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diff --git a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc index 793d402..bc6882a 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc @@ -12,6 +12,12 @@ chapter6 = \ ../slides/6/punktgruppen/chemie.tex \ ../slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex \ \ + ../slides/6/produkte/frei.tex \ + ../slides/6/produkte/direkt.tex \ + \ + ../slides/6/normalteiler/normal.tex \ + ../slides/6/normalteiler/konjugation.tex \ + \ ../slides/6/permutationen/matrizen.tex \ \ ../slides/6/darstellungen/definition.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex index 57db282..e1711d7 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex @@ -12,6 +12,12 @@ \folie{6/punktgruppen/chemie.tex} \folie{6/punktgruppen/aufspaltung.tex} +\folie{6/produkte/frei.tex} +\folie{6/produkte/direkt.tex} + +\folie{6/normalteiler/normal.tex} +\folie{6/normalteiler/konjugation.tex} + \folie{6/permutationen/matrizen.tex} \folie{6/darstellungen/definition.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex index 6a6991e..bfbd4a5 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex @@ -17,26 +17,30 @@ irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$) gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Isomorphe Darstellungen} $\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es $f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit \begin{align*} f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g) \\ +\uncover<3->{% f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Lemma von Schur} $\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass $f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$. Dann gilt \begin{enumerate} -\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$ -\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ +\item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$ +\item<6-> $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ \end{enumerate} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex index 69ce9ee..9f1db9e 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex @@ -17,19 +17,21 @@ $h\colon V_1\to V_2$ h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g) \] \begin{enumerate} -\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$ -\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ +\item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$ +\item<3-> $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ \end{enumerate} \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph} $\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0 \] für alle $k,l,u,v$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso} F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt \[ @@ -38,7 +40,7 @@ F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt \frac1n \] und $=0$ sonst -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex index 653bdce..46cc8e9 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex @@ -21,18 +21,21 @@ $\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$: \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Satz} \begin{enumerate} \item $\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung $\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$. -\item +\item<3-> $\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen $\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi'\rangle=0$ \end{enumerate} +\uncover<4->{% D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert -\end{block} +} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex index 9152e1f..3087b4a 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex @@ -20,39 +20,45 @@ Gegeben zwei Darstellungen \end{align*} \end{block} \vspace{-12pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \begin{align*} \varrho_1\oplus\varrho_2 &\colon -G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2} -=: -\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2} +G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} +\only<3>{ += \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}} +\uncover<4->{=: +\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}} +\hspace*{5cm} \\ &\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g)) \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-12pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Charakter} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \begin{align*} \chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g) &= \operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g) \\ -&= +&\uncover<6->{= \operatorname{Spur}{\varrho_1(g)} + -\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)} +\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}} \\ -&= +&\uncover<7->{= \chi_{\varrho_1}(g) + -\chi_{\varrho_2}(g) +\chi_{\varrho_2}(g)} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Tensorprodukt} $n_1\times n_2$-dimensionale Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix @@ -67,15 +73,16 @@ Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix &\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g) \end{pmatrix} \] -Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke -\end{block} +\uncover<9->{Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Darstellungsring} Die Menge der Darstellungen $R(G)$ einer Gruppe hat einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$ \\ -$\Rightarrow$ -Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden -\end{block} +\uncover<11->{$\Rightarrow$ +Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex index 6e36d1d..312d0e8 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex @@ -16,15 +16,17 @@ C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Darstellungen von $C_n$} Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$, \[ \varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n} \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<3->{ \begin{block}{Charaktere} -\vspace{-10pt} +%\vspace{-10pt} \[ \chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n} \] @@ -38,13 +40,15 @@ haben Skalarprodukte \end{cases} \] Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{Orthonormalbasis} Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$ -\end{block} +\end{block}} \vspace{-4pt} +\uncover<6->{% \begin{block}{Analyse einer Darstellung} $\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung, $\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen: @@ -53,24 +57,27 @@ c_k &= \langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n} \\ +\uncover<7->{ \chi(l) &= \sum_{k} c_k \chi_k = \sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-13pt} +\uncover<8->{% \begin{block}{Fourier-Theorie} \vspace{-3pt} \begin{center} \begin{tabular}{>{$}l<{$}l} -C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\ -U(1)&Fourier-Reihen\\ -\mathbb{R}&Fourier-Integral +\uncover<9->{C_n&Diskrete Fourier-Theorie}\\ +\uncover<10->{U(1)&Fourier-Reihen}\\ +\uncover<11->{\mathbb{R}&Fourier-Integral} \end{tabular} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex new file mode 100644 index 0000000..70ce01f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% konjugation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Konjugation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{``Basiswechsel''} +In der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ +\[ +A' = TAT^{-1} +\] +$T\in\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ +\\ +$A$ und $A'$ sind ``gleichwertig'' +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Definition} +$g_1,g_2\in G$ sind {\em konjugiert}, wenn es +$h\in G$ gibt mit +\[ +g_1 = hg_2h^{-1} +\] +\end{block}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Beispiel} +Konjugierte Elemente in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ haben die +gleiche Spur und Determinante +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Konjugationsklasse} +Die Konjugationsklasse von $g$ ist +\[ +\llbracket g\rrbracket += +\{h\in G\;|\; \text{$h$ konjugiert zu $g$}\} +\] +\end{block}} +\vspace{-7pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Klassenzerlegung} +\begin{align*} +G +&= +\{e\} +\cup +\llbracket g_1\rrbracket +\cup +\llbracket g_2\rrbracket +\cup +\dots +\\ +&\uncover<6->{= +C_e\cup C_1 \cup C_2\cup\dots} +\end{align*} +\end{block}} +\vspace{-7pt} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Klassenfunktionen} +Funktionen, die auf Konjugationsklassen konstant sind +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Beispiele} +Spur, Determinante +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex new file mode 100644 index 0000000..42336b9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% normal.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Normalteiler} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gegeben} +Eine Gruppe $G$ mit Untergruppe $N\subset G$ +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Bedingung} +Welche Eigenschaft muss $N$ zusätzlich haben, +damit +\[ +G/N += +\{ gN \;|\; g\in G\} +\] +eine Gruppe wird. + +\uncover<3->{Wähle Repräsentaten $g_1N=g_2N$} +\uncover<4->{% +\begin{align*} +g_1g_2N +&\uncover<5->{= +g_1g_2NN} +\uncover<6->{= +g_1g_2Ng_2^{-1}g_2N} +\\ +&\uncover<7->{= +g_1(g_2Ng_2^{-1})g_2N} +\\ +&\uncover<8->{\stackrel{?}{=} g_1Ng_2N} +\end{align*}} +\uncover<9->{Funktioniert nur wenn $g_2Ng_2^{-1}=N$ ist} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<10->{% +\begin{block}{Universelle Eigenschaft} +Ist $\varphi\colon G\to G'$ ein Homomorphismus mit $\varphi(N)=\{e\}$% +\uncover<11->{, dann gibt es einen Homomorphismus $G/N\to G'$:} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (N) at (-2.5,0); +\coordinate (G) at (0,0); +\coordinate (quotient) at (2.5,0); +\coordinate (Gprime) at (0,-2.5); +\coordinate (e) at (-2.5,-2.5); +\node at (N) {$N$}; +\node at (e) {$\{e\}$}; +\node at (G) {$G$}; +\node at (Gprime) {$G'$}; +\node at (quotient) {$G/N$}; +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (G); +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (e); +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (e) -- (Gprime); +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (Gprime); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (quotient); +\uncover<11->{ +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm,color=red] (quotient) -- (Gprime); +\node[color=red] at ($0.5*(quotient)+0.5*(Gprime)$) [below right] {$\exists!$}; +} +\node at ($0.5*(quotient)$) [above] {$\pi$}; +\node at ($0.5*(Gprime)$) [left] {$\varphi$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex index 346993d..d40c396 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex @@ -20,6 +20,7 @@ e_i \mapsto e_{\sigma(i)} \] ($e_i$ Standardbasisvektor) \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Lineare Abbildung} $f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung \[ @@ -31,9 +32,10 @@ $f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung \mapsto \sum_{k=1}^n a_i f(e_i) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Permutationsmatrix} Matrix $A_{\tilde{f}}$ der linearen Abbildung $\tilde{f}$ hat die Matrixelemente @@ -45,10 +47,11 @@ a_{ij} 0&\qquad\text{sonst} \end{cases} \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Beispiel} -\vspace{-20pt} +\vspace{-10pt} \[ \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ @@ -62,13 +65,14 @@ a_{ij} 0&0&1&0 \end{pmatrix} \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Homomorphismus} Die Abbildung $S_n\to\operatorname{GL}(\Bbbk)\colon \sigma \mapsto A_{\tilde{f}}$ ist ein Homomorphismus -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex new file mode 100644 index 0000000..c851335 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% direkt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Direktes Produkt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Zwei Gruppen $H_1$ und $H_2$ +\\ +Gruppe $G=H_1\times H_2$ mit +\begin{itemize} +\item<2-> Elemente $(h_1,h_2)\in H_1\times H_2$ +\item<3-> Neutrales Element $(e_1,e_2)$ +\item<4-> Inverses Elemente $(h_1,h_2)^{-1}=(h_1^{-1},h_2^{-1})$ +\end{itemize} +heisst {\em direktes Produkt} +\end{block} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Vertauschbarkeit} +Das direkte Produkt ist ein Produkt, in dem Elemente von $H_1$ und +$H_2$ vollständig vertauschbar sind +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Universelle Eigenschaft} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (S) at (0,2.5); +\coordinate (H1) at (-2.5,0); +\coordinate (H2) at (2.5,0); + +\node at (H1) {$H_1$}; +\node at (H2) {$H_2$}; +\node at (0,0) {$H_1\times H_2$}; +\node at (S) {$S$}; + +\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H1); +\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H2); + +\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H1); +\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H2); + +\node at ($0.5*(S)+0.5*(H1)$) [above left] {$f_1$}; +\node at ($0.5*(S)+0.5*(H2)$) [above right] {$f_2$}; + +\uncover<7->{ +\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm,color=red] (S) -- (0,0); +\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [left] {$f_1\times f_2$}; +\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [right] {$\exists!$}; +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex new file mode 100644 index 0000000..6c23e6b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Freie Gruppen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gruppe aus Symbolen} +Erzeugende Elemente $\{a,b,c,\dots\}$ +\\ +\uncover<2->{% +Wörter = +Folgen von Symbolen $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$} +\\ +\uncover<3->{ +{\em freie Gruppe}: +\begin{align*} +F&=\langle a,b,c,\dots\rangle +\\ +&= +\{\text{Wörter}\} +/\text{Kürzungsregel} +\end{align*}} +\vspace{-10pt} +\begin{itemize} +\item<4-> neutrales Element: $e = \text{leere Symbolfolge}$ +\item<5-> Gruppenoperation: Verkettung +\item<6-> Kürzungsregel: +\begin{align*} +xx^{-1}&\to e, +& +x^{-1}x&\to e +\end{align*} +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Universelle Eigenschaft} +$g_i\in G$, dann gibt es genau einen Homomorphismus +\[ +\varphi +\colon +\langle g_i| 1\le i\le k\rangle +\to +G +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Quotient einer freien Gruppe} +Jede endliche Gruppe ist Quotient einer freien Gruppe +\[ +N +\xhookrightarrow{} +\langle g_i\rangle +\twoheadrightarrow +G +\] +oder +\[ +G = \langle g_i\rangle / N +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Maximal nichtkommutativ} +Die freie Gruppe ist die ``maximal nichtkommutative'' Gruppe +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex index 5394f51..80790b1 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex @@ -21,6 +21,7 @@ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.33\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{$C_{nv}$} \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg} @@ -29,9 +30,10 @@ \item Eine $n$-zählige Achse \item $n$ dazu senkrechte Symmetrieebenen \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.33\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{$C_{nh}$} \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg} @@ -40,7 +42,7 @@ \item Eine $n$-zählige Achse \item Eine dazu senkrechte Spiegelebene \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex index 43e8dc4..7f8b7a8 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Anwendung} +\frametitle{Anwendung: Energieniveaus eines Atoms} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} @@ -23,6 +23,7 @@ E\Psi \] $V(x)$ = Potential der Atomkerne eines Molekuls \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Symmetrien} $g\in\operatorname{O}(3)$ wirkt auf $V$ und $\Psi$ \begin{align*} @@ -31,9 +32,10 @@ $g\in\operatorname{O}(3)$ wirkt auf $V$ und $\Psi$ (g\cdot \Psi)(x) &= \Psi(g\cdot x) \end{align*} Symmetrie von $V$: $g\cdot V=V$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Lösungen} Eigenfunktionen $\Psi$ zum Eigenwert $E$ \[ @@ -43,16 +45,18 @@ g\cdot \Psi \text{ Lösung} \] mit gleichem Eigenwert! -\end{block} +\end{block}} +\uncover<4->{% \begin{block}{Eigenräume} Die Symmetriegruppe $G\subset \operatorname{O}(3)$ eines Moleküls operiert auf dem Eigenraum -\end{block} +\end{block}} +\uncover<5->{% \begin{block}{Externe Felder} Externe Felder zerstören die Symmetrie $\Rightarrow$ die Energieniveaus/Spektrallinien spalten sich auf -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex index a4824b5..9dd0a7a 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg} \end{center} +\vspace{-8pt} \begin{itemize} \item $C_n$ Achse \item $n$ $C_2$ Achse senkrecht dazu @@ -22,26 +23,30 @@ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.33\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{$D_{nd}$} \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg} \end{center} +\vspace{-8pt} \begin{itemize} \item $D_n$ Achse \item $n$ winkelhalbierende Spiegelebenen der $C_2$-Achsen \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.33\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{$D_{nh}$} \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg} \end{center} +\vspace{-8pt} \begin{itemize} \item $D_n$ Achse \item Spiegelbene senkrecht dazu \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex index 908e76a..ea51e93 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Drehgruppen} +\frametitle{Platonische Körper} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.33\textwidth} @@ -18,18 +18,20 @@ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.33\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{$O = O_h \cap \operatorname{SO(3)}$} \begin{center} \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.33\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{$I = I_h \cap \operatorname{SO(3)}$} \begin{center} \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex index b8636be..69c1173 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex @@ -23,53 +23,57 @@ G\ltimes A \] heisst {\em semidirektes Produkt}. \begin{itemize} -\item +\item<2-> Neutrales Element: $(e,0)$ -\item +\item<3-> Gruppenoperation \[ (h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2) = (h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2) \] -\item +\item<4-> Inverse: $(h,a)^{-1} = (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a) $ +\uncover<5->{% Kontrolle: \begin{align*} &\phantom{\mathstrut=\mathstrut} (h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a) \\ -&=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a) -=(e,0) -\end{align*} +&\uncover<6->{=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)} +\uncover<7->{=(e,0)} +\end{align*}} \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$} Spiegelung: $C_2$ Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$ Drehungen und Spiegelungen: $C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<9->{% \begin{block}{Drehungen und Translationen} Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$ \\ Translationen: $A=\mathbb{R}^2$ \\ Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit} Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung) \\ Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung) \\ Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |