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diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex index 88c456c..437fb3c 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex @@ -17,36 +17,44 @@ $V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen f\colon V\to \mathbb{C} \] \end{block} +\uncover<3->{% \begin{block}{Beispiel: $l^\infty$} $l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$, Linearformen: \begin{align*} +\uncover<4->{ f(x) &= -\sum_{i=0}^\infty f_ix_i +\sum_{i=0}^\infty f_ix_i} \\ +\uncover<5->{ \|f\| &= \sup_{\|x\|_{\infty}\le 1} -|f(x)| -= -\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k| +|f(x)|} +\uncover<6->{= +\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|} \\ +\uncover<7->{ \Rightarrow l^{\infty*} &= -l^1 -\qquad(\ne l^2) +l^1} +\uncover<9->{\qquad(\ne l^2)} \\ +\uncover<8->{ &=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$} ${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{theorem}[Riesz] Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit \[ @@ -54,12 +62,14 @@ f(x) = \langle v,x\rangle \quad\forall x\in H \] und $\|f\| = \|v\|$ -\end{theorem} +\end{theorem}} +\uncover<11->{% \begin{block}{Dualraum von $H$} $H^*=H$ -\end{block} +\end{block}}% +\uncover<12->{% Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale'' -Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$ +Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$} \end{column} \end{columns} \end{frame} |