diff options
Diffstat (limited to 'vorlesungen/slides/5/charpoly.tex')
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/charpoly.tex | 26 |
1 files changed, 18 insertions, 8 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex b/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex index 1211b43..63bfee5 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex @@ -20,6 +20,7 @@ $A-\mu I$ singulär ist: \] $\Rightarrow$ $\mu$ ist Nullstelle von $\chi_{A}(X)\in\mathbb{C}[X]$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Zerlegung in Linearfaktoren} $\mu_1,\dots,\mu_n$ die Nullstellen von $\chi_A(X)$: \[ @@ -27,33 +28,42 @@ $\mu_1,\dots,\mu_n$ die Nullstellen von $\chi_A(X)$: = (X-\mu_1)\dots (X-\mu_n) \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Fundamentalsatz der Algebra} Über $\mathbb{C}$ zerfällt jedes Polynom in $\mathbb{C}[X]$ in Linearfaktoren -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Minimalpolynom} Alle Nullstellen von $\chi_A(X)$ müssen in $m_A(X)$ vorkommen -\end{block} +\end{block}} +\uncover<5->{% \begin{proof}[Beweis] \begin{enumerate} -\item +\item<6-> $m_A(X) = (X-\lambda) \prod_{i\in I}(X-\mu_i)$ -\item +\item<7-> $A-\lambda I$ ist regulär \end{enumerate} +\uncover<8->{% \begin{align*} &\Rightarrow& m_A(A)&=0 \\ && +\uncover<9->{ (A-\lambda)^{-1}m_A(A) &=0 +} \\ && +\uncover<10->{ \prod_{i\in I}(A-\mu_i)&=0, -\end{align*} +} +\end{align*}} +\uncover<11->{% d.~h.~\( \displaystyle \overline{m}_A(X) @@ -61,8 +71,8 @@ d.~h.~\( \prod_i{i\in I}(X-\mu_i) \in \mathbb{C}[X] -\) -\end{proof} +\)} +\end{proof}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |