diff options
Diffstat (limited to 'vorlesungen/slides')
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex | 88 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex | 70 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex | 76 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/Makefile.inc | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/chapter.tex | 34 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex | 11 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/test.tex | 7 |
9 files changed, 276 insertions, 18 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index 774a440..34dadf6 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -9,7 +9,10 @@ chapter2 = \ ../slides/2/skalarprodukt.tex \ ../slides/2/cauchyschwarz.tex \ ../slides/2/polarformel.tex \ + ../slides/2/funktionenraum.tex \ ../slides/2/operatornorm.tex \ + ../slides/2/linearformnormen.tex \ + ../slides/2/funktionenalgebra.tex \ ../slides/2/frobeniusnorm.tex \ ../slides/2/frobeniusanwendung.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 78b9519..38eb21f 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -7,6 +7,9 @@ \folie{2/skalarprodukt.tex} \folie{2/cauchyschwarz.tex} \folie{2/polarformel.tex} +\folie{2/funktionenraum.tex} \folie{2/operatornorm.tex} +\folie{2/linearformnormen.tex} +\folie{2/funktionenalgebra.tex} \folie{2/frobeniusnorm.tex} \folie{2/frobeniusanwendung.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex b/vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex new file mode 100644 index 0000000..e3339c3 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/funktionenalgebra.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% funktionenalgebra.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Funktionenalgebra} +\vspace{-17pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Algebra $C([0,1])$} +Funktionenraum +\[ +C([0,1]) += +\{f\colon[0,1]\to\mathbb{C}\;|\;\text{$f$ stetig}\} +\] +mit Supremum-Norm\uncover<2->{ und punktweisem Produkt +\[ +(f\cdot g)(x) += +f(x)\cdot g(x) +\]} +\end{block} +\vspace{-8pt} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Algebranorm} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +\|f\cdot g\|_\infty +&= +\sup_{x\in[0,1]} f(x)g(x) +\\ +\uncover<4->{ +&\le +\sup_{x\in[0,1]}f(x) +\sup_{y\in[0,1]}g(y) +} +\\ +\uncover<5->{ +&= +\|f\|_\infty \cdot \|g\|_\infty +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Faltungs-Algebra $L^2([0,1])$} +Funktionenraum +\[ +L^2=\{f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}\;|\;\text{$f$ $1$-periodisch}\} +\] +mit $L^2$-Skalarprodukt\uncover<7->{ und Faltungsprodukt +\[ +f*g(x) += +\int_0^1 +\underbrace{f(x-t)}_{(=\gamma_x\check{f})(t)} g(t)\,dx +\]} +\end{block}} +\vspace{-21pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Norm} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +\|f*g\|_2^2 +&\uncover<9->{=\int_0^1 | +\langle \gamma_x\check{f},g\rangle +|^2\,dx} +\\ +\uncover<10->{ +&\le +\int_0^1 +\|\gamma_t\check{f}\|_2^2 +\|g\|_2^2 +\,dx} +\\ +\uncover<11->{ +&=\|f\|_2^2\cdot \|g\|_2^2 +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex b/vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex new file mode 100644 index 0000000..f7733cc --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/funktionenraum.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +% +% funktionenraum.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Funktionenraum} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Supremum-Norm} +Vektorraum +\[ +C([a,b]) += +\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\;|\; \text{$f$ stetig}\} +\] +\only<2->{wird Banachraum }% +mit der Norm +\(\displaystyle +\|f\| += +\|f\|_{\infty} += +\sup_{x\in[a,b]} |f(x)| +\) +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{$L^1$-Norm} +Vektorraum +\[ +L^1([a,b]) += +\{f\colon[a,b]\;|\;\text{$f$ integrierbar}\} +\] +\only<4->{wird Banachraum }% +mit der Norm +\[ +\|f\|_1 += +\int_a^b |f(x)|\,dx +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{$L^2$-Norm} +Vektorraum +\[ +L^2([a,b]) += +\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\;|\; \|f\|_2^2<\infty\} +\] +mit Skalarprodukt +\begin{align*} +\langle f,g\rangle +&= +\int_a^b \overline{f}(x)g(x)\,dx +\\ +\|f\|_2^2 +&= +\int_a^b |f(x)|^2\,dx +\end{align*} +\uncover<6->{ist ein Banachraum} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex b/vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex new file mode 100644 index 0000000..8993f66 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/linearformnormen.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% linearformnormen.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Linearformen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearformen $\varphi\colon L^1\to\mathbb{R}$} +Beispiel: $g\in C([a,b])$ +\[ +\varphi(f) += +\int_a^b g(x)f(x)\,dx +\] +\uncover<2->{% +erfüllt +\begin{align*} +|\varphi(f)| +&= +\biggl|\int_a^b g(x)f(x)\,dx\biggr| +\\ +\uncover<3->{ +&\le \|g\|_\infty\cdot \|f\|_1 +} +\end{align*}} +\uncover<4->{% +und hat daher die Operatornorm +\[ +\|\varphi\|_{C([a,b])^*} += +\|g\|_\infty +\]} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearformen $\varphi\colon L^2\to\mathbb{R}$} +\uncover<5->{% +Darstellungssatz von Riesz: $\exists g\in L^2$ +\[ +\varphi(f) = \langle g,f\rangle +\]} +\uncover<6->{% +erfüllt Cauchy-Schwarz} +\begin{align*} +\uncover<7->{ +|\varphi(f)| +&= +|\langle g,f\rangle|} +\\ +\uncover<8->{ +&\le +\|g\|_2 \cdot \|f\|_2 +} +\end{align*} +\uncover<9->{% +und hat daher die Operatornorm +\[ +\|\varphi\|_{L^2([a,b])^*} += \|g\|_2 +\]} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} + +\vspace{8pt} +{\usebeamercolor[fg]{title} +\uncover<10->{% +$\Rightarrow$ +Operatornorm hängt von den Vektorraumnormen ab} +} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index 617e09f..1b13fb0 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -21,5 +21,7 @@ chapter5 = \ ../slides/5/jordan.tex \ ../slides/5/reellenormalform.tex \ ../slides/5/cayleyhamilton.tex \ + \ + ../slides/5/stoneweierstrass.tex \ ../slides/5/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index 1ce9d26..1ee570c 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -3,19 +3,21 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % -folie{5/motivation.tex} -folie{5/charpoly.tex} -folie{5/kernbild.tex} -folie{5/ketten.tex} -folie{5/dimension.tex} -folie{5/folgerungen.tex} -folie{5/injektiv.tex} -folie{5/nilpotent.tex} -folie{5/eigenraeume.tex} -folie{5/zerlegung.tex} -folie{5/normalnilp.tex} -folie{5/bloecke.tex} -folie{5/jordanblock.tex} -folie{5/jordan.tex} -folie{5/reellenormalform.tex} -folie{5/cayleyhamilton.tex} +\folie{5/motivation.tex} +\folie{5/charpoly.tex} +\folie{5/kernbild.tex} +\folie{5/ketten.tex} +\folie{5/dimension.tex} +\folie{5/folgerungen.tex} +\folie{5/injektiv.tex} +\folie{5/nilpotent.tex} +\folie{5/eigenraeume.tex} +\folie{5/zerlegung.tex} +\folie{5/normalnilp.tex} +\folie{5/bloecke.tex} +\folie{5/jordanblock.tex} +\folie{5/jordan.tex} +\folie{5/reellenormalform.tex} +\folie{5/cayleyhamilton.tex} + +\folie{5/stoneweierstrass.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex b/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex new file mode 100644 index 0000000..3f9cab5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% stoneweierstrass.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Stone-Weierstrass} + +TODO XXX + +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index a556570..fb0333e 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -82,13 +82,16 @@ %\folie{2/skalarprodukt.tex} % XXX Cauchy-Schwarz-Ungleichung %\folie{2/cauchyschwarz.tex} +\folie{2/funktionenraum.tex} % XXX Polarformel %\folie{2/polarformel.tex} % XXX Normen, die sich aus der Vektornorm ableiten lassen %\folie{2/operatornorm.tex} +\folie{2/funktionenalgebra.tex} +\folie{2/linearformnormen.tex} % XXX Frobenius-Norm -\folie{2/frobeniusnorm.tex} -\folie{2/frobeniusanwendung.tex} +%\folie{2/frobeniusnorm.tex} +%\folie{2/frobeniusanwendung.tex} \section{Approximation mit Polynomen} % XXX Stone-Weierstrass |