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Mathematisches Seminar 2021
Thema: Matrizen
- Reelle und komplexe Vektoren
* Vektorräume
* lineare Gleichungssysteme
* lineare Abhängigkeit
* Basis
* Skalarprodukt
* Abbildungen
- Lineare Algebra mit Matrizen
* Gleichungssysteme
* Eigenwerte
* Minimalpolynome, charakteristisches Polynom
* Satz von Cayley
* Normalformen (Jordan)
- Anwendungen auf Graphen
* Inzidenzmatrix, Laplace-Operator
* Wavelets auf Graphen
* Netzwerke (Kirchhoffsche Sätze, Cayley)
- Matrizengruppen
* GL_n, SL_n, O(n), SO(n), SO(n,k), U(n), SU(n)
* Lie-Algebra, z.B. Vektorprodukt
* Diskrete Gruppen
* abstrakte Gruppen
* Wirkung von Gruppen auf Räumen
* Integration über Gruppen
* Zerlegung von Gruppen (Iwasawa-Zerlegung)
* Untergruppen, Faktoren, Bahnen, Normalteiler
- Darstellungen
* Gruppen als Operationen auf Matrizen
* Klassifikation der Gruppen, warum sind SO(3) und SU(2) so ähnlich
- Algebra-Eigenschaften
* Operatoren
* Norm
* *-Operation
* normale Operationen
* Satz von Stone-Weierstrasse
* kommutative Algebren
* Spektrum, Gelfand-Transformation
- Analysis mit Matrizen
* Matrix-Differentialgleichungen
* Differentialgleichung für die Jacobi-Matrix
* Newton-Algorithmus für Randwertprobleme
* Reihenentwicklungen für Operatoren
* Iterative Lösung von Operatorgleichungen
* Spektralzerlegung von selbstadjungierten Operatoren
- Anwendungen
* Euklidischer Algorithmus und Matrizen
* Kettenbrüche und Matrizen
* Polyphasen-Zerlegung
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