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path: root/vorlesungen/slides/9/parrondo
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Diffstat (limited to 'vorlesungen/slides/9/parrondo')
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex21
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex41
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex31
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex25
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex25
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex46
-rw-r--r--vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex17
7 files changed, 136 insertions, 70 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex
index 4ab7066..40d2eb9 100644
--- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex
@@ -14,22 +14,31 @@
\begin{block}{Verlustspiele}
Durch Deformation (Parameter $e$ und $\varepsilon$) kann man
aus $A_e$ und $B_\varepsilon$ Spiele mit negativer Gewinnerwartung machen
+\uncover<2->{%
\begin{align*}
E(X)&=0&&\rightarrow&E(X_e)&<0\\
E(Y)&=0&&\rightarrow&E(Y_\varepsilon)&<0\\
-\end{align*}
+\end{align*}}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Kombiniertes Spiel}
-Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$
+\uncover<3->{%
+Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$}%
\begin{align*}
-E(Z)&=\frac{18}{709}
-&&\rightarrow&
-E(Z_*)&>0
+\uncover<4->{E(Z)&=\frac{18}{709}>0}
+&&\uncover<5->{\rightarrow&
+E(Z_*)&>0}
\end{align*}
-Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel
+\uncover<6->{Wegen Stetigkeit!}
+\\
+\uncover<5->{Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel (für Parameter klein genug)}
\end{block}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Parrondo-Paradoxon}
+Zufällig zwischen zwei Verlustspielen auswählen kann trotzdem ein
+Gewinnspiel ergeben
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex
index 67bb61d..b58c37f 100644
--- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex
@@ -25,6 +25,7 @@ x_n&p_n=P(X=x_n)
\]
\end{center}
\end{block}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Einervektoren/-matrizen}
\[
U=\begin{pmatrix}
@@ -36,9 +37,10 @@ U=\begin{pmatrix}
\in
M_{n\times m}(\Bbbk)
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Erwartungswerte}
\begin{align*}
E(X)
@@ -46,30 +48,33 @@ E(X)
\sum_i x_ip_i
=
x^tp
-=
-U^t x\odot p
+\uncover<5->{=
+U^t x\odot p}
+\hspace*{3cm}
\\
-E(X^2)
+\uncover<2->{E(X^2)
&=
-\sum_i x_i^2p_i
-=
-(x\odot x)^tp
-=
-U^t (x\odot x) \odot p
+\sum_i x_i^2p_i}
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
+\only<6>{=
+(x\odot x)^tp}}{}
+\uncover<7->{=
+U^t (x\odot x) \odot p}
\\
-E(X^k)
+\uncover<3->{E(X^k)
&=
-\sum_i x_i^kp_i
-=
-U^t x^{\odot k}\odot p
+\sum_i x_i^kp_i}
+\uncover<8->{=
+U^t x^{\odot k}\odot p}
\end{align*}
+\uncover<9->{%
Substitution:
\begin{align*}
-\sum_i &\to U^t\\
-x_i^k &\to x^{\odot k}
-\end{align*}
-Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden
-\end{block}
+\uncover<10->{\sum_i &\to U^t}\\
+\uncover<11->{x_i^k &\to x^{\odot k}}
+\end{align*}}%
+\uncover<12->{Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex
index 8a7fe43..5012d06 100644
--- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
Ein fairer Münzwurf entscheidet, ob
Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt wird
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Übergangsmatrix}
Münzwurf $X$
\begin{align*}
@@ -24,44 +25,48 @@ P(X=\text{Kopf})\cdot A
+
P(X=\text{Zahl})\cdot B
\\
-&=
+&\uncover<3->{=
\begin{pmatrix}
0&\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\
\frac{3}{10}& 0&\frac{3}{8}\\
\frac{7}{10}&\frac{5}{8}& 0
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\vspace{-8pt}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Gewinnerwartung im Einzelspiel}
\[
p=\frac13U
\Rightarrow
U^t(G\odot C)p
-=
--\frac{1}{30}
+\uncover<5->{=
+-\frac{1}{30}}
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Iteriertes Spiel}
\[
\overline{p}=C\overline{p}
\quad
-\Rightarrow
+\uncover<7->{\Rightarrow
\quad
-\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix}
+\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix}}
\]
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Gewinnerwartung}
\begin{align*}
E(Z)
&=
U^t (G\odot C) \overline{p}
-=
-\frac{18}{709}
+\uncover<9->{=
+\frac{18}{709}}
\end{align*}
-$C$ ist ein Gewinnspiel!
-\end{block}
+\uncover<10->{$C$ ist ein Gewinnspiel!}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex
index 4b3b50c..629586f 100644
--- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex
@@ -16,35 +16,36 @@ Gewinn = Zufallsvariable $X$ mit Werten $\pm 1$
\begin{align*}
P(X=\phantom{+}1)
&=
-\frac12+e
+\frac12\uncover<2->{+e}
\\
P(X= - 1)
&=
-\frac12-e
+\frac12\uncover<2->{-e}
\end{align*}
-Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12+e$
+Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12\uncover<2->{+e}$
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{
\begin{block}{Gewinnerwartung}
\begin{align*}
E(X)
-&=
-P(X=1)\cdot (1)
+&=\uncover<4->{
+P(X=1)\cdot (1)}
\\
&\qquad
-+
-P(X=-1)\cdot (-1)
+\uncover<4->{+
+P(X=-1)\cdot (-1)}
\\
-&=
+&\uncover<5->{=
\biggl(\frac12+e\biggr)\cdot 1
+
-\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1)
+\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1)}
\\
-&=2e
+&\uncover<6->{=2e}
\end{align*}
-$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$}
-\end{block}
+\uncover<7->{$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$}}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex
index 6ad512c..f65564f 100644
--- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des
aktuellen Kapitals $K$:
\begin{center}
+\uncover<2->{%
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
\coordinate (A0) at (90:2);
\coordinate (A1) at (210:2);
@@ -47,11 +48,12 @@ aktuellen Kapitals $K$:
\node at (150:\R) {$\frac1{4}$};
\node at (270:\R) {$\frac14$};
-\end{tikzpicture}
+\end{tikzpicture}}
\end{center}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Markov-Kette $Y$}
Übergangsmatrix
\[
@@ -61,22 +63,37 @@ B=\begin{pmatrix}
\frac{9}{10}&\frac34&0
\end{pmatrix}
\]
+\vspace{-10pt}
+
+\uncover<4->{%
Gewinnmatrix:
+\vspace{-2pt}
\[
G=\begin{pmatrix*}[r]
0&-1&1\\
1&0&-1\\
-1&1&0
\end{pmatrix*}
-\]
-\end{block}
+\]}
+\end{block}}
+\vspace{-12pt}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Gewinnerwartung}
\begin{align*}
+&&&&
E(Y)
&=
U^t(G\odot B)p
+\\
+p&={\textstyle\frac13}U
+&&\Rightarrow&
+E(Y)&={\textstyle\frac1{15}}
+\\
+\overline{p}&={\tiny\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5\\2\\6\end{pmatrix}}
+&&\Rightarrow&
+E(Y)&=0
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex
index ee1d12d..66d39bc 100644
--- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Modifiziertes Spiel $B$}
+\frametitle{Modifiziertes Spiel $\tilde{B}$}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
@@ -39,13 +39,13 @@ aktuellen Kapitals $K$:
\def\R{1.9}
\def\r{0.7}
-\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}+\varepsilon$};
-\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}-\varepsilon$};
-\node at (270:\r) {$\frac34-\varepsilon$};
+\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}\uncover<2->{+\varepsilon}$};
+\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}\uncover<2->{-\varepsilon}$};
+\node at (270:\r) {$\frac34\uncover<2->{-\varepsilon}$};
-\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}-\varepsilon$};
-\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}+\varepsilon$};
-\node at (270:\R) {$\frac14+\varepsilon$};
+\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}\uncover<2->{-\varepsilon}$};
+\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}\uncover<2->{+\varepsilon}$};
+\node at (270:\R) {$\frac14\uncover<2->{+\varepsilon}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
@@ -56,14 +56,17 @@ aktuellen Kapitals $K$:
Übergangsmatrix
\[
\tilde{B}=
-B+\varepsilon F
-=
+B\uncover<2->{+\varepsilon F}
+\uncover<3->{=
B+\varepsilon\begin{pmatrix*}[r]
0&1&-1\\
-1&0&1\\
1&-1&0
-\end{pmatrix*}
+\end{pmatrix*}}
\]
+\vspace{-12pt}
+
+\uncover<4->{%
Gewinnmatrix:
\[
G=\begin{pmatrix*}[r]
@@ -71,20 +74,29 @@ G=\begin{pmatrix*}[r]
1&0&-1\\
-1&1&0
\end{pmatrix*}
-\]
+\]}
\end{block}
+\vspace{-12pt}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Gewinnerwartung}
\begin{align*}
-E(\tilde{Y})
+\uncover<6->{E(\tilde{Y})
&=
-U^t(G\odot \tilde{B})p
+U^t(G\odot \tilde{B})p}
\\
+&\uncover<7->{=
+E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p}
+\uncover<8->{=
+{\textstyle\frac1{15}}+2\varepsilon}
+\\
+\uncover<9->{
+\text{rep.}
&=
-E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p
-=
-\frac1{15}+2\varepsilon
+-{\textstyle\frac{294}{169}}\varepsilon+O(\varepsilon^2)
+\quad\text{Verlustspiel}
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex
new file mode 100644
index 0000000..2f3597a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex
@@ -0,0 +1,17 @@
+%
+% uebersicht.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Parrondo-Paradoxon}
+\begin{center}
+\Large
+Zufällige
+Wahl zwischen zwei Verlustspielen = Gewinnspiel?
+\end{center}
+\end{frame}
+\egroup