1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
|
%
% gruppen.tex
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapeprswil
%
\subsection{Gruppen
\label{buch:grundlagen:subsection:gruppen}}
\rhead{Gruppen}
Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe.
Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung,
die additiv
\begin{align*}
G\times G \to G&: (g,h) = gh
\intertext{oder multiplikativ }
G\times G \to G&: (g,h) = g+h
\end{align*}
geschrieben werden kann.
Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv
geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$.
\index{neutrales Element}%
Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ
geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$.
In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative
Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die
Beispiele weiter unten.
\begin{definition}
\index{Gruppe}%
Ein {\em Gruppe}
\index{Gruppe}%
ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung mit folgenden
Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item
Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$.
\item
Es gibt ein neutrales Element $e\in G$
\item
Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit
$hg=e$.
\end{enumerate}
Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$.
\end{definition}
Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales
Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}.
\index{Monoid}%
Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}.
\index{Halbgruppe}%
\begin{definition}
Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$.
\end{definition}
Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen,
multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein.
\subsubsection{Beispiele von Gruppen}
\begin{beispiel}
Die Menge $\mathbb{Z}$ mit der Addition ist eine additive Gruppe mit
dem neutralen Element $0$.
Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$.
\end{beispiel}
\begin{beispiel}
Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden
bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$.
Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$
ist $a^{-1}=\frac1{a}$.
\end{beispiel}
\begin{beispiel}
Die Vektoren $\Bbbk^n$ bilden bezüglich der Addition eine Gruppe mit
dem Nullvektor als neutralem Element.
Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation
mit Skalaren aus den Augen.
$\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man
verliert dadurch aber
\end{beispiel}
\begin{beispiel}
Die Menge aller quadratischen $n\times n$-Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist
eine Gruppe bezüglich der Addition mit der Nullmatrix als neutralem
Element.
Bezügich der Matrizenmultiplikation ist $M_n(\Bbbk)$ aber keine
Gruppe, da sich die singulären Matrizen nicht inverieren lassen.
Die Menge der invertierbaren Matrizen
\[
\operatorname{GL}_n(\Bbbk)
=
\{
A\in M_n(\Bbbk)\;|\; \text{$A$ invertierbar}
\}
\]
ist bezüglich der Multiplikation eine Gruppe.
Die Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ ist eine echte Teilmenge
von $M_n(\Bbbk)$, die Addition und Multiplikation führen im Allgemeinen
aus der Gruppe heraus, es gibt also keine Mögichkeit, in der Gruppe
$\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ diese Operationen zu verwenden.
\end{beispiel}
\subsubsection{Einige einfache Rechenregeln in Gruppen}
Die Struktur einer Gruppe hat bereits eine Reihe von
Einschränkungen zur Folge.
Zum Beispiel sprach die Definition des neutralen Elements $e$ nur von
Produkten der Form $ex=x$, nicht von Produkten $xe$.
Und die Definition des inversen Elements $h$ von $g$ hat nur
verlangt, dass $gh=e$, es wurde nichts gesagt über das Produkt $hg$.
\begin{satz}
\label{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln}
Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt
\begin{enumerate}
\item
$xe=x$ für alle $x\in G$
\item
Es gibt nur ein neutrales Element.
Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$.
\item
Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir beweisen als Erstes den ersten Teil der Eigenschaft~3.
Sei $h$ die Inverse von $g$, also $hg=e$.
Sei weiter $i$ die Inverse von $h$, also $ih=e$.
Damit folgt jetzt
\[
g
=
eg
=
(ih)g
=
i(hg)
=
ie.
\]
Wende man dies auf das Produkt $gh$ an, folgt
\[
gh
=
(ie)h
=
i(eh)
=
ih
=
e
\]
Es ist also nicht nur $hg=e$ sondern immer auch $gh=e$.
Für eine Inverse $h$ von $g$ folgt
\[
ge
=
g(hg)
=
(gh)g
=
eg
=
g,
\]
dies ist die Eigenschaft~1.
Sind $f$ und $e$ neutrale Elemente, dann folgt
\[
f = fe = e
\]
aus der Eigenschaft~1.
Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist
$xg=e$, dann folgt
$x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$.
\end{proof}
Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in
Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme}
begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
|
