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Diffstat (limited to '')
| -rw-r--r-- | vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex | 39 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 9 | ||||
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diff --git a/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex b/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex index b598aaf..3fd38f2 100644 --- a/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex +++ b/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex @@ -5,31 +5,40 @@ % % Funktionen auf einem Graphen -%\folie{8/wavelets/funktionen.tex} +\folie{8/wavelets/funktionen.tex} % Laplace-Basis auf dem Graphen -%\folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} +\folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} -% XXX Fourier-Transformation auf einem Graphen +% Fourier-Transformation auf einem Graphen \folie{8/wavelets/fourier.tex} -% XXX Lokalisierung in Standardbasis und Fourier-Basis -% XXX \folie{8/wavelets/lokalisierungvergleich.tex} +% Lokalisierung in Standardbasis und Fourier-Basis +\folie{8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex} -% XXX Lokalisierung auf dem Graphen -% XXX \folie{8/wavelets/lokalisierung.tex} +% Lokalisierung im Frequenzraum +\folie{8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex} -% XXX Lokalisierung im Frequenzraum -% XXX \folie{8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex} +% Dilatation im Frequenzraum +\folie{8/wavelets/dilatation.tex} -% XXX Funktionen g und h -% XXX \folie{8/wavelets/gundh.tex} +% Dilatation in Matrixform +\folie{8/wavelets/matrixdilatation.tex} -% XXX Wavelet Frame -% XXX \folie{8/wavelets/frame.tex} +% Funktionen g und h +\folie{8/wavelets/gundh.tex} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\folie{8/wavelets/dilbei.tex} +}{} -% XXX Framekonstante -% XXX \folie{8/wavelets/framekonstanten.tex} +% Wavelet Frame +\folie{8/wavelets/frame.tex} +% Framekonstante +\folie{8/wavelets/framekonstanten.tex} +% Kugel-Beispiel +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\folie{8/wavelets/beispiel.tex} +}{} diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index 73a9061..6ac5665 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -39,5 +39,14 @@ chapter8 = \ ../slides/8/wavelets/laplacebasis.tex \ ../slides/8/wavelets/vektoren.tex \ ../slides/8/wavelets/fourier.tex \ + ../slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex \ + ../slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex \ + ../slides/8/wavelets/dilatation.tex \ + ../slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex \ + ../slides/8/wavelets/gundh.tex \ + ../slides/8/wavelets/dilbei.tex \ + ../slides/8/wavelets/frame.tex \ + ../slides/8/wavelets/framekonstanten.tex \ + ../slides/8/wavelets/beispiel.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index 38a656a..69b7231 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -41,4 +41,13 @@ \folie{8/wavelets/funktionen.tex} \folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} \folie{8/wavelets/fourier.tex} +\folie{8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex} +\folie{8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex} +\folie{8/wavelets/dilatation.tex} +\folie{8/wavelets/matrixdilatation.tex} +\folie{8/wavelets/gundh.tex} +\folie{8/wavelets/frame.tex} +\folie{8/wavelets/dilbei.tex} +\folie{8/wavelets/framekonstanten.tex} +\folie{8/wavelets/beispiel.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..dcc33d4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex @@ -0,0 +1,44 @@ +% +% beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\bild#1#2{ +\node at (0,0) [rotate=-90] +{\includegraphics[width=#1\textwidth]{../../../SeminarWavelets/buch/papers/sgwt/images/#2}}; +} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wavelets auf einer Kugel} +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\only<1>{ \bild{0.6}{wavelets-phi-sphere-334.pdf} } + +\only<2>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-5-sphere-334.pdf} } +\only<3>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-4-sphere-334.pdf} } +\only<4>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-3-sphere-334.pdf} } +\only<5>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-2-sphere-334.pdf} } +\only<6>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-1-sphere-334.pdf} } + +\only<1>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_1$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_2$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_3$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_4$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_5$}; } +\only<6>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Tiefpass mit $h$}; } + +\only<1>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_1}\chi_*$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_2}\chi_*$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_3}\chi_*$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_4}\chi_*$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_5}\chi_*$}; } +\only<6>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{h}\chi_*$}; } + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex new file mode 100644 index 0000000..881f760 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Dilatation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Dilatation in $\mathbb{R}$} +$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ +Definition im Ortsraum: +\[ +(D_af)(x) += +\frac{1}{\sqrt{|a|}} +f\biggl(\frac{x}{a}\biggr) +\] +\uncover<2->{% +Dilatation im Frequenzraum: +\[ +\widehat{D_af}(\omega) += +D_{1/a}\hat{f}(\omega) +\]} +\uncover<3->{% +Spektrum wird mit $1/a$ skaliert!} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{``Dilatation'' auf einem Graphen} +\begin{itemize} +\item<5-> Dilatation auf dem Graphen gibt es nicht +\item<6-> Dilatation im Spektrum $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ gibt es nicht +\item<7-> ``Spektrale Dilatation'' verwenden +\begin{enumerate} +\item<8-> Start: $e_k$ +\item<9-> Fourier-Transformation: $\chi^te_k$ +\item<10-> Spektrum skalieren: mit +$D_{1/a}g$ filtern +\item<11-> Rücktransformation +\[ +D_{g,a}e_k += +\chi +\uncover<12->{\operatorname{diag}(\tilde{D}_{1/a}g(\lambda_*)) +\chi^t e_k} +\] +\end{enumerate} +\end{itemize} + + +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex new file mode 100644 index 0000000..fc66a0a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\bild#1#2{ +\node at (0,0) [rotate=-90] +{\includegraphics[width=#1\textwidth]{../../../SeminarWavelets/buch/papers/sgwt/images/#2}}; +} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wavelets einer Strecke} +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\only<1>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-5-10.pdf} } +\only<2>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-4-10.pdf} } +\only<3>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-3-10.pdf} } +\only<4>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-2-10.pdf} } +\only<5>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-1-10.pdf} } + +\only<6>{ \bild{0.6}{wavelets-phi-line-10.pdf} } + +\only<1>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_1$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_2$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_3$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_4$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_5$}; } +\only<6>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Tiefpass mit $h$}; } + + +\only<1>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_1}\chi_*$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_2}\chi_*$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_3}\chi_*$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_4}\chi_*$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_5}\chi_*$}; } + +\only<6>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{h}\chi_*$}; } + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex index 6b44fb8..3195ec8 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -14,8 +14,10 @@ \begin{block}{Aufgabe} Gegeben: Funktion $f$ auf dem Graphen \\ -Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis +\uncover<2->{% +Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis} \end{block} +\uncover<3->{% \begin{block}{Definition $\chi$-Matrix} Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ \vspace{-10pt} @@ -40,37 +42,44 @@ Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ \end{tikzpicture} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Transformation} $L$ symmetrisch \\ -$\Rightarrow$ -Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden +\uncover<5->{$\Rightarrow$ +Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden} \\ -$\Rightarrow$ -Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden: +\uncover<6->{$\Rightarrow$ +Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden:} +\uncover<7->{% \[ \hat{f}(k) = +\hat{f}(\lambda_k) +\uncover<8->{= \langle v_k, f\rangle \quad\Rightarrow\quad -\hat{f} -= -\chi^tf -\] -$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation} -\end{block} +\hat{f}} +\uncover<9->{= +\chi^tf} +\]} +\uncover<10->{% +$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation}} +\end{block}} +\uncover<11->{% \begin{block}{Rücktransformation} Eigenvektoren orthonormiert \\ -$\Rightarrow$ -$\chi$ orthogonal +\uncover<12->{$\Rightarrow$ +$\chi$ orthogonal} +\uncover<13->{ \[ \chi\chi^t = I -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex new file mode 100644 index 0000000..4d0c7d1 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Graph Wavelet Frame} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frame-Vektoren} +Zu Dilatationsfaktoren $A=\{a_i\,|\,i=1,\dots,N\}$ +konstruiere das Frame +\begin{align*} +F= +\{&D_he_1,\dots,D_he_n,\\ + &Dg_1e_1,\dots,Dg_1e_n,\\ + &Dg_2e_1,\dots,Dg_2e_n,\\ + &\dots\\ + &Dg_Ne_1,\dots,Dg_Ne_n\} +\end{align*} +\uncover<2->{Notation: +\begin{align*} +v_{0,k} +&= +D_he_k +\\ +v_{i,k} +&= +Dg_ie_k +\end{align*}} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Frameoperator} +\begin{align*} +\mathcal{T}\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{nN} +: +v +&\mapsto +\begin{pmatrix} +\uncover<4->{\langle D_he_1,v\rangle}\\ +\uncover<4->{\vdots}\\ +\uncover<4->{\langle D_he_n,v\rangle}\\ +\hline +\uncover<5->{\langle D_{g_1}e_1,v\rangle}\\ +\uncover<5->{\vdots}\\ +\uncover<5->{\langle D_{g_1}e_n,v\rangle}\\ +\hline +\uncover<6->{\vdots}\\ +\uncover<6->{\vdots}\\ +\hline +\uncover<7->{\langle D_{g_N}e_1,v\rangle}\\ +\uncover<7->{\vdots}\\ +\uncover<7->{\langle D_{g_N}e_n,v\rangle} +\end{pmatrix} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex new file mode 100644 index 0000000..a436536 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Framekonstanten} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Eine Menge $\mathcal{F}$ von Vektoren heisst ein Frame, +falls es Konstanten $A$ und $B$ gibt derart, dass +\[ +A\|v\|^2 +\le +\|\mathcal{T}v\|^2 +\sum_{b\in\mathcal{F}} |\langle b,v\rangle|^2 +\le +B\|v\|^2 +\] +\uncover<2->{$A>0$ garantiert Invertierbarkeit} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{$\|\mathcal{T}v\|$ für Graph-Wavelets} +\begin{align*} +\|\mathcal{T}v\|^2 +&= +\sum_k |\langle D_he_k,v\rangle|^2 ++ +\sum_{i,k} |\langle D_{g_i}e_k, v\rangle|^2 +\\ +&\uncover<4->{= +\sum_k |h(\lambda_k) \hat{v}(k)|^2 ++ +\sum_{k,i} |g_i(\lambda_k) \hat{v}(k)|^2} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{$A$ und $B$} +Frame-Norm-Funktion +\begin{align*} +f(\lambda) +&= +h(\lambda) ++ +\sum_i g_i(\lambda) +\\ +&\uncover<6->{= +h(\lambda) ++ +\sum_i g(a_i\lambda)} +\end{align*} +\uncover<7->{Abschätzung für Frame-Konstanten +\begin{align*} +A&\uncover<8->{= +\min_{i} f(\lambda_i)} +\\ +B&\uncover<9->{= +\max_{i} f(\lambda_i)} +\end{align*}} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..c78e6dd --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex @@ -0,0 +1,78 @@ +% +% frequenzlokalisierung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup + +\def\kurve#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=400] + ({\x},{7*\x*exp(-(\x/#1)*(\x/#1))/#1}); +} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lokalisierung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Bandpass} +Gegeben durch $g(\lambda)\ge 0$: +\begin{align*} +g(0) &= 0\\ +\lim_{\lambda\to\infty}g(\lambda)&= 0 +\end{align*} +\vspace{-10pt} +\begin{enumerate} +\item<3-> Fourier-transformieren +\item<4-> Amplituden mit $g(\lambda)$ multiplizieren +\item<5-> Rücktransformieren +\end{enumerate} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Tiefpass} +Gegeben durch $h(\lambda)\ge0$: +\begin{align*} +h(0) &= 1\\ +\lim_{\lambda\to\infty}h(\lambda)&= 0 +\end{align*} +\vspace{-10pt} +\begin{enumerate} +\item<8-> Fourier-Transformation +\item<9-> Amplituden mit $h(\lambda)$ multiplizieren +\item<10-> Rücktransformation +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8] + +\uncover<2->{ +\begin{scope}[xshift=-4.5cm] +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; +\kurve{3}{red} +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3); +\end{scope} +} + +\uncover<7->{ +\begin{scope}[xshift=4.5cm] +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=100] + ({\x},{3*exp(-(\x/0.5)*(\x/0.5)}); + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3) coordinate[label={right:$\color{darkgreen}h(\lambda)$}]; +\end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex index f9667ee..2e3ae9b 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex @@ -25,15 +25,17 @@ f\colon V \to \mathbb{R} : v\mapsto f(v) \] Knoten: $V=\{1,\dots,n\}$ \\ +\uncover<2->{% Vektorschreibweise \[ f = \begin{pmatrix} f(1)\\f(2)\\\vdots\\f(n) \end{pmatrix} -\] +\]} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Matrizen} Adjazenz-, Grad- und Laplace-Matrix operieren auf Funktionen auf Graphen: \[ @@ -69,7 +71,7 @@ L \kante{(C)}{(E)} \kante{(D)}{(E)} \end{tikzpicture} -\end{center} +\end{center}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex new file mode 100644 index 0000000..2d6c677 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex @@ -0,0 +1,85 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\kurve#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=400] + ({\x},{7*\x*exp(-(\x/#1)*(\x/#1))/#1}); +} + +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wavelets} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Mutterwavelets + Dilatation} +Eine Menge von Dilatationsfaktoren +\[ +A= \{a_1,a_2,\dots,a_N\} +\] +wählen\uncover<2->{, und mit Funktionen +\[ +{\color{blue}g_i} = \tilde{D}_{1/a_i}{\color{red}g} +\] +die Standardbasisvektoren filtern} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{ +\begin{block}{Vaterwavelets} +Tiefpass mit Funktion ${\color{darkgreen}h(\lambda)}$, +Standardbasisvektoren mit ${\color{darkgreen}h}$ filtern: +\[ +D_{\color{darkgreen}h}e_k +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; + +\kurve{1}{red} +\uncover<4->{ +\foreach \k in {0,...,4}{ + \pgfmathparse{0.30*exp(ln(2)*\k)} + \xdef\l{\pgfmathresult} + \kurve{\l}{blue} +} +} + +\node[color=red] at ({0.7*1},3) [above] {$g(\lambda)$}; +\uncover<4->{ +\node[color=blue] at ({0.7*0.3*16},3) [above] {$g_i(\lambda)$}; +} + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=7cm] + +\uncover<6->{ +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; + +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=100] + ({\x},{3*exp(-(\x/0.5)*(\x/0.5)}); + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3) coordinate[label={right:$\color{darkgreen}h(\lambda)$}]; +} + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex index a59fbaa..ced4c09 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex @@ -16,23 +16,23 @@ \begin{center} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] -\begin{scope}[yshift=-0.4cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-0.4cm,xshift=-5.5cm] \fnull \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-1.8cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-1.8cm,xshift=-5.5cm] \fone \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-5.5cm] \ftwo \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-4.6cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-4.6cm,xshift=-5.5cm] \fthree \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-6.0cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-6.0cm,xshift=-5.5cm] \ffour \end{scope} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex new file mode 100644 index 0000000..d6575d0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% lokalisierungsvergleich.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lokalisierung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Ortsraum} +Ortsraum$\mathstrut=V$ +\begin{itemize} +\item<3-> Standardbasis +\item<5-> lokalisiert in den Knoten +\item<7-> die meisten $\hat{f}(k)$ gross +\item<9-> vollständig delokalisiert im Frequenzraum +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frequenzraum} +\uncover<2->{Frequenzraum $\mathstrut=\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}$} +\begin{itemize} +\item<4-> Laplace-Basis +\item<6-> lokalisiert in den Eigenwerten +\item<8-> die meisten Komponenten gross +\item<10-> vollständig delokalisiert im Ortsraum +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Plan} +Gesucht sind Funktionen auf dem Graphen derart, die +\begin{enumerate} +\item<12-> in der Nähe einzelner Knoten konzentriert/lokalisiert sind und +\item<13-> deren Fourier-Transformation in der Nähe einzelner Eigenwerte +konzentriert/lokalisiert ist +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex new file mode 100644 index 0000000..3536736 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +% +% matrixdilatation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Dilatation in Matrixform} +Dilatationsfaktor $a$, skaliertes Wavelet beim Knoten $k$ mit Spektrum +$\tilde{D}_{1/a}g$ +\begin{align*} +D_{g,a}e_k +&= +\chi +\begin{pmatrix} +g(a\lambda_1)& 0 & \dots & 0 \\ + 0 &g(a\lambda_2)& \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots &g(a\lambda_n) +\end{pmatrix} +\chi^t +e_k +\intertext{\uncover<2->{``verschmierter'' Standardbasisvektor am Knoten $k$}} +\uncover<2->{D_he_k +&= +\chi +\begin{pmatrix} +h(\lambda_1)& 0 & \dots & 0 \\ + 0 &h(\lambda_2)& \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots &h(\lambda_n) +\end{pmatrix} +\chi^t +e_k} +\end{align*} +\end{frame} +\egroup |