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diff --git a/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex b/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex index 01be58a..7151909 100644 --- a/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex +++ b/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex @@ -17,6 +17,9 @@ \folie{2/frobeniusanwendung.tex} \section{Approximation mit Polynomen} +\folie{5/spektrum.tex} +\folie{5/normal.tex} +\folie{5/unitaer.tex} % XXX Stone-Weierstrass % XXX \folie{5/stoneweierstrass.tex} % XXX Spektrum einer Matrix @@ -32,13 +35,12 @@ \folie{5/konvergenzradius.tex} \folie{5/krbeispiele.tex} \folie{5/spektralgelfand.tex} +\folie{5/Aiteration.tex} \folie{5/satzvongelfand.tex} \section{Differentialgleichungen} \folie{5/potenzreihenmethode.tex} \folie{5/exponentialfunktion.tex} \folie{5/logarithmusreihe.tex} -% XXX Sinus und Cosinus, Eulerscher Satz -% XXX \folie{5/sinuscosinus.tex} \folie{5/hyperbolisch.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index 76b9032..0858369 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -23,6 +23,8 @@ chapter5 = \ ../slides/5/cayleyhamilton.tex \ \ ../slides/5/spektrum.tex \ + ../slides/5/normal.tex \ + ../slides/5/unitaer.tex \ \ ../slides/5/konvergenzradius.tex \ ../slides/5/krbeispiele.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index 46597e5..c19222c 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -29,3 +29,5 @@ \folie{5/logarithmusreihe.tex} \folie{5/exponentialfunktion.tex} \folie{5/hyperbolisch.tex} +\folie{5/spektrum.tex} +\folie{5/normal.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/normal.tex b/vorlesungen/slides/5/normal.tex new file mode 100644 index 0000000..7245608 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/normal.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% normal.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Normale Operatoren} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +$f,g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$. +\\ +In welchen Punkten müssen $f$ und $g$ übereinstimmen, damit +$f(A)=g(A)$? +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Definition $f(A)$} +$f$ durch eine Folge von Polynomen +appoximieren: $p_n\to f$ +\[ +f(A) = \lim_{n\to\infty}p_n(A) +\] +\end{block}} +\vspace{-15pt} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Vermutung} +Falls $f(z)=g(z)$ für $z\in\operatorname{Sp}(A)$, +dann ist $f(A)=g(A)$ + +\smallskip +\uncover<4->{% +{\usebeamercolor[fg]{title}Stimmt für: } $A$ diagonalisierbar +} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Beispiel} +\[ +A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}, \quad +\operatorname{Sp}(A)=\{2\} +\] +\uncover<6->{% +\begin{align*} +f(z)&=(z-2)^2 &g(z)&=z-2 +\\ +\uncover<7->{ +f(A)&=0&g(A)&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +} +\end{align*}} +\end{block}} +\vspace{-18pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Normal} +$A$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ +\begin{itemize} +\item<9-> +symmetrische Matrizen: $A=A^*$ +\item<10-> +unitäre Matrizen: $A^*=A^{-1}\Rightarrow +AA^*=AA^{-1}=A^{-1}A=A^*A$ +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex b/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex index f427c9a..6cbdd7f 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex @@ -25,23 +25,35 @@ $A-\lambda I$ nicht invertierbar \right\} \] \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Endlichdimensionale Räume} \vspace{-15pt} \begin{align*} &\lambda\in\operatorname{Sp}A \\ +\uncover<3->{ \Leftrightarrow\quad&\text{$(A-\lambda I)$ nicht invertierbar} +} \\ +\uncover<4->{ \Leftrightarrow\quad&\text{$(A-\lambda I)$ singulär} +} \\ +\uncover<5->{ \Leftrightarrow\quad&\ker(A-\lambda I)\ne 0 +} \\ +\uncover<6->{ \Leftrightarrow\quad&\exists v\in V, v\ne 0, Av=\lambda v +} \end{align*} +\uncover<7->{% $\Rightarrow$ $\operatorname{Sp}A$ ist die Menge der Eigenwerte -\end{block} +} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Unendlichdimensional} Es gibt eine Folge $x_n\in V$ von Einheitsvektoren $\|x_n\|=1$ @@ -49,7 +61,8 @@ mit \begin{align*} \lim_{n\to\infty} (A - \lambda)x_n &= 0 \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<9->{% \begin{block}{Spektrum und Norm} \[ \operatorname{Sp}(A) @@ -57,7 +70,7 @@ mit \{\lambda\in\mathbb{C}\;|\; |\lambda|\le \|A\|\} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex b/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex new file mode 100644 index 0000000..36e3be2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +% +% unitaer.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Unitäre Matrizen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Eigenwerte} +$U$ unitär lässt das Skalarprodukt invariant +\[ +\langle Ux,Uy\rangle += +\langle x,y\rangle +\] +\uncover<2->{% +$\lambda$ ein Eigenwert mit Eigenvektor $v$: +\begin{align*} +\langle u,v\rangle +&= +\langle Uu,Uv\rangle +\uncover<3->{= \langle \lambda u,\lambda v\rangle} +\uncover<4->{= |\lambda|^2 \langle u,v\rangle} +\\ +\uncover<5->{\Rightarrow\;|\lambda|&=1} +\end{align*}} +\end{block} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Diagonalisierbar} +Unitäre Matrizen sind über $\mathbb{C}$ diagonalisierbar +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Grosse Jordan-Blöcke?} +Falls es Vektoren $v,w$ gibt mit +\begin{align*} +\uncover<7->{ Uv&=\lambda v} +\\ +\uncover<8->{ Uw&=\lambda w + v} +\intertext{\uncover<9->{Skalarprodukt:}} +\uncover<10->{ +\langle v,w\rangle +&= +\langle Uv,Uw\rangle} +\\ +\uncover<11->{ +&= +\langle \lambda v,\lambda w\rangle ++ +\langle\lambda v,v\rangle} +\\ +\uncover<12->{ +&= +|\lambda|^2 \langle v,w\rangle ++ +\langle\lambda v,v\rangle} +\\ +\uncover<13->{ +&= +\langle v,w\rangle ++ +\lambda \| v\|^2} +\\ +\uncover<14->{ +\Rightarrow\quad +0&=\|v\|^2\quad\Rightarrow\quad \|v\|=0} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 7137c5a..5f08a8f 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -91,7 +91,9 @@ % XXX Stone-Weierstrass % XXX \folie{5/stoneweierstrass.tex} % XXX Spektrum einer Matrix -\folie{5/spektrum.tex} +%\folie{5/spektrum.tex} +\folie{5/normal.tex} +\folie{5/unitaer.tex} % XXX Approximation einer Funktion auf dem Spektrum % XXX \folie{5/spektrumapproximation.tex} % XXX Approximation einer Matrix in der erzeugten Algebra |