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-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/norm.tex | 58 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/2/norm.tex b/vorlesungen/slides/2/norm.tex new file mode 100644 index 0000000..35d2513 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/norm.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +% +% norm.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Norm} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Wozu} +Ziel: Konvergenz von Folgen, Grenzwert in einem Vektorraum +\end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Cauchy-Folge} +Eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ von Vektoren in $V$ heisst +{\em Cauchy-Folge}, +wenn es für alle $\varepsilon >0$ ein $N$ gibt mit +\[ +\|x_n-x_m\| < \varepsilon\; \forall n,m>N +\] +\end{block}} +\vspace{-8pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Grenzwert} +$x\in V$ heisst Grenzwert der Folge $x_n$, wenn es für alle $\varepsilon>0$ +ein $N$ gibt mit +\[ +\| x-x_n\| < \varepsilon \;\forall n>N +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Definition} +$V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum. +Eine Funktion +\[ +\|\cdot\| \colon V \to \mathbb{R}_{\ge 0} : v \mapsto \|v\| +\] +heisst eine {\em Norm}, wenn +\begin{itemize} +\item<3-> $\| v \|>0$ für $v\ne 0$ +\item<4-> $\|\lambda v\| = |\lambda|\cdot\|v\|$ +\item<5-> $\| u + v \| \le \|u\| + \|v\|$ (Dreiecksungleichung) +\end{itemize} +\uncover<6->{% +Ein Vektorraum mit einer Norm heisst {\em normierter Raum}} +\end{block}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Banach-Raum} +Normierter Raum, in dem jede Cauchy-Folge einen Grenwzert hat +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} |