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index 0000000..69c1173
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
@@ -0,0 +1,80 @@
+%
+% semidirekt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Semidirektes Produkt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Gegeben $H$ eine Gruppe, eine abelsche Gruppe $A$,
+$\vartheta\colon H\to\operatorname{Aut}(A)$.
+\[
+G
+=
+G\ltimes A
+=
+\{(h,a) \;|\; h\in H,a\in A\}
+\]
+heisst {\em semidirektes Produkt}.
+\begin{itemize}
+\item<2->
+Neutrales Element: $(e,0)$
+\item<3->
+Gruppenoperation
+\[
+(h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2)
+=
+(h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2)
+\]
+\item<4->
+Inverse:
+$(h,a)^{-1}
+=
+(h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
+$
+\uncover<5->{%
+Kontrolle:
+\begin{align*}
+&\phantom{\mathstrut=\mathstrut}
+(h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
+\\
+&\uncover<6->{=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)}
+\uncover<7->{=(e,0)}
+\end{align*}}
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$}
+Spiegelung: $C_2$
+Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$
+Drehungen und Spiegelungen:
+$C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
+\begin{block}{Drehungen und Translationen}
+Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$
+\\
+Translationen: $A=\mathbb{R}^2$
+\\
+Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit}
+Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung)
+\\
+Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung)
+\\
+Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup