<9-> $b_{k+1} = x/\|x\|$ \[ \mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\} \] \end{enumerate} +\uncover<10->{% Wenn $H$ separabel ist, dann ist \[ \mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k \] -eine Hilbertbasis für $H$ -\end{block} +eine Hilbertbasis für $H$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |