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diff --git a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex new file mode 100644 index 0000000..3d7e1a4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +% +% maximalergrad.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Jede Matrix hat eine Polynomrelation} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-5pt} +\begin{block}{Dimension des Matrizenrings} +Der Ring $M_{n}(\Bbbk)$ ist ein $n^2$-dimensionaler Vektorraum mit +Basis +{\tiny +\begin{align*} +&\begin{pmatrix} +1&0&\dots&0\\ +0&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\begin{pmatrix} +0&1&\dots&0\\ +0&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\dots +& +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&1\\ +0&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +\\ +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&0\\ +1&0&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&0\\ +0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +& +&\dots +& +&\begin{pmatrix} +0&0&\dots&0\\ +0&0&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\end{pmatrix} +\end{align*}} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Potenzen von $A$} +Die $n^2+1$ Matrizen $I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1},A^{n^2}$ müssen linear abhängig +sein: +\[ +a_0I+a_1A+a_2A^2+\dots+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2} = 0 +\] +d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$. +\end{block} +$\Rightarrow$ $A$ über die Eigenschaften (Faktorisierung) von $p$ studieren +\end{frame} |