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path: root/vorlesungen
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex41
-rw-r--r--vorlesungen/slides/5/Makefile.inc3
-rw-r--r--vorlesungen/slides/5/chapter.tex3
-rw-r--r--vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex14
-rw-r--r--vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex105
-rw-r--r--vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex109
-rw-r--r--vorlesungen/slides/test.tex22
7 files changed, 253 insertions, 44 deletions
diff --git a/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex b/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex
index 7a49363..5dbfb2a 100644
--- a/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex
+++ b/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex
@@ -5,16 +5,16 @@
%
\section{Matrixnormen}
-%\folie{2/norm.tex}
-%\folie{2/skalarprodukt.tex}
-%\folie{2/cauchyschwarz.tex}
-%\folie{2/polarformel.tex}
-%\folie{2/funktionenraum.tex}
-%\folie{2/operatornorm.tex}
-%\folie{2/funktionenalgebra.tex}
-%\folie{2/linearformnormen.tex}
-%\folie{2/frobeniusnorm.tex}
-%\folie{2/frobeniusanwendung.tex}
+\folie{2/norm.tex}
+\folie{2/skalarprodukt.tex}
+\folie{2/cauchyschwarz.tex}
+\folie{2/polarformel.tex}
+\folie{2/funktionenraum.tex}
+\folie{2/operatornorm.tex}
+\folie{2/funktionenalgebra.tex}
+\folie{2/linearformnormen.tex}
+\folie{2/frobeniusnorm.tex}
+\folie{2/frobeniusanwendung.tex}
\section{Approximation mit Polynomen}
% XXX Stone-Weierstrass
@@ -29,22 +29,15 @@
% XXX \folie{5/gelfandtransformation.tex}
\section{Potenzreihen}
-% XXX Konvergenzradius
-% XXX \folie{5/konvergenzradius.tex}
-% XXX Gelfand-Radius
-% XXX \folie{5/gelfandradius.tex}
-% XXX Gleichheit von Konvergenz-Radius und Gelfand-Radius (braucht JNF)
-% XXX \folie{5/satzvongelfand.tex}
+\folie{5/konvergenzradius.tex}
+\folie{5/krbeispiele.tex}
+\folie{5/spektralgelfand.tex}
+\folie{5/satzvongelfand.tex}
\section{Differentialgleichungen}
-% XXX Potenzreihenmethode zur Lösung von Differentialgleichungen
-% XXX \folie{5/potenzreihenmethode.tex}
-% XXX Exponentialfunktion
-% XXX \folie{5/exponentialfunktion.tex}
-% XXX Exponentialreihe
-% XXX \folie{5/exponentialreihe.tex}
-% XXX Logarithmus
-% XXX \folie{5/logarithmusreihe.tex}
+\folie{5/potenzreihenmethode.tex}
+\folie{5/exponentialfunktion.tex}
+\folie{5/logarithmusreihe.tex}
% XXX Sinus und Cosinus, Eulerscher Satz
% XXX \folie{5/sinuscosinus.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
index e635c42..1707e67 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
@@ -22,6 +22,8 @@ chapter5 = \
../slides/5/reellenormalform.tex \
../slides/5/cayleyhamilton.tex \
\
+ ../slides/5/konvergenzradius.tex \
+ ../slides/5/krbeispiele.tex \
../slides/5/spektralgelfand.tex \
../slides/5/Aiteration.tex \
../slides/5/satzvongelfand.tex \
@@ -30,5 +32,6 @@ chapter5 = \
../slides/5/potenzreihenmethode.tex \
../slides/5/logarithmusreihe.tex \
../slides/5/exponentialfunktion.tex \
+ ../slides/5/hyperbolisch.tex \
../slides/5/chapter.tex
diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
index fab6a28..46597e5 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
@@ -19,6 +19,8 @@
\folie{5/jordan.tex}
\folie{5/reellenormalform.tex}
\folie{5/cayleyhamilton.tex}
+\folie{5/konvergenzradius.tex}
+\folie{5/krbeispiele.tex}
\folie{5/spektralgelfand.tex}
\folie{5/Aiteration.tex}
\folie{5/satzvongelfand.tex}
@@ -26,3 +28,4 @@
\folie{5/potenzreihenmethode.tex}
\folie{5/logarithmusreihe.tex}
\folie{5/exponentialfunktion.tex}
+\folie{5/hyperbolisch.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex b/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex
index 698d8a5..caae16b 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex
+++ b/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex
@@ -10,6 +10,7 @@
\vspace{-15pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\only<1-6>{%
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{$x(t) \in\mathbb{R}$}
\vspace{-10pt}
@@ -21,7 +22,7 @@ x(0) &= c&&\in\mathbb{R}
\uncover<2->{x(t) &= ce^{at}}
\end{align*}
\end{block}
-\end{column}}
+\end{column}}{}}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<3->{%
\begin{block}{$X(t) \in M_n(\mathbb{R})$}
@@ -45,6 +46,7 @@ vier Funktionen $x_{ij}(t)$}}
\end{block}}
\end{column}
\only<7-9>{%
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Beispiel: Diagonalmatrix}
%$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$
@@ -60,7 +62,7 @@ Lösung:
x_{ij}(t) =c_{ij}e^{\lambda_i t}
\]}
\end{block}
-\end{column}}
+\end{column}}{}}
\uncover<10->{%
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Beispiel: Jordan-Block}
@@ -70,10 +72,11 @@ A&=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}
\rlap{$\displaystyle,\;
X(t)
=
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
\only<22>{
e^{\lambda t}
\begin{pmatrix} 1&t/\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix}
-}
+}}{}
\only<23>{
\frac{e^{\lambda t}}{\lambda}
\begin{pmatrix} \lambda&t\\ 0&\lambda \end{pmatrix}
@@ -100,13 +103,16 @@ x_{2i}(t)&=c_{2i}e^{\lambda t}
\dot{x}_{1i}(t)&=\lambda x_{1i}(t) + c_{2i}e^{\lambda t}
}
\\
-\only<16-17>{x_{1i\only<16>{,h}}(t)}
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
+\only<16-17>{x_{1i\only<16>{,h}}(t)}}{}
\only<18->{\dot{x}_{1i}(t)}
&
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
\only<16-17>{=c\only<17>{(t)}\lambda e^{\lambda t}}
\only<18>{=\dot{c}(t)\lambda e^{\lambda t}
+
c(t)\lambda^2 e^{\lambda t}}
+}{}
\only<19->{=\lambda x_{1i}(t) + \dot{c}(t)\lambda e^{\lambda t}}
\\
\uncover<20->{\Rightarrow
diff --git a/vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex b/vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..905082a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex
@@ -0,0 +1,105 @@
+%
+% hyperbolisch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Hyperbolische Funktionen}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Differentialgleichung}
+\vspace{-10pt}
+\begin{align*}
+\ddot{y} &= y
+\;\Rightarrow\;
+\frac{d}{dt}
+\begin{pmatrix}y\\y_1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}y\\y_1\end{pmatrix}
+\\
+y(0)&=a,\qquad y'(0)=b
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Lösung}
+\vspace{-13pt}
+\begin{align*}
+\lambda^2-1&=0
+\uncover<3->{
+\qquad\Rightarrow\qquad \lambda=\pm 1
+}
+\\
+\uncover<4->{
+y(t)&=Ae^t+Be^{-t}}
+\uncover<5->{
+\Rightarrow
+\left\{
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcr}
+A&+&B&=&a\\
+A&-&B&=&b
+\end{array}
+\right.}
+\\
+&\uncover<6->{
+=\frac{a+b}2e^t + \frac{a-b}2e^{-t}}
+\\
+&\uncover<7->{=
+a{\color{darkgreen}\frac{e^t+e^{-t}}2} + b{\color{red}\frac{e^t-e^{-t}}2}}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.49\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Potenzreihe}
+\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+K&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\uncover<10->{\quad\Rightarrow\quad K^2=I}
+\\
+\uncover<9->{
+e^{Kt}
+&=
+I+K+\frac1{2!}K^2 + \frac{1}{3!}K^3 + \frac{1}{4!}K^4+\dots
+}
+\\
+\uncover<11->{
+&=
+\biggl( 1+\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)I
+}
+\\
+\uncover<11->{
+&\qquad
++\biggl(t+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+\dots\biggr)K
+}
+\\
+\uncover<12->{
+&=
+I{\,\color{darkgreen}\cosh t} + K{\,\color{red}\sinh t}
+}
+\\
+\uncover<13->{
+\begin{pmatrix}y(t)\\y_1(t)\end{pmatrix}
+&=
+e^{Kt}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}
+}
+\uncover<14->{
+=
+\begin{pmatrix}
+a{\,\color{darkgreen}\cosh t} + b{\,\color{red}\sinh t}\\
+a{\,\color{red}\sinh t} + b{\,\color{darkgreen}\cosh t}
+\end{pmatrix}
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex b/vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex
new file mode 100644
index 0000000..a0b4b3a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex
@@ -0,0 +1,109 @@
+%
+% konvergenzradius.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\setbeamercolor{column}{bg=blue!20}
+\def\punkt#1{
+ \fill[color=blue!30] #1 circle[radius=0.05];
+ \draw[color=blue] #1 circle[radius=0.05];
+}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{frame}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Konvergenzradius}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Potenzreihen}
+$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ (komplex differenzierbar)
+\begin{equation}
+f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\label{reihe}
+\end{equation}
+\end{block}
+\vspace{-8pt}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Konvergenz}
+\eqref{reihe} konvergiert für $|z| < {\color{darkgreen}R}$,
+\[
+\frac{1}{{\color{darkgreen}R}}
+=
+\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{\frac1k}
+\]
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Polstellen}
+{\color{darkgreen}$R$} ist der Radius des grössten Kreises um $O$,
+auf dessen Rand eine
+{\color{blue}Polstelle} der Funktion $f(z)$ liegt
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\r{2.5}
+\uncover<2->{
+ \fill[color=red!20] (0,0) circle[radius=\r];
+ \draw[color=red] (0,0) circle[radius=\r];
+}
+\draw[->] (-2.6,0) -- (2.9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.6) -- (0,2.9) coordinate[label={$\operatorname{Im}z$}];
+
+\uncover<2->{
+ \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.05cm] (0,0) -- (100:\r);
+ \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.05cm] (0,0) -- (220:\r);
+ \node[color=darkgreen] at ($0.5*(100:\r)$) [left] {$R$};
+ \node[color=darkgreen] at ($0.5*(220:\r)+(-0.1,0.1)$)
+ [below right] {$R$};
+
+ \fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.05];
+ \draw (0,0) circle[radius=0.05];
+}
+
+\node at (2.8,2.8) {$\mathbb{C}$};
+
+\uncover<3->{
+ \punkt{(100:\r)}
+ \punkt{(220:\r)}
+
+ \begin{scope}
+ \clip (-2.6,-2.6) rectangle (2.9,2.9);
+
+ \punkt{(144.2527:2.7232)}
+ %\punkt{(226.1822:2.5164)}
+ \punkt{(173.7501:3.4140)}
+ \punkt{(267.4103,2.7668)}
+ \punkt{(137.7328:3.1683)}
+ %\punkt{(30.1155:3.3629)}
+ %\punkt{(139.1036:2.5366)}
+ \punkt{(167.4964:3.0503)}
+ \punkt{(289.2650:3.4324)}
+ \punkt{(120.1911:3.2966)}
+ %\punkt{(292.3422:2.7550)}
+ \punkt{(141.4877:2.6494)}
+ \punkt{(70.8326:2.9005)}
+ \punkt{(56.0758:3.2098)}
+ \punkt{(99.0585:3.2340)}
+ \punkt{(299.7242:2.5990)}
+ \punkt{(158.8802:2.6539)}
+ \punkt{(235.2721:2.9476)}
+ \punkt{(108.0584:2.8344)}
+ \punkt{(220.0117:2.7679)}
+
+ \end{scope}
+
+ \begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-1.0cm]
+ \punkt{(0,-0.05)}
+ \node at (0,0) [right] {$=$ Polstelle};
+ \end{scope}
+}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex
index 07b5379..66f5ade 100644
--- a/vorlesungen/slides/test.tex
+++ b/vorlesungen/slides/test.tex
@@ -76,20 +76,14 @@
%\folie{5/cayleyhamilton.tex}
\section{Matrixnormen}
-% XXX Vektornormen
%\folie{2/norm.tex}
-% XXX Skalarprodukt und L^2-Norm
%\folie{2/skalarprodukt.tex}
-% XXX Cauchy-Schwarz-Ungleichung
%\folie{2/cauchyschwarz.tex}
%\folie{2/funktionenraum.tex}
-% XXX Polarformel
%\folie{2/polarformel.tex}
-% XXX Normen, die sich aus der Vektornorm ableiten lassen
%\folie{2/operatornorm.tex}
%\folie{2/funktionenalgebra.tex}
%\folie{2/linearformnormen.tex}
-% XXX Frobenius-Norm
%\folie{2/frobeniusnorm.tex}
%\folie{2/frobeniusanwendung.tex}
@@ -106,22 +100,18 @@
% XXX \folie{5/gelfandtransformation.tex}
\section{Potenzreihen}
-% XXX Konvergenzradius
-% XXX \folie{5/konvergenzradius.tex}
+% Konvergenzradius
+%\folie{5/konvergenzradius.tex}
+%\folie{5/krbeispiele.tex}
%\folie{5/spektralgelfand.tex}
-% XXX Gleichheit von Konvergenz-Radius und Gelfand-Radius (braucht JNF)
-\folie{5/Aiteration.tex}
-\folie{5/satzvongelfand.tex}
-% Logarithmus
+%\folie{5/Aiteration.tex}
+%\folie{5/satzvongelfand.tex}
%\folie{5/logarithmusreihe.tex}
\section{Differentialgleichungen}
-% Potenzreihenmethode zur Lösung von Differentialgleichungen
%\folie{5/potenzreihenmethode.tex}
-% Exponentialfunktion
%\folie{5/exponentialfunktion.tex}
-% XXX Exponentialreihe
-% XXX \folie{5/exponentialreihe.tex}
% XXX Sinus und Cosinus, Eulerscher Satz
% XXX \folie{5/sinuscosinus.tex}
+\folie{5/hyperbolisch.tex}
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