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diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..56cbf7b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex new file mode 100644 index 0000000..633f700 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Aufspaltung} +\begin{center} +\includegraphics[width=0.66\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex new file mode 100644 index 0000000..5394f51 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +% +% c.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Drehgruppen} +\vspace{-25pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$C_n$} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg} +\end{center} +\begin{itemize} +\item Eine $n$-zählige Achse +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$C_{nv}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg} +\end{center} +\begin{itemize} +\item Eine $n$-zählige Achse +\item $n$ dazu senkrechte Symmetrieebenen +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$C_{nh}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg} +\end{center} +\begin{itemize} +\item Eine $n$-zählige Achse +\item Eine dazu senkrechte Spiegelebene +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex new file mode 100644 index 0000000..43e8dc4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% chemie.tex -- Anwendung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Anwendung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Schrödingergleichung} +Partielle Differentialgleichung für die Wellenfunktion +eines Teilchens im Potential $V(x)$ +\[ +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \Psi ++ +V(x)\Psi += +E\Psi +\] +$V(x)$ = Potential der Atomkerne eines Molekuls +\end{block} +\begin{block}{Symmetrien} +$g\in\operatorname{O}(3)$ wirkt auf $V$ und $\Psi$ +\begin{align*} +(g\cdot V)(x) &= V(g\cdot x) +\\ +(g\cdot \Psi)(x) &= \Psi(g\cdot x) +\end{align*} +Symmetrie von $V$: $g\cdot V=V$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Lösungen} +Eigenfunktionen $\Psi$ zum Eigenwert $E$ +\[ +g\cdot V=V +\Rightarrow +g\cdot \Psi +\text{ Lösung} +\] +mit gleichem Eigenwert! +\end{block} +\begin{block}{Eigenräume} +Die Symmetriegruppe $G\subset \operatorname{O}(3)$ eines Moleküls +operiert auf dem Eigenraum +\end{block} +\begin{block}{Externe Felder} +Externe Felder zerstören die Symmetrie +$\Rightarrow$ +die Energieniveaus/Spektrallinien spalten sich auf +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex new file mode 100644 index 0000000..a4824b5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% d.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Diedergruppen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$D_n$} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg} +\end{center} +\begin{itemize} +\item $C_n$ Achse +\item $n$ $C_2$ Achse senkrecht dazu +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$D_{nd}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg} +\end{center} +\begin{itemize} +\item $D_n$ Achse +\item $n$ winkelhalbierende Spiegelebenen der $C_2$-Achsen +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$D_{nh}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg} +\end{center} +\begin{itemize} +\item $D_n$ Achse +\item Spiegelbene senkrecht dazu +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/ebene.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/ebene.tex new file mode 100644 index 0000000..3b715e4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/ebene.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% ebene.tex -- Punktgruppen in der Ebene +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Punktgruppen in der Ebene} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zyklische Gruppen} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\a{40} +\def\r{2} +\def\R{2.5} +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{1.1*\R}) arc (0:\a:{1.1*\R}) -- cycle; +\node[color=blue] at ({0.5*\a}:{0.8*\r}) {$\displaystyle\frac{2\pi}n$}; +\fill (0,0) circle[radius=0.08]; +\draw[color=red] (0:\r) -- (0:\R) + -- ({1*\a}:\r) -- ({1*\a}:\R) + -- ({2*\a}:\r) -- ({2*\a}:\R) + -- ({3*\a}:\r) -- ({3*\a}:\R) + -- ({4*\a}:\r) -- ({4*\a}:\R) + -- ({5*\a}:\r) -- ({5*\a}:\R) + -- ({6*\a}:\r) -- ({6*\a}:\R) + -- ({7*\a}:\r) -- ({7*\a}:\R) + -- ({8*\a}:\r) %-- ({8*\a}:\R) +; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\[ +C_n += +\{\text{Drehungen um Winkel $2\pi/n$}\} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Diedergruppen} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\a{40} +\def\r{2} +\def\R{2.5} +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{1.1*\R}) arc (0:\a:{1.1*\R}) -- cycle; +\node[color=blue] at ({0.5*\a}:{0.8*\r}) {$\displaystyle\frac{2\pi}n$}; +\fill (0,0) circle[radius=0.08]; +\draw[color=red] (0:\r) -- ({0.5*\a}:\R) + -- ({1*\a}:\r) -- ({1.5*\a}:\R) + -- ({2*\a}:\r) -- ({2.5*\a}:\R) + -- ({3*\a}:\r) -- ({3.5*\a}:\R) + -- ({4*\a}:\r) -- ({4.5*\a}:\R) + -- ({5*\a}:\r) -- ({5.5*\a}:\R) + -- ({6*\a}:\r) -- ({6.5*\a}:\R) + -- ({7*\a}:\r) -- ({7.5*\a}:\R) + -- ({8*\a}:\r) %-- ({8.5*\a}:\R) +; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\begin{align*} +D_n +&= +\langle\text{Spiegelung}, +\text{Drehungen}\rangle +\\ +&= +C_2 +\ltimes +C_n +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/Makefile b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..e909884 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/Makefile @@ -0,0 +1,40 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: cn.jpg cnv.jpg cnh.jpg dn.jpg dnd.jpg dnh.jpg + +cn.png: common.inc cn.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ocn.png cn.pov +cn.jpg: cn.png + convert -extract 1050x1050+450+4 cn.png cn.jpg + +cnv.png: common.inc cnv.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ocnv.png cnv.pov +cnv.jpg: cnv.png + convert -extract 1050x1050+450+4 cnv.png cnv.jpg + +cnh.png: common.inc cnh.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ocnh.png cnh.pov +cnh.jpg: cnh.png + convert -extract 1050x1050+450+4 cnh.png cnh.jpg + +dn.png: common.inc dn.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Odn.png dn.pov +dn.jpg: dn.png + convert -extract 1050x1050+450+4 dn.png dn.jpg + +dnd.png: common.inc dnd.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Odnd.png dnd.pov +dnd.jpg: dnd.png + convert -extract 1050x1050+450+4 dnd.png dnd.jpg + +dnh.png: common.inc dnh.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Odnh.png dnh.pov +dnh.jpg: dnh.png + convert -extract 1050x1050+450+4 dnh.png dnh.jpg + + + + diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4ea4e92 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.pov new file mode 100644 index 0000000..39d65be --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.pov @@ -0,0 +1,10 @@ +// +// cn.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#include "common.inc" + +koerper(0.4,0.6,0.6,0.5,0.8,-0.6,0.0) +Vachse() diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..72181e8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.pov new file mode 100644 index 0000000..65d27a4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.pov @@ -0,0 +1,11 @@ +// +// cnh.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#include "common.inc" + +koerper(0.6,0.8,0.6,0.6,0.8,-0.6,0.0) +Vachse() +Hebene() diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fd81513 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.pov new file mode 100644 index 0000000..a87e075 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.pov @@ -0,0 +1,11 @@ +// +// cnv.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#include "common.inc" + +koerper(0.4,0.6,0.6,0.5,0.8,-0.6,0.5) +Vachse() +Vebene() diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/common.inc b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/common.inc new file mode 100644 index 0000000..ffd9e79 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/common.inc @@ -0,0 +1,200 @@ +// +// common.inc +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.22; +#declare O = <0, 0, 0>; +#declare at = 0.015; + +camera { + location <3, 3.2, -10> + look_at <0, 0, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <-21, 20, -50> color 0.7*White + area_light <10,0,0> <0,0,10>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +light_source { + <8, 80, -5> color 0.6*White + area_light <10,0,0> <0,0,10>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.0 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end +#declare r = 1.2; + +arrow(< -r, 0, 0 >, < r, 0, 0 >, at, Gray) +arrow(< 0, 0, -r >, < 0, 0, r >, at, Gray) +arrow(< 0, -r, 0 >, < 0, r, 0 >, at, Gray) + +#macro kranzpunkt(r, winkel, h) + < r * cos(winkel), h, r * sin(winkel) > +#end + +#declare N = 13; +#declare h = 0.6; + +#macro deckel(r, R, scherwinkel, h) + #declare phi = 0; + #declare phistep = 2 * pi / N; + #while (phi < (2 * pi) - phistep/2) + triangle { + <0, h, 0>, + kranzpunkt(r, phi, h), + kranzpunkt(R, phi + scherwinkel, h) + } + triangle { + <0, h, 0>, + kranzpunkt(R, phi + scherwinkel, h) + kranzpunkt(r, phi + phistep, h) + } + #declare phi = phi + phistep; + #end +#end + + +#macro mantel(roben, Roben, hoben, runten, Runten, hunten, scherwinkel) + #declare phi = 0; + #declare phistep = 2 * pi / N; + #while (phi < 2 * pi - phistep/2) + triangle { + kranzpunkt(runten, phi, hunten), + kranzpunkt(Runten, phi + scherwinkel, hunten), + kranzpunkt(roben, phi, hoben) + } + triangle { + kranzpunkt(Runten, phi + scherwinkel, hunten), + kranzpunkt(Roben, phi + scherwinkel, hoben), + kranzpunkt(roben, phi, hoben) + } + triangle { + kranzpunkt(Runten, phi + scherwinkel, hunten), + kranzpunkt(runten, phi + phistep, hunten), + kranzpunkt(Roben, phi + scherwinkel, hoben) + } + triangle { + kranzpunkt(runten, phi + phistep, hunten), + kranzpunkt(roben, phi + phistep, hoben), + kranzpunkt(Roben, phi + scherwinkel, hoben) + } + #declare phi = phi + phistep; + #end +#end + +#declare scherwinkel = function(scherfaktor) { (scherfaktor * 2 * pi / N) }; + +#macro koerper(roben, Roben, hoben, runten, Runten, hunten, scherfaktor) +mesh { + deckel(roben, Roben, scherwinkel(scherfaktor), hoben) + deckel(runten, Runten, scherwinkel(scherfaktor), hunten) + mantel(roben, Roben, hoben, runten, Runten, hunten, scherwinkel(scherfaktor)) + pigment { + color Gray + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Hvektor(a) + <cos(a*2*pi/N),0,sin(a*2*pi/N)> +#end + +#declare VachseFarbe = rgb<1,0.6,0>; +#declare HachseFarbe = rgb<0.8,0.2,0.8>; +#declare VebeneFarbe = rgbf<0.2,0.8,1.0,0.7>; +#declare HebeneFarbe = rgbf<0.2,0.4,0.2,0.7>; + +#macro ebene(richtung, farbe) +intersection { + cylinder { <0, -1, 0>, <0, 1, 0>, 1.0 } + plane { vnormalize(richtung), 0.003 } + plane { -vnormalize(richtung), 0.003 } + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#macro Vebene() + ebene(Hvektor(-1.25), VebeneFarbe) +#end + +#macro Hebene() + ebene(<0,1,0>, HebeneFarbe) +#end + +#macro achse(richtung, farbe) + cylinder { 1.1 * vnormalize(richtung), + -1.1 * vnormalize(richtung), + 1.5 * at + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } + } +#end + +#macro Vachse() + achse(<0,1,0>, VachseFarbe) +#end + +#macro Hachse() + achse(Hvektor(-1.5), HachseFarbe) +#end diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f895d44 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.pov new file mode 100644 index 0000000..36eed3e --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// dn.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#include "common.inc" + +koerper(0.5,0.7,0.6,0.6,0.8,0,0.0) +koerper(0.6,0.8,0,0.5,0.7,-0.6,1.0) +Vachse() +Hachse() diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..089e24f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.pov new file mode 100644 index 0000000..f0ec115 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.pov @@ -0,0 +1,13 @@ +// +// dnd.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#include "common.inc" + +koerper(0.5,0.7,0.6,0.6,0.8,0,0.25) +koerper(0.6,0.8,0,0.5,0.7,-0.6,0.75) +Vachse() +Hachse() +ebene(Hvektor(2.25), VebeneFarbe) diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c62dbbb --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.pov new file mode 100644 index 0000000..6f14271 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.pov @@ -0,0 +1,13 @@ +// +// dnh.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// + +#include "common.inc" + +koerper(0.5,0.7,0.6,0.6,0.8,0,0.5) +koerper(0.6,0.8,0,0.5,0.7,-0.6,0.5) +Vachse() +Hachse() +Hebene() diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex new file mode 100644 index 0000000..908e76a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +% +% p.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Drehgruppen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$T = T_h \cap \operatorname{SO(3)}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$O = O_h \cap \operatorname{SO(3)}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\begin{block}{$I = I_h \cap \operatorname{SO(3)}$} +\begin{center} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex new file mode 100644 index 0000000..b8636be --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% semidirekt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Semidirektes Produkt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gegeben $H$ eine Gruppe, eine abelsche Gruppe $A$, +$\vartheta\colon H\to\operatorname{Aut}(A)$. +\[ +G += +G\ltimes A += +\{(h,a) \;|\; h\in H,a\in A\} +\] +heisst {\em semidirektes Produkt}. +\begin{itemize} +\item +Neutrales Element: $(e,0)$ +\item +Gruppenoperation +\[ +(h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2) += +(h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2) +\] +\item +Inverse: +$(h,a)^{-1} += +(h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a) +$ +Kontrolle: +\begin{align*} +&\phantom{\mathstrut=\mathstrut} +(h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a) +\\ +&=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a) +=(e,0) +\end{align*} +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$} +Spiegelung: $C_2$ +Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$ +Drehungen und Spiegelungen: +$C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$ +\end{block} +\begin{block}{Drehungen und Translationen} +Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$ +\\ +Translationen: $A=\mathbb{R}^2$ +\\ +Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$ +\end{block} +\begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit} +Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung) +\\ +Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung) +\\ +Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..70d2c17 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..45307c5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f710696 --- /dev/null +++ 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