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diff --git a/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/Makefile b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/Makefile new file mode 100644 index 0000000..4dd01f2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/Makefile @@ -0,0 +1,33 @@ +# +# Makefile -- endlichekoerper +# +# (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +# +all: endlichekoerper-handout.pdf MathSemMSE-05-endlichekoerper.pdf + +include ../slides/Makefile.inc + +SOURCES = common.tex slides.tex $(slides) + +MathSemMSE-05-endlichekoerper.pdf: MathSemMSE-05-endlichekoerper.tex $(SOURCES) + pdflatex MathSemMSE-05-endlichekoerper.tex + +endlichekoerper-handout.pdf: endlichekoerper-handout.tex $(SOURCES) + pdflatex endlichekoerper-handout.tex + +thumbnail: thumbnail.jpg # fix1.jpg + +thumbnail.pdf: MathSemMSE-05-endlichekoerper.pdf + pdfjam --outfile thumbnail.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \ + MathSemMSE-05-endlichekoerper.pdf 1 +thumbnail.jpg: thumbnail.pdf + convert -density 300 thumbnail.pdf \ + -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch thumbnail.jpg + +fix1.pdf: MathSemMSE-05-endlichekoerper.pdf + pdfjam --outfile fix1.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \ + MathSemMSE-05-endlichekoerper.pdf 1 +fix1.jpg: fix1.pdf + convert -density 300 fix1.pdf \ + -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch fix1.jpg + diff --git a/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/MathSemMSE-05-endlichekoerper.tex b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/MathSemMSE-05-endlichekoerper.tex new file mode 100644 index 0000000..d03fa99 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/MathSemMSE-05-endlichekoerper.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% MathSem-05-mseendlichekoerper.tex -- Präsentation +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[aspectratio=169]{beamer} +\input{common.tex} +\setboolean{presentation}{true} +\begin{document} +\begin{frame} +\titlepage +\end{frame} +\input{slides.tex} +\end{document} diff --git a/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/common.tex b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/common.tex new file mode 100644 index 0000000..7bd6c65 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/common.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +% +% common.tex -- gemeinsame definition +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\input{../common/packages.tex} +\input{../common/common.tex} +\mode<beamer>{% +\usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} +} +\beamertemplatenavigationsymbolsempty +\title[Endliche Körper]{Endliche Körper} +\author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller} +\date[]{} +\newboolean{presentation} + diff --git a/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/endlichekoerper-handout.tex b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/endlichekoerper-handout.tex new file mode 100644 index 0000000..cdb077b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/endlichekoerper-handout.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% mseendlichekoerper-handout.tex -- Handout XXX +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[handout,aspectratio=169]{beamer} +\input{common.tex} +\setboolean{presentation}{false} +\begin{document} +\input{slides.tex} +\end{document} diff --git a/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/slides.tex b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/slides.tex new file mode 100644 index 0000000..2a3df88 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/05_mseendlichekoerper/slides.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +% +% slides.tex -- +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Euklidischer Algorithmus} +\folie{4/ggt.tex} +\folie{4/euklidmatrix.tex} +\folie{4/euklidbeispiel.tex} +\folie{4/euklidtabelle.tex} + +\section{Endlicher Körper} +\folie{4/fp.tex} +\folie{4/division.tex} +\folie{4/gauss.tex} +\folie{4/dh.tex} + +\section{Charakteristik} +\folie{4/charakteristik.tex} +\folie{4/char2.tex} +\folie{4/frobenius.tex} +\folie{4/qundr.tex} + +\section{Körpererweiterung} +\folie{4/divisionpoly.tex} +\folie{4/euklidpoly.tex} +\folie{4/polynomefp.tex} +\folie{4/alpha.tex} +\folie{4/schieberegister.tex} + diff --git a/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex b/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex index b049f2f..905c47d 100644 --- a/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex +++ b/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex @@ -3,20 +3,28 @@ % % (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +\section{Plan} +\folie{5/plan.tex} +\folie{5/planbeispiele.tex} + \section{Normen} \folie{2/norm.tex} -\folie{2/skalarprodukt.tex} +%\folie{2/skalarprodukt.tex} \folie{2/operatornorm.tex} -\section{Matrix-Analysis} +\section{Potenzreihen} \folie{5/konvergenzradius.tex} \folie{5/krbeispiele.tex} +\folie{5/spektrum.tex} \folie{5/spektralgelfand.tex} \folie{5/Aiteration.tex} \folie{5/satzvongelfand.tex} -% XXX stone weierstrass incomplete + +\section{Polynomapproximation} +\folie{5/normal.tex} +\folie{5/normalbeispiel.tex} +\folie{5/normalbeispiel34.tex} \folie{5/stoneweierstrass.tex} -\folie{5/spektrum.tex} +\folie{5/swbeweis.tex} % XXX polynome auf dem spektrum % XXX Motiviation für *-Operation -\folie{5/normal.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc index ad1081e..6616f56 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc @@ -17,6 +17,10 @@ chapter4 = \ ../slides/4/euklidpoly.tex \ ../slides/4/polynomefp.tex \ ../slides/4/schieberegister.tex \ + ../slides/4/charakteristik.tex \ + ../slides/4/char2.tex \ + ../slides/4/frobenius.tex \ + ../slides/4/qundr.tex \ ../slides/4/alpha.tex \ ../slides/4/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/4/chapter.tex b/vorlesungen/slides/4/chapter.tex index a10712a..6872018 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/chapter.tex @@ -16,3 +16,7 @@ \folie{4/polynomefp.tex} \folie{4/alpha.tex} \folie{4/schieberegister.tex} +\folie{4/charakteristik.tex} +\folie{4/char2.tex} +\folie{4/frobenius.tex} +\folie{4/qundr.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/4/char2.tex b/vorlesungen/slides/4/char2.tex new file mode 100644 index 0000000..2b5709a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/4/char2.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% char2.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Charakteristik 2} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Plus und Minus} +\[ +x+x = 2x = 0 +\uncover<2->{\Rightarrow +-x=x} +\] +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Quadrieren} +In $\mathbb{F}_2$ ist $2=0$, d.h +\[ +(x+y)^2 += +x^2 + 2xy + y^2 +\uncover<4->{= +x^2 + y^2} +\] +für alle $x,y\in\Bbbk$ +\end{block}} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Frobenius-Automorphismus} +\[ +(x+y)^{2^n} = x^{2^n}+y^{2^n} +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Pascal-Dreieck} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf} +\end{center} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/charakteristik.tex b/vorlesungen/slides/4/charakteristik.tex new file mode 100644 index 0000000..a0d6d3e --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/4/charakteristik.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +% +% charakteristisk.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Primkörper und Charakteristik} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Primkörper} +$1\in\Bbbk$ +\begin{enumerate} +\item<2-> +$n\cdot 1\ne 0\;\forall n\in\mathbb{N}$\uncover<3->{: +$\Rightarrow$ +$\mathbb{Z}\subset \Bbbk$} +\uncover<4->{% +$\Rightarrow$ +$\mathbb{Q}\subset \Bbbk$} +\item<5-> +$\{n\mathbb{Z}\;|\; +\text{$n\cdot 1 = 0$ in $\Bbbk$}\} += +p\mathbb{Z}$ +\uncover<6->{ +$\Rightarrow$ +$\mathbb{F}_p\subset \Bbbk$} +\end{enumerate} +\end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Primkörper} +Der Primkörper $\operatorname{Prim}(\Bbbk)$ +eines Körpers $\Bbbk$ ist der kleinste in $\Bbbk$ +enthaltene Körper +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Charakteristik} +\vspace{-10pt} +\[ +\operatorname{char}(\Bbbk) += +\begin{cases} +\uncover<9->{p&\qquad \operatorname{Prim}(\Bbbk) = \mathbb{F}_p}\\ +\uncover<10->{0&\qquad \operatorname{Prim}(\Bbbk) = \mathbb{Q}} +\end{cases} +\] +\vspace{-10pt} +\end{block}} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Vektorraum} +$\Bbbk$ ist ein Vektorraum über $\operatorname{Prim}(\Bbbk)$ +durch Einschränkung der Multiplikation auf $\operatorname{Prim}(\Bbbk)$ +(Körperstruktur vergessen) +\end{block}} +\uncover<12->{% +\begin{block}{Endliche Körper} +\begin{itemize} +\item<13-> +Endliche Körper haben immer Charakteristik $p\ne 0$ +\item<14-> +$\Bbbk$ ist eine endlichdimensionaler $\mathbb{F}_p$-Vektorraum +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/euklidmatrix.tex b/vorlesungen/slides/4/euklidmatrix.tex index be5b3ca..c63afec 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/euklidmatrix.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/euklidmatrix.tex @@ -18,7 +18,7 @@ a_k = b_kq_k + r_k \;\Rightarrow\; \left\{ \begin{aligned} -a_{k+1} &= b_k = \phantom{a_k-q_k}\llap{$-\mathstrut$}b_k \\ +a_{k+1} &= b_k = \phantom{a_k-q_k}b_k \\ b_{k+1} &= \phantom{b_k}\llap{$r_k$} = a_k - q_kb_k \end{aligned} \right.} diff --git a/vorlesungen/slides/4/frobenius.tex b/vorlesungen/slides/4/frobenius.tex new file mode 100644 index 0000000..56fd78f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/4/frobenius.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% +% frobenius.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Frobenius-Automorphismus} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +$\operatorname{Prim}(\Bbbk) = \mathbb{F}_p$ +\uncover<2->{% +\begin{block}{Binomial-Koeffizienten} +\vspace{-10pt} +\begin{align*} +\binom{p}{k} +&= +\frac{ +{\color{red}p}\cdot(p-1)\cdot(p-2)\cdot\dots\cdot (p-k+1) +}{ +1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot k +} +\intertext{{\color{red}$p$} wird nicht gekürzt wegen} +\uncover<3->{1&\not\equiv 0 \mod p}\\ +\uncover<3->{2&\not\equiv 0 \mod p}\\ +\uncover<3->{ &\phantom{a}\vdots}\\ +\uncover<3->{k&\not\equiv 0 \mod p} +\end{align*} +\vspace{-10pt} +\end{block}} +\vspace{-5pt} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Frobenius-Authomorphismus} +\vspace{-10pt} +\begin{align*} +\uncover<5->{(x+y)^{p\phantom{\mathstrut^n}} +&= +x^{p\phantom{\mathstrut}^n}+y^{p\phantom{mathstrut^n}}} +\\ +\uncover<6->{(x+y)^{p^n} &= x^{p^n}+y^{p^n}} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Pascal-Dreieck} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/qundr.tex b/vorlesungen/slides/4/qundr.tex new file mode 100644 index 0000000..a6f89bd --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/4/qundr.tex @@ -0,0 +1,138 @@ +% +% qundr.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.8} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (ll) at (-6,-3.6); +\coordinate (lr) at (6,-3.6); +\coordinate (ur) at (6,3.6); +\coordinate (ul) at (-6,3.6); + +\def\d{0.6} +\def\D{0.5} + +\coordinate (q) at (0,{-2.25+\d}); +\coordinate (r) at (-1.5,{\d+\D}); +\coordinate (a) at (1.5,{\d-\D}); +\coordinate (c) at (0,{2.25+\d}); + +\coordinate (m1) at ($0.5*(q)+0.5*(r)$); +\coordinate (m2) at ($0.5*(q)+0.5*(a)$); +\coordinate (m3) at ($0.5*(c)+0.5*(r)$); +\coordinate (m4) at ($0.5*(c)+0.5*(a)$); + +\def\t{1.5} +\coordinate (M1) at ($(m1)+\t*(m1)-\t*(m4)$); +\coordinate (M2) at ($(m2)+\t*(m2)-\t*(m3)$); +\coordinate (M4) at ($(m4)+\t*(m4)-\t*(m1)$); +\coordinate (M3) at ($(m3)+\t*(m3)-\t*(m2)$); + +\begin{scope} +\clip (ll) rectangle (ur); + +\uncover<3->{ + \fill[color=blue!30] + ($0.9*(m1)+0.1*(M1)+(-6,0)$) -- ($0.9*(m1)+0.1*(M1)$) + -- (M4) -- (ul) -- cycle; +} + +\uncover<4->{ + \fill[color=red!60,opacity=0.5] + ($0.9*(m2)+0.1*(M2)$) -- ($0.9*(m2)+0.1*(M2)+(6,0)$) + -- (ur) -- (M3) -- cycle; +} + +\uncover<2->{ + \fill[color=darkgreen!60,opacity=0.5] + ($1.09*(m3)-0.09*(M3)$) -- ($1.09*(m3)-0.09*(M3)+(-6,0)$) + -- (ll) -- (M2) -- cycle; +} + +\uncover<6->{ + \fill[color=gray,opacity=0.5] + ({6-0.1},{\d+0.22}) rectangle ({6-2.4},{\d+0.62}); + \node[color=yellow] at (6,\d) [above left] {überabzählbar\strut}; + + \fill[color=gray,opacity=0.5] + ({-6+0.1},{\d-0.15}) rectangle ({-6+1.75},{\d-0.55}); + \node[color=yellow] at (-6,\d) [below right] {abzählbar\strut}; + + \draw[color=yellow,line width=2pt] (-7,\d) -- (7,\d); +} + +\end{scope} + +\node at (q) {$\mathbb{Q}$\strut}; +\node at ($(q)+(0,-0.2)$) [below] {Primkörper}; + +\uncover<3->{ + \node at (r) {$\mathbb{R}$\strut}; + \node at (r) [left] {$\text{reelle Zahlen}=\mathstrut$}; + \draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (q) -- (r); + \node at ($0.5*(q)+0.5*(r)$) + [below,rotate={atan((-2.25-\D)/1.5)}] {index $\infty$}; + \node[color=blue] at (ul) + [above right] {topologische Vervollständigung}; +} + +\uncover<4->{ + \node at (a) {$\mathbb{A}$\strut}; + \node at (a) [right] {$\mathstrut = \text{algebraische Zahlen}$}; + \draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (q) -- (a); + \node at ($0.5*(q)+0.5*(a)$) + [below,rotate={atan((2.25-\D)/1.5)}] {index $\infty$}; + \node[color=red] at (ur) + [above left] {algebraische Vervollständigung}; +} + +\uncover<5->{ + \node at (c) {$\mathbb{C}$\strut}; + \draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (r) -- (c); + \draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (a) -- (c); + \node at ($(c)+(0,0.2)$) [above] {komplexe Zahlen}; + \node at ($0.5*(r)+0.5*(c)$) + [above,rotate={atan((2.25-\D)/1.5)}] {index 2}; + \node at ($0.5*(a)+0.5*(c)$) + [above,rotate={atan((-2.25-\D)/1.5)}] {index $\infty$}; +} + +\uncover<3->{ + \node[color=darkblue] at (ul) [below right] + {\begin{minipage}{0.3\textwidth}\raggedright + Grenzwerte von Cauchy-Folgen in $\mathbb{Q}$ hinzufügen + \end{minipage}}; +} + +\uncover<4->{ + \node[color=darkred] at (ur) [below left] + {\begin{minipage}{0.3\textwidth}\raggedleft + Nullstellen von Polynomen in $\mathbb{Q}[X]$ hinzufügen + \end{minipage}}; +} + +\uncover<2->{ + \node[color=darkgreen] at (ll) [above right] + {\begin{minipage}{0.4\textwidth}\raggedright + \begin{block}{Archimedische Eigenschaft} + Für $a>b >0$ gibt es $n\in\mathbb{N}$ mit + $n\cdot b > a$ + \end{block} + \end{minipage}}; + + \node[color=darkgreen] at (ll) [below right] + {geordneter Körper, nötig für die Definition von Cauchy-Folgen}; +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index 4ca3de4..5b849ec 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -5,6 +5,8 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapter5 = \ + ../slides/5/plan.tex \ + ../slides/5/planbeispiele.tex \ ../slides/5/verzerrung.tex \ ../slides/5/motivation.tex \ ../slides/5/charpoly.tex \ @@ -27,6 +29,8 @@ chapter5 = \ \ ../slides/5/spektrum.tex \ ../slides/5/normal.tex \ + ../slides/5/normalbeispiel.tex \ + ../slides/5/normalbeispiel34.tex \ ../slides/5/unitaer.tex \ \ ../slides/5/konvergenzradius.tex \ @@ -36,9 +40,12 @@ chapter5 = \ ../slides/5/satzvongelfand.tex \ \ ../slides/5/stoneweierstrass.tex \ + ../slides/5/swbeweis.tex \ ../slides/5/potenzreihenmethode.tex \ ../slides/5/logarithmusreihe.tex \ ../slides/5/exponentialfunktion.tex \ ../slides/5/hyperbolisch.tex \ + \ + ../slides/5/approximation.tex \ ../slides/5/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/5/approximation.tex b/vorlesungen/slides/5/approximation.tex new file mode 100644 index 0000000..a35bae7 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/approximation.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% approximation.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\begin{frame}[t] +\frametitle{Approximation einer reellen Funktion} +\vspace{-18pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{block}{Gegeben} +Eine stetige Funktion $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.5\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Gesucht} +Approximationspolynome $p_n\to f$ gleichmässig auf $[a,b]$ +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Lösungsmöglichkeiten} +\vspace{-3pt} +\begin{center} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\begin{tabular}{|p{4.2cm}|l|} +\hline +Familie&Approximationspolynom für $[a,b]=[0,1]$ +\\ +\hline +\uncover<4->{% +\raggedright +Lagrange-Interpolationspolynom} +&\uncover<5->{% +$\displaystyle\begin{aligned} +l(x)&=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n),\quad x_k = \frac{k}{n} +\\ +p_n(x)&= \sum_{k=0}^n f(x_k)\frac{l(x)}{x-x_k} +\end{aligned}$} +\\ +\hline\uncover<6->{% +\raggedright +Approximation mit Bernstein-Polynomen} +&\uncover<7->{$\displaystyle \begin{aligned} +B_{k,n}(t) &= \frac{1}{(b-a)^n}\binom{n}{k}(t-a)^k(b-t)^{n-k} +\\ +B_n(f)(t) &= \sum_{k=0}^n B_{k,n}(t) \cdot f\biggl(\frac{k}{n}\biggr) +\end{aligned}$} +\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +\end{block}} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg Binary files differindex 9cb789c..bebc36f 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg +++ b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.jpg diff --git a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov index c187d08..d17adb7 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov +++ b/vorlesungen/slides/5/beispiele/kombiniert.pov @@ -18,5 +18,6 @@ ebene(k21, k22, gruen2) arrow(O, j11, at, orange1) arrow(O, j12, at, orange1) arrow(O, k11, at, gruen1) +gerade(k11, gruen1) ebene(j11, j12, orange1) diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index 96eea29..cdf2ea5 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -3,6 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % +\folie{5/plan.tex} +\folie{5/planbeispiele.tex} \folie{5/verzerrung.tex} \folie{5/motivation.tex} \folie{5/charpoly.tex} @@ -28,9 +30,13 @@ \folie{5/Aiteration.tex} \folie{5/satzvongelfand.tex} \folie{5/stoneweierstrass.tex} +\folie{5/swbeweis.tex} \folie{5/potenzreihenmethode.tex} \folie{5/logarithmusreihe.tex} \folie{5/exponentialfunktion.tex} \folie{5/hyperbolisch.tex} \folie{5/spektrum.tex} \folie{5/normal.tex} +\folie{5/normalbeispiel.tex} +\folie{5/normalbeispiel34.tex} +\folie{5/approximation.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..e130c15 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% +% normalbeispiel.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiele für normale Matrizen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Symmetrisch und Antisymmetrisch} +$A\in M_n(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +A&=\pm A^t &&\Rightarrow &AA^* &=A\overline{A^t} =\pm A\overline{A} +\\ + & && & &=\pm\overline{A}A =\overline{A^t}A +\\ + & && & &=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Orthogonal} +$A\in M_n(\mathbb{R})\;\Rightarrow\; A^*=A^t$ +\begin{align*} +AA^t&=I &&\Rightarrow& AA^*&=AA^t=I\\ + & && & &=A^tA=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<1->{% +\begin{block}{Hermitesch und Antihermitesch} +$A\in M_n(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +A&=\pm A^* &&\Rightarrow &AA^* &=\pm A^2=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Unitär} +$A\in M_n(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +AA^*&=I &&\Rightarrow& AA^*=I=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +%\uncover<5->{% +%\begin{block}{Weitere} +%$N\in M_n(\mathbb{C})$ nilpotent, $N^k=0$\uncover<11->{ +%$\Rightarrow$ +%normal für $l=k-l\Rightarrow l=\frac{k}{2}$} +%\uncover<6->{% +%\[ +%\left. +%\begin{aligned} +%A &=N^l+(N^t)^{k-l} +%\\ +%A^t&=(N^t)^l+N^{k-1} +%\end{aligned} +%\right\} +%\uncover<7->{% +%\Rightarrow +%\left\{ +%\begin{aligned} +%\mathstrut +%A^t A +%&\only<8>{= +%((N^t)^l+N^{k-l}) (N^l+(N^t)^{k-l})} +%\uncover<9->{= +%{\color<10>{darkgreen}(N^t)^lN^l} +%\only<9>{+ +%{\color{orange}(N^t)^k}} +%+ +%{\color<10>{darkred}N^{k-l}(N^t)^{k-l}} +%\only<9>{+ +%{\color{orange}N^k}}} +%\\ +%\mathstrut +%A A^t +%&\only<8>{= +%(N^l+(N^t)^{k-l})((N^t)^l+N^{k-l})} +%\uncover<9->{= +%{\color<10>{darkred}N^l(N^t)^l} +%+ +%\only<9>{{\color{orange}N^k} +%+ +%{\color{orange}(N^t)^k} +%+} +%{\color<10>{darkgreen}(N^t)^{k-l}N^{k-l}}} +%\end{aligned} +%\right.} +%\hspace{20cm} +%\]} +%\end{block}} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel34.tex b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel34.tex new file mode 100644 index 0000000..f2647b0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel34.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +% +% normalbeispiel34.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\begin{frame}[t] +\frametitle{Beispiele normaler Matrizen für $n=3$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.49\textwidth} +\begin{align*} +A +&= +\begin{pmatrix} +\alpha&\beta & 0 \\ + 0 &\alpha&\beta \\ +\beta & 0 &\alpha +\end{pmatrix}, +\; +A^t= +\begin{pmatrix} +\alpha& 0 &\beta \\ +\beta &\alpha& 0 \\ + 0 &\beta &\alpha +\end{pmatrix} +& +\uncover<2->{% +&\Rightarrow\left\{ +\begin{aligned} +AA^t&=\begin{pmatrix} +\alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 +\end{pmatrix} +\\ +&\phantom{ooooooooooooooo}\| +\\ +A^tA&=\begin{pmatrix} +\alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 +\end{pmatrix} +\end{aligned}\right.} +\\ +\uncover<3->{ +A&=\alpha I + \beta O}\uncover<4->{, O=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\in \operatorname{O}(3)} +& +\uncover<5->{ +&\Rightarrow +\left\{ +\begin{aligned} +AA^*&= \alpha^2I^2 + \beta^2 +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<6->{I} }{} \only<-5>{OO^*} ++ \alpha\beta(O+O^*)\\ +A^*A&= \alpha^2I^2 + \beta^2 +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<6->{I} }{} \only<-5>{O^*O} ++ \alpha\beta(O^*+O) +\end{aligned} +\right.} +\\ +\uncover<7->{A&=U+V^*,\text{normal}}\uncover<10->{\text{, } +{\color{darkgreen}UV}={\color{darkgreen}VU}} +& +&\uncover<8->{\Rightarrow +\left\{ +\begin{aligned} +AA^* &= UU^* + {\color<9->{darkgreen}UV} + {\color<9->{darkred}V^*U^*} + V^*V +\\ +A^*A &= U^*U + {\color<9->{darkred}U^*V^*} + {\color<9->{darkgreen}VU} + VV^* +\end{aligned} +\right.} +\end{align*} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/plan.tex b/vorlesungen/slides/5/plan.tex new file mode 100644 index 0000000..23b1b93 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/plan.tex @@ -0,0 +1,198 @@ +% +% plan.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0.0,0} +\begin{frame}[t] +\frametitle{Was ist $f(A)$?} +\vspace{-5pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\uncover<7->{ + \fill[color=blue!20] (-1.5,0.7) rectangle (11.5,3.8); +} + +\uncover<4->{ + \fill[color=darkgreen!20] (-1.5,-0.7) rectangle (11.5,0.7); +} + +\uncover<12->{ + \fill[color=darkred!20] (-1.5,-0.7) rectangle (11.5,-3.8); +} + +\begin{scope}[xshift=-1cm] +\node at (0,0) [left] {$A$}; +\end{scope} + +%\foreach \x in {1,...,20}{ +% \only<\x>{ \node at (-1,3) {\x}}; +%} + +% +% Blauer Ast +% + +\uncover<2->{ + \draw[->,color=blue,shorten <= 0.3cm, shorten >= 0.0cm] + (-1.2,0) -- (0,1.3); + + \begin{scope}[xshift=0cm,yshift=1.5cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.6) rectangle (3.4,0.6); + \draw[color=blue] (0,-0.6) rectangle (3.4,0.6); + \node at (0,0) [right] {$\begin{aligned} + f&=p\in\mathbb{R}[X]\\ + f(A)&=p(A) + \end{aligned} + $}; + \end{scope} +} + +\uncover<7->{ + \draw[->,color=blue] (1.8,2.1) -- (3.6,3); + + \begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=3cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.6) rectangle (3.7,0.6); + \draw[color=blue] (0,-0.6) rectangle (3.7,0.6); + \node at (0,0) [right] {\begin{minipage}{3cm}\raggedright + $f$ durch $p_n\in\mathbb{R}[X]$\\ + approximieren + \end{minipage}}; + \end{scope} +} + +\uncover<8->{ + \draw[->,color=blue] (7.3,3) -- (9.5,1.9); + + \begin{scope}[xshift=7.6cm,yshift=1.5cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.35) rectangle (3.8,0.4); + \draw[color=blue] (0,-0.35) rectangle (3.8,0.4); + \node at (0,0) [right] {$\displaystyle f(A) = \lim_{n\to\infty}p_n(A)$}; + \end{scope} +} + +\uncover<9->{ + \node[color=blue] at (3.6,1.6) [right] {\begin{minipage}{4cm} + \raggedright + Konvergenz $p_n\to f$\\ + auf Spektrum $\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb{R}$ + \end{minipage}}; +} + +\uncover<11->{ + \node[color=blue] at (-1.5,3.8) [below right] + {$A$ symmetrisch: $A=A^*$}; +} +\uncover<10->{ + \node[color=blue] at (11.5,3.8) [below left] {$A$ diagonalisierbar}; +} + +% +% Roter Ast +% + +\uncover<12->{ + \draw[->,color=darkred,shorten <= 0.3cm, shorten >= 0.0cm] (-1.2,0) -- (0,-1.3); + + \begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-1.5cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.6) rectangle (3.4,0.6); + \draw[color=darkred] (0,-0.6) rectangle (3.4,0.6); + \node at (0,0) [right] {$\begin{aligned} + f&=p\in\mathbb{C}[Z,\overline{Z}]\\ + f(A)&=p(A,A^*) + \end{aligned}$}; + \end{scope} +} + +\uncover<13->{ + \node[color=darkred] at (1.7,-2.1) [below left] + {Für $|Z|^2 = Z\overline{Z}$}; +} + +\uncover<14->{ + \draw[->,color=darkred] (1.8,-2.1) -- (3.6,-3); + + \begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=-3cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.6) rectangle (3.7,0.6); + \draw[color=darkred] (0,-0.6) rectangle (3.7,0.6); + \node at (0,0) [right] {\begin{minipage}{3.5cm}\raggedright + $f$ durch $q_n\in\mathbb{C}[Z,\overline{Z}]$\\ + approximieren + \end{minipage}}; + \end{scope} +} + +\uncover<15->{ + \draw[->,color=darkred] (7.3,-3) -- (9.5,-1.85); + + \begin{scope}[xshift=7.6cm,yshift=-1.5cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.35) rectangle (3.8,0.4); + \draw[color=darkred] (0,-0.35) rectangle (3.8,0.4); + \node at (0,0) [right] + {$\displaystyle f(A) = \lim_{n\to\infty}q_n(A,A^*)$}; + \end{scope} +} + +\uncover<16->{ + \node[color=darkred] at (3.6,-1.8) [right] {\begin{minipage}{4cm} + \raggedright + Konvergenz $p_n\to f$\\ + auf $\operatorname{Sp}(A)\cup\operatorname{Sp}(A^*)$ + \end{minipage}}; +} + +\uncover<17->{ + \node[color=darkred] at (11.5,-3.8) [above left] {% + \begin{minipage}{3.5cm}\raggedleft + nur sinnvoll definiert wenn + $AA^*=A^*A$ + \end{minipage}}; +} + +\uncover<18->{ + \node[color=darkred] at (-1.5,-3.8) [above right] + {$A$ normal: $AA^*=A^*A$}; +} + +% +% Grüner Ast +% + +\uncover<3->{ + \draw[->,color=darkgreen,shorten <= 0.0cm, shorten >= 0.0cm] + (-1,0) -- (0,0); + + \begin{scope}[xshift=0cm,yshift=0cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.6) rectangle (2.9,0.6); + \draw[color=darkgreen] (0,-0.6) rectangle (2.9,0.6); + \node at (0,0) [right] {$\displaystyle + f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$}; + \end{scope} +} + +\uncover<5->{ + \node[color=darkgreen] at (5.9,0) [above] {$f(z)$ analytisch!}; +} +\uncover<6->{ + \node[color=darkgreen] at (5.9,0) [below] + {$\varrho(A)<\text{Konvergenzradius}$}; +} + +\uncover<4->{ + \draw[->,color=darkgreen] (2.9,0) -- (8.5,0); + + \begin{scope}[xshift=8.5cm] + \fill[color=white,opacity=0.7] (0,-0.6) rectangle (2.9,0.6); + \draw[color=darkgreen] (0,-0.6) rectangle (2.9,0.6); + \node at (0,0) [right] {$\displaystyle + f(A)=\sum_{k=0}^\infty a_kA^k$}; + \end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/5/planbeispiele.tex b/vorlesungen/slides/5/planbeispiele.tex new file mode 100644 index 0000000..7b98a95 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/planbeispiele.tex @@ -0,0 +1,103 @@ +% +% planbeispiele.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{frame}[t] +\frametitle{Beispiele} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t] +\begin{column}{0.33\textwidth} +\setbeamercolor{block body}{bg=blue!20} +\setbeamercolor{block title}{bg=blue!20} +\uncover<2->{% +\begin{block}{$A$ diagonal, $\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb{R}$\strut} +Beispiele: +\begin{align*} +f(x) +&= +x^k, +\\ +f(x)&= +\sqrt{x}, +\sqrt[k]{x} +\\ +f(x)&=|x| +\end{align*} +\vspace{43pt} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\setbeamercolor{block body}{bg=darkgreen!20} +\setbeamercolor{block title}{bg=darkgreen!20} +\uncover<1->{% +\begin{block}{$f(z)$ analytisch\strut} +Beispiele: +\begin{align*} +e^z +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} +\\ +\cos z +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{2k!} +\\ +\sin z +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\setbeamercolor{block body}{bg=darkred!20} +\setbeamercolor{block title}{bg=darkred!20} +\uncover<3->{% +\begin{block}{$A$ normal, $AA^*=A^*A$\strut} +Beispiele: +\begin{align*} +f(z)&=\sqrt{z\overline{z}}=|z| +\end{align*} +\vspace{76pt} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\vspace{-10pt} +\begin{columns}[t] +\begin{column}{0.33\textwidth} +\setbeamercolor{block body}{bg=blue!20} +\setbeamercolor{block title}{bg=blue!20} +\uncover<5->{% +\begin{block}{} +\vspace{-6pt} +$f(A)$ wohldefiniert für {\color{blue}diagonalisierbare} +Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$ +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\setbeamercolor{block body}{bg=darkgreen!20} +\setbeamercolor{block title}{bg=darkgreen!20} +\uncover<4->{% +\begin{block}{} +\vspace{-6pt} +$f(A)$ wohldefiniert für {\color{darkgreen}jedes} $A\in M_n(\mathbb{C})$ +\vspace{14pt} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.33\textwidth} +\setbeamercolor{block body}{bg=darkred!20} +\setbeamercolor{block title}{bg=darkred!20} +\uncover<6->{% +\begin{block}{} +\vspace{-6pt} +$f(A)$ wohldefiniert für {\color{darkred}normale} +Matrizen $A\in M_n(\mathbb{C})$ +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex b/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex index 3f9cab5..e2e9e30 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/stoneweierstrass.tex @@ -3,9 +3,64 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} \begin{frame}[t] -\frametitle{Stone-Weierstrass} - -TODO XXX - +\frametitle{Allgemeiner Approximationssatz} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t] +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{theorem}[Stone-Weierstrass, $\mathbb{R}$] +$A$ eine {\color{darkgreen}$\mathbb{R}$}-Algebra +von stetigen Funktionen auf einem +%abgeschlossenen und beschränkten +kompakten +Definitionsgebiet $D\subset {\color{darkgreen}\mathbb{R}}$, +\begin{itemize} +\item<2-> konstante Funktion $c\in A$, +\item<3-> für $d_1,d_2\in D$ gibt es ein $s\in A$ mit +$s(d_1)\ne s(d_2)$. +\end{itemize} +\uncover<4->{% +Dann lässt sich jede stetige Funktion durch Funktionen aus $A$ +approximieren} +\end{theorem} +\uncover<5->{ +\begin{block}{Anwendung} +\uncover<6->{$A={\color{darkgreen}\mathbb{R}}[X]$}\uncover<7->{, +$s(X)=X$}\uncover<8->{, +jede stetige Funktion kann durch +Polynome in $X$ approximiert werden} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.5\textwidth} +\uncover<9->{% +\begin{theorem}[Stone-Weierstrass, $\mathbb{C}$] +$A$ eine {\color<10->{red}$\mathbb{C}$}-Algebra von stetigen Funktionen +auf einem +%abgeschlossenen und beschränkten +kompakten +Definitionsgebiet $D\subset {\color<10->{red}\mathbb{C}}$, +\begin{itemize} +\item konstante Funktion $c\in A$, +\item für $d_1,d_2\in D$ gibt es ein $s\in A$ mit +$s(d_1)\ne s(d_2)$. +\only<11->{ +\item {\color{red}$f\in A\Rightarrow \overline{f}\in A$} +} +\end{itemize} +Dann lässt sich jede stetige Funktion durch Funktionen aus $A$ +approximieren +\end{theorem}} +\vspace{-5pt} +\uncover<12->{% +\begin{block}{Anwendung} +$A={\color{red}\mathbb{C}}[Z,\overline{Z}]$\uncover<13->{, +$s(Z{\color{red},\overline{Z}})=Z$}\uncover<14->{, +jede stetige Funktion +lässt sich durch Polynome in $Z{\color{red},\overline{Z}}$ approximieren} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} \end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex b/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex new file mode 100644 index 0000000..927322b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% swbeweis.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beweisidee Stone-Weierstrass} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t] +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{enumerate} +\item<1-> +$\exists$ eine monoton wachsende Folge von Polynomen $u_n(t)\to \sqrt{t}$ +gleichmässig auf $[0,1]\subset{\color{darkgreen}\mathbb{R}}$ +\item<2-> +$f\in A$, dann kann man $|f| = \sqrt{f^2}$ beliebig genau approximieren +durch Funktionen +in $A$ +\item<3-> +$f,g\in A$, dann kann +\begin{align*} +\max(a,b)&={\textstyle\frac12}(f+g+|f-g|)\\ +\min(a,b)&={\textstyle\frac12}(f+g-|f-g|) +\end{align*} +in $A$ beliebig genau approximiert werden. +\end{enumerate} +\end{column} +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{enumerate} +\setcounter{enumi}{3} +\item<4-> +Für $x,y\in D$ und $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es $f\in A$ mit +$f(x)=\alpha$ und $f(y)=\beta$ +\item<5-> +Zu +$f\colon D\to\mathbb{R}$ stetig und $x\in D$ gibt es $g\in A$ mit $g(x)=f(x)$ +und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für $y\ne x$ +\item<6-> +Für $f$ gibt es endlich viele Approximationen $g_i$ mit Punkten $x_i$ +wie in Schritt~4. +Dann ist $\max_i g_i$ eine Approximation von $f$, die beliebig genau in +$A$ approximiert werden kann. +\end{enumerate} +\end{column} +\end{columns} + +\vspace{10pt} +\uncover<7->{% +Schritt~2 braucht in {\color{red}$\mathbb{C}$} die komplex Konjugierte: +$|f|^2=f\overline{f}$} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index e4b9ad7..d079a05 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -4,14 +4,18 @@ % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % %\folie{5/verzerrung.tex} +%\folie{5/plan.tex} +%\folie{5/planbeispiele.tex} +%\folie{5/approximation.tex} % XXX Visualisierung Cayley-Hamilton-Produkte % XXX \folie{5/chvisual.tex} % XXX stone weierstrass incomplete %\folie{5/stoneweierstrass.tex} +%\folie{5/swbeweis.tex} % XXX polynome auf dem spektrum % XXX Motiviation für *-Operation %\folie{5/normal.tex} - +\folie{5/normalbeispiel34.tex} |
