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| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex | 79 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex new file mode 100644 index 0000000..6c23e6b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Freie Gruppen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gruppe aus Symbolen} +Erzeugende Elemente $\{a,b,c,\dots\}$ +\\ +\uncover<2->{% +Wörter = +Folgen von Symbolen $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$} +\\ +\uncover<3->{ +{\em freie Gruppe}: +\begin{align*} +F&=\langle a,b,c,\dots\rangle +\\ +&= +\{\text{Wörter}\} +/\text{Kürzungsregel} +\end{align*}} +\vspace{-10pt} +\begin{itemize} +\item<4-> neutrales Element: $e = \text{leere Symbolfolge}$ +\item<5-> Gruppenoperation: Verkettung +\item<6-> Kürzungsregel: +\begin{align*} +xx^{-1}&\to e, +& +x^{-1}x&\to e +\end{align*} +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Universelle Eigenschaft} +$g_i\in G$, dann gibt es genau einen Homomorphismus +\[ +\varphi +\colon +\langle g_i| 1\le i\le k\rangle +\to +G +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Quotient einer freien Gruppe} +Jede endliche Gruppe ist Quotient einer freien Gruppe +\[ +N +\xhookrightarrow{} +\langle g_i\rangle +\twoheadrightarrow +G +\] +oder +\[ +G = \langle g_i\rangle / N +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Maximal nichtkommutativ} +Die freie Gruppe ist die ``maximal nichtkommutative'' Gruppe +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |