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% linear.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Lineare Algebra
\label{buch:grundlagen:section:linearealgebra}}
\rhead{Lineare Algebra}
In diesem Abschnitt tragen wir die bekannten Resultate der linearen
Algebra zusammen.
Meistens lernt man diese zuerst für Vektoren und Gleichungssysteme mit
reellen Variablen.
In der linearen Algebra werden aber nur die arithmetischen
Grundoperationen verwendet, es gibt also keinen Grund, warum sich
die Theorie nicht über einem beliebigen Zahlenkörper entwickeln
lassen sollte.
Die in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} untersuchten
endlichen Körper sind zum Beispiel besser geeignet für Anwendungen in
der Kryptographie, der Codierungstheorie oder für die diskrete schnelle
Fourier-Transformation.
Daher geht es in diesem Abschnitt weniger darum alles herzuleiten,
sondern vor allem darum, die Konzepte in Erinnerung zu rufen und
so zu formulieren, dass offensichtlich wird, dass alles mit einem
beliebigen Zahlkörper $\Bbbk$ funktioniert.

%
% Vektoren
%
\subsection{Vektoren
\label{buch:grundlagen:subsection:vektoren}}
Koordinatensysteme haben ermöglicht, Punkte als Zahlenpaare zu beschreiben.
Dies ermöglicht, geometrische Eigenschaften als Gleichungen auszudrücken.
Das bedeutet aber nur, dass man mit den Koordinaten rechnen kann,
mit den Punkten selbst kann man trotzdem noch nicht rechnen.
Ein Vektor fasst die Koordinaten eines Punktes in einem Objekt zusammen,
mit dem man auch rechnen und zum Beispiel Parallelverschiebungen
algebraisieren kann.
Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird zudem eine Menge von
Streckungsfaktoren benötigt, mit denen alle Komponenten eines Vektors
multipliziert werden können.
Sie heissen auch {\em Skalare} und liegen in $\Bbbk$.

\subsubsection{Zeilen- und Spaltenvektoren}
Vektoren sind Tupel von Elementen aus $\Bbbk$.
\index{Vektor}%

\begin{definition}
Ein $n$-dimensionaler {\em Spaltenvektor} ist ein $n$-Tupel von Zahlen aus
\index{Spaltenvektor}%
$\Bbbk$ geschrieben als
\[
v = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}
\in \Bbbk^n.
\]
Ein $m$-dimensionaler {\em Zeilenvektor} wird geschrieben als
\index{Zeilenvektor}%
\[
u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m.
\]
\end{definition}

Für Vektoren gleicher Dimension sind zwei Rechenoperationen definiert.
Die {\em Addition von Vektoren} $a,a\in\Bbbk^n$  und die Multiplikation
\index{Addition von Vektoren}%
eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgt elementweise:
\[
a+b
=
\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}a_1+b_1\\\vdots\\a_n+b_n\end{pmatrix},
\qquad
\lambda a
=
\lambda
\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\lambda a_1\\\vdots\\\lambda a_n\end{pmatrix}.
\]
Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich
\begin{equation}
\index{Kommutativgesetz}%
\index{Assoziativgesetz}%
\index{Distributivgesetz}%
\begin{aligned}
&\text{Kommutativität:}
&
a+b&=b+a
&&
&&\forall a,b\in V
\\
&\text{Assoziativgesetze:}
&
(a+b)+c&=a+(b+c)
&
(\lambda\mu)a&=\lambda(\mu a)
&&\forall a,b,c\in V,\; \lambda,\mu\in\Bbbk
\\
&\text{Distributivgesetze:}
&
\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b
&
(\lambda+\mu)a&=\lambda a + \mu a
&&\forall a,b\in V,\; \lambda,\mu\in\Bbbk.
\\
\end{aligned}
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
\end{equation}
Diese Gesetze drücken aus, dass man mit Vektoren so rechnen kann, wie man
das in der Algebra gelernt hat, mit der einzigen Einschränkung, dass
man Skalare immer links von Vektoren schreiben muss.
Die Distributivgesetze zum Beispiel sagen, dass man Ausmultipilizieren
oder Ausklammern kann genauso wie in Ausdrücken, die nur Zahlen enthalten.

Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Produkt von Vektoren gibt.
Das aus der Vektorgeometrie bekannte Vektorprodukt ist eine Spezialität
des dreidimensionalen Raumes, es gibt keine Entsprechung dafür in anderen
Dimensionen.

\subsubsection{Standardbasisvektoren}
\index|{Standardbasisvektor}%
In $\Bbbk^n$ findet man eine Menge von speziellen Vektoren, durch die
man alle anderen Vektoren ausdrücken kann.
Mit den sogenannten {\em Standardbasisvektoren}
\[
e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},
e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},
\dots,
e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
\]
kann der Vektor $a\in\Bbbk^n$ als
\[
a
=
\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
=
a_1 \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}
+
a_2 \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}
+
\dots
+
a_n \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
=
a_1e_1+a_2e_2+\dots+a_ne_n
\]
ausgedrückt werden.
Dies ist ein Speziallfall des Begriffs der Linearkombination, der
weiter unten in
Definition~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:def:linearkombination}
eingeführt wird.

\subsubsection{Vektorraum}
Die Rechnungen, die man gemäss der Rechengesetze
\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
anstellen kann, verlangen nicht, dass Elemente $a$ und $b$, mit denen man
da rechnet, Zeilen- oder Spaltenvektoren sind.
Jede Art von mathematischem Objekt, mit dem man so rechen kann,
kann als (abstrakter) Vektor betrachtet werden.

\begin{definition}
Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert sind,
nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$ und die
Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und
$\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum
über $\Bbbk$} (oder
einfach nur {\em Vektorraum}, wenn $\Bbbk$ aus dem Kontext klar sind),
wenn die Rechenregeln~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
gelten
\index{Vektorraum}%
\index{k-Vektorraum@$\Bbbk$-Vektorraum}%
\end{definition}

Die Mengen von Spaltenvektoren $\Bbbk^n$ sind ganz offensichtlich
Vektorräume.
Die in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome} studierten Mengen von
Polynomen mit Koeffizienten in $\Bbbk$ sind ebenfalls Vektorräume.

\begin{beispiel}
Die Zahlenmenge $\mathbb{C}$ ist ein $\mathbb{R}$-Vektorraum.
\index{C als R-Vektorraum@$\mathbb{C}$ als $\mathbb{R}$-Vektorraum}%
Elemente von $\mathbb{C}$ können addiert und mit reellen Zahlen
multipliziert werden.
Die Rechenregeln für die komplexen Zahlen umfassen auch alle Regeln
\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}, also ist
$\mathbb{C}$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Die Menge $C([a,b])$ der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{Re}$
bildet ein Vektorraum.
\index{stetige Funktionen}%
Funktionen können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden:
\[
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
\qquad\text{und}\qquad
(\lambda f)(x) = \lambda f(x).
\]
Dies reicht aber noch nicht ganz, denn $f+g$ und $\lambda f$ müssen
ausserdem auch {\em stetige} Funktionen sein.
Das dem so ist, lernt man in der Analysis.
Die Vektorraum-Rechenregeln
\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze} sind ebenfalls erfüllt.
\end{beispiel}

Die Beispiele zeigen, dass der Begriff des Vektorraums die algebraischen
Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer
Objekte beschreiben kann.
Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vektorraumeigenschaften
gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar.
Im folgenden werden wir alle Aussagen für einen Vektorraum $V$ formulieren,
wenn wir die Darstellung als Tupel $\Bbbk^n$ nicht brauchen.

\subsubsection{Gleichungssysteme in Vektorform}
Die Vektorraum-Operationen erlauben nun auch, lineare Gleichungssysteme
\index{lineares Gleichungssytem}%
\index{Gleichungssytem, lineares}%
\index{Vektorform}%
in {\em Vektorform} zu schreiben:
\index{Vektorform eines Gleichungssystems}%
\begin{equation}
\left.
\begin{linsys}{4}
a_{11} x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_1\\
\vdots     & & \ddots& & \vdots    & & \vdots \\
a_{m1} x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_m\\
\end{linsys}
\quad
\right\}
\qquad
\Rightarrow
\qquad
x_1
\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1} \end{pmatrix}
+
\dots
+
x_n
\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{mn} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
\end{equation}
Die linke Seite der Gleichung rechts in~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
\index{Linearkombination}%
ist, wie man sagt, eine Linearkombination der Spaltenvektoren.

\begin{definition}
\label{buch:vektoren-und-matrizen:def:linearkombination}
Eine {\em Linearkombination} der Vektoren $v_1,\dots,v_n\in V$ ist ein Ausdruck
der Form
\[
v
=
\lambda_1v_1+\dots + \lambda_n v_n
\]
mit $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in \Bbbk$.
\end{definition}

Die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombinationen einer gegebenen
Menge ausdrücken lässt, heisst der aufgespannte Raum.

\begin{definition}
\index{aufgespannter Raum}%
Sind $a_1,\dots,a_n\in V$ Vektoren, dann heisst die Menge
\[
\langle a_1,\dots,a_n\rangle
=
\{x_1a_1+\dots+x_na_n\;|\; x_1,\dots,x_n\in\Bbbk\}
\]
aller Vektoren, die sich durch Linearkombination aus den Vektoren
$a_1,\dots,a_n$ gewinnen lassen, der von $a_1,\dots,a_n$
{\em aufgespannte Raum}.
\end{definition}

\subsubsection{Lineare Abhängigkeit}
Die Gleichung~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
drückt aus, dass sich der Vektor $b$ auf der rechten Seite als
Linearkombination der Spaltenvektoren ausdrücken lässt.
Oft ist eine solche Darstellung auf nur eine Art und Weise möglich.
Betrachten wir daher jetzt den Fall, dass es zwei verschiedene
Linearkombinationen der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ gibt, die beide den
Vektor $b$ ergeben.
Deren Differenz ist
\begin{equation}
\left.
\begin{linsys}{4}
x_1 a_1 &+& \dots &+& x_n a_n &=& b \\
x_1'a_1 &+& \dots &+& x_n'a_n &=& b \\
\end{linsys}
\quad\right\}
\qquad
\Rightarrow
\qquad
(\underbrace{x_1-x_1'}_{\lambda_1}) a_1
+
\dots
+
(\underbrace{x_n-x_n'}_{\lambda_n}) a_n
=
0.
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhkomb}
\end{equation}
Die Frage, ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat, hängt also
damit zusammen, ob es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ gibt, für
die die Gleichung~\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhkomb}
erfüllt ist.

\begin{definition}
Die Vektoren $a_1,\dots,a_n$ heissen linear abhängig, wenn es Zahlen
$\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\Bbbk$ gibt, die nicht alle $0$ sind, so dass
\begin{equation}
\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n = 0.
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef}
\end{equation}
Die Vektoren heissen linear abhängig, wenn aus
\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef}
folgt, dass alle $\lambda_1,\dots,\lambda_n=0$ sind.
\end{definition}

Lineare Abhängigkeit der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ bedeutet auch, dass
man einzelne der Vektoren durch andere ausdrücken kann.
Hat man nämlich eine
Linearkombination~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef} und
ist der Koeffizient $\lambda_k\ne 0$, dann kann man nach $a_k$ auflösen:
\[
a_k = -\frac{1}{\lambda_k}(\lambda_1a_1+\dots+\widehat{\lambda_ka_k}+\dots+\lambda_na_n).
\]
Darin bedeutet der Hut, dass der entsprechende Term weggelassen werden
muss.
Da dies für jeden von $0$ verschiedenen Koeffizienten möglich ist,
sagt man eben nicht, $a_k$ ist linear abhängig von den anderen, sondern
man sagt $a_1,\dots,a_n$ sind (untereinander) linear abhängig.

\subsubsection{Basis}
Ein lineares Gleichungssystem fragt danach, ob und wie ein Vektor $b$ als
Linearkombination der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ ausgedrückt werden kann.
Wenn dies eindeutig möglich ist, dann haben die Vektoren $a_1,\dots,a_n$
offenbar eine besondere Bedeutung.

\begin{definition}
\index{Basis}%
\index{Dimension}%
Eine linear unabhängig Menge von Vektoren
$\mathcal{B}=\{a_1,\dots,a_n\}\subset V$
heisst {\em Basis} von $V$.
Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in $V$ heisst
{\em Dimension} von $V$.
\end{definition}

Die Standardbasisvektoren bilden eine Basis von $V=\Bbbk^n$.

\subsubsection{Unterräume}
Die Mengen $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ sind Teilmengen
von $V$, in denen die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit
Skalaren immer noch möglich ist.

\begin{definition}
Eine Teilmenge $U\subset V$ heisst ein {\em Unterraum} von $V$, wenn
\index{Unterraum}%
$U$ selbst ein $\Bbbk$-Vektorraum ist, also
\[
\begin{aligned}
a,b&\in U &&\Rightarrow &a+b&\in U
\\
a&\in U, \lambda\in\Bbbk &&\Rightarrow & \lambda a&\in U
\end{aligned}
\]
gilt.
\end{definition}

%
% Matrizen
%
\subsection{Matrizen
\label{buch:grundlagen:subsection:matrizen}}
Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems finden in einem
Zeilen- oder Spaltenvektor nicht Platz.
Wir erweitern das Konzept daher in einer Art, dass Zeilen- und
Spaltenvektoren Spezialfälle sind.

\subsubsection{Definition einer Matrix}
\begin{definition}
Eine {\em $m\times n$-Matrix} $A$ (über $\Bbbk$) ist ein rechteckiges Schema
\index{Matrix}%
\[
A
=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]
mit $a_{i\!j}\in\Bbbk$.
Die Menge aller $m\times n$-Matrizen wird mit
\[
M_{m\times n}(\Bbbk)
=
M_{m,n}(\Bbbk)
=
\{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
\]
Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch}
\index{quadratische Matrix}%
Man kürzt die Menge der quadratischen Matrizen als
$M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
\end{definition}

Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen
$v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$
sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus
den $n$ Spaltenvektoren
\[
a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad
a_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix},\dots,
a_n = \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}.
\]
Sie besteht auch aus den $m$ Zeilenvektoren
\[
\begin{pmatrix} a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kn} \end{pmatrix}
\]
mit $k=1,\dots,m$.

\subsubsection{Addition und Multiplikation mit Skalaren}
Die $m\times n$-Matrizen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ bilden eine Vektorraum,
die Addition von Matrizen und die Multiplikation wird wie folgt definiert.

\begin{definition}
Sind $A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und $\lambda\in\Bbbk$, dann setzt man
\[
A+B
=
\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\dots &a_{1n}+b_{1n}\\
a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\dots &a_{2n}+b_{2n}\\
\vdots       &\vdots       &\ddots&\vdots       \\
a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\dots &a_{mn}+b_{mn}
\end{pmatrix}
\qquad\text{und}\qquad
\lambda A
=
\begin{pmatrix}
\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\dots &\lambda a_{1n}\\
\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\dots &\lambda a_{2n}\\
\vdots        &\vdots        &\ddots&\vdots        \\
\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\dots &\lambda a_{mn}
\end{pmatrix}.
\]
\end{definition}

\subsubsection{Multiplikation}
Will man ein lineares Gleichungssystem
wie~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
mit Hilfe der Matrix $A$ der
Koeffizienten schreiben, bekommt es die Form $Ax=b$, wobei der Vektor
der rechten Seiten ist, und $x$ ein Vektor von unbekannten Zahlen.
Dies ist jedoch nur sinnvoll, wenn das Produkt $Ax$ sinnvoll definiert
werden kann.

\begin{definition}
\label{buch:vektoren-und-matrizen:def:matrixmultiplikation}
Eine $m\times n$-Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine
$n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den
Koeffizienten
\begin{equation}
c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{k\!j}.
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
\end{equation}
\end{definition}

Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten
$b_{k\!j}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel
\eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt
der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$.

\subsubsection{Einheitsmatrix}
Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass
$IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{i\!j}$.
Die Bedingung $IA=A$ bedeutet
\[
a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
\]
Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen
Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss.
Die Koeffizienten sind daher
\[
\delta_{i\!j}
=
\begin{cases}
1&\qquad i=j\\
0&\qquad\text{sonst}
\end{cases}
\]
Die Zahlen $\delta_{i\!j}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
{\em Kronecker-Delta}.
\index{Kronecker-$\delta$}%
\index{Kronecker-Symbol}%
Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{i\!j}$ und heisst die
{\em Einheitsmatrix}
\index{Einheitsmatrix}%
\[
I
=
\begin{pmatrix}
1     &0     &\dots &0     \\
0     &1     &\dots &0     \\[-2pt]
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0     &0     &\dots &1
\end{pmatrix}.
\]

\subsubsection{Transponierte Matrix}
\index{transponierte Matrix}%
\index{Matrix, transponiert}%
Die zu einer $m\times n$-Matrix $A$ {\em transponierte} Matrix ist die
$n\times m$-Matrix
\[
A^t=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{21}&\dots&a_{m1}\\
a_{12}&a_{22}&\dots&a_{m2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{mn}
\end{pmatrix}.
\]
Sie entsteht aus der Matrix $A$ durch Vertauschung von Zeilen und Spalten.
Aus der Definition~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:def:matrixmultiplikation}
folgt unmittelbar die Rechenregel $(AB)^t = B^tA^t$.

Eine Matrix $A$ heisst {\em symmetrisch}, wenn $A^t=A$ ist, sie heisst
{\em antisymmetrisch}, wenn $A^t=-A$ gilt.
\index{symmetrische Matrix}%
\index{antisymmetrische Matrix}%
%
% Gleichungssysteme
%
\subsection{Gleichungssysteme
\label{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme}}
Lineare Gleichungssysteme haben wir bereits in Vektorform geschrieben.
Matrizen wurden eingeführt, um sie noch kompakter in der Matrixform
$Ax=b$ zu schreiben.
In diesem Abschnitt sollen die bekannten Resultate über die Lösung
von linearen Gleichungssytemen zusammengetragen werden.

\subsubsection{Eindeutige Lösung}
Mit Hilfe der Vektorform eines linearen Gleichungssystems wurde
gezeigt, dass die Lösung genau dann eindeutig ist, wenn die Spaltenvektoren
der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind.
Dies bedeutet, dass das Gleichungssystem
\begin{equation}
\begin{linsys}{3}
a_{11}x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& 0      \\
\vdots    & & \ddots& & \vdots    & & \vdots \\
a_{m1}x_1 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& 0
\end{linsys}
\label{buch:grundlagen:eqn:homogenessystem}
\end{equation}
eine nichttriviale Lösung haben muss.
Das Gleichungssystem $Ax=b$ ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn
das homogene Gleichungssystem $Ax=0$ nur die Nulllösung hat.

\subsubsection{Inhomogene und homogene Gleichungssysteme}
Ein Gleichungssystem mit $0$ auf der rechten Seite ist also bereits
ausreichend um zu entscheiden, ob die Lösung eindeutig ist.
Ein Gleichungssystem mit rechter Seite $0$ heisst {\em homogen}.
\index{homogenes Gleichungssystem}%
Zu jedem {\em inhomogenen} Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b\ne 0$
ist $Ax=0$ das zugehörige homogene Gleichungssystem.
\index{inhomogenes Gleichungssystem}%

Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die
Lösung $x=0$, man nennt sie auch die {\em triviale} Lösung.
\index{triviale Lösung}%
Eine Lösung $x\ne 0$ heisst auch eine nichttriviale Lösung.
Die Lösungen eines inhomgenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann
eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem eine nichttriviale
Lösung hat.

\subsubsection{Gauss-Algorithmus}
Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminationsalgorithmus
löst ein lineares Gleichungssystem der
\index{Gauss-Algorithmus}%
\index{Gausscher Eliminationsalgorithmus}%
Form~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}.
Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau
\[
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
a_{11}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
\hline
\end{tabular}
\]
geschrieben.
Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens.
Das Tableau beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus.
Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als
das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
des Tableaus.

In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und
Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}.
\index{Pivotelement}%
Die {\em Pivotdivision}
\index{Pivotdivision}
\[
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{i\!j}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
\hline
\end{tabular}
\rightarrow
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{i\!j}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{i\!j}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{i\!j}}}\\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
\hline
\end{tabular}
\]
stellt sicher, dass das Pivot-Element zu $1$ wird.
\index{Pivotdivision}
Dies ist gleichbedeutend mit der Auflösung der Gleichung $i$ noch der
Variablen $x_j$.
Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k>i$ können die Einträge in der
\index{Zeilenoperation}%
Spalte $j$ zu Null gemacht werden.
Dazu wird das $a_{k\!j}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert:
\[
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{k1}&\dots &a_{k\!j}&\dots &a_{kn}&b_m   \\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
\hline
\end{tabular}
\rightarrow
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
{\color{blue}a_{k1}-a_{k\!j}a_{i1}}&\dots &{\color{blue}0}&\dots &{\color{blue}a_{kn}-a_{k\!j}a_{in}}&{\color{blue}b_m-a_{k\!j}b_{n}}\\[-2pt]
\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
\hline
\end{tabular}
\]
Typischerweise werden nach jeder Pivotdivision mehrer Zeilensubtraktionen
durchgeführt um alle anderen Elemente der Pivotspalte ausser dem
Pivotelement zu $0$ zu machen.
Beide Operationen können in einem Durchgang durchgeführt werden.

Die beiden Operationen Pivotdivision und Zeilensubtraktion werden jetzt
kombiniert, um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und
Einsen zu erzeugen.
Dabei kann es nötig werden, Zeilen zu vertauschen, um ein von $0$
verschiedenes Pivotelement zu finden.
Im Idealfall wird ein Tableau der Form
\[
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
     1&     0&\dots &     0&u_1   \\
     0&     1&\dots &     0&u_2   \\[-2pt]
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
     0&     0&\dots &     1&u_m   \\
\hline
\end{tabular}
\]
erreicht, was natürlich nur $m=n$ möglich ist.
Interpretiert man die Zeilen dieses Tableaus wieder als Gleichungen,
dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable
mit Nummer $i$.
Der Lösungsvektor kann also in der Spalte rechts abgelesen werden.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf}
\caption{Zweckmässiger Ablauf der Berechnung des Gauss-Algorithmus.
Falls in einer Spalte kein weiteres von $0$ verschiedenes Pivotelement
zur Verfügung steht, wird die Zeile übersprungen.
Weisse Felder enthalten $0$, dunkelgraue $1$.
Die roten Kreise bezeichnen Pivot-Elemente, die blauen Felder
die mit einer Zeilensubtraktion zu $0$ gemacht werden sollen.
\label{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus}}
\end{figure}
Die effizienteste Strategie für die Verwendung der beiden Operationen
ist in Abbildung~\ref{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus} dargestellt.
In der Phase der {\em Vorwärtsreduktion} werden Pivotelemente von links
nach rechts möglichst auf der Diagonale gewählt und mit Zeilensubtraktionen
die darunterliegenden Spalten freigeräumt.
\index{Vorwärtsreduktion}%
Während des Rückwärtseinsetzens werden die gleichen Pivotelemente von
rechts nach links genutzt, um mit Zeilensubtraktionen auch die
Spalten über den Pivotelemnten frei zu räumen.
\index{Rückwärtseinsetzen}%
Wenn in einer Spalte kein von $0$ verschiedenes Element als Pivotelement
zur Verfügung steht, wird diese Spalte übersprungen.
Die so erzeugte Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform}
({\em reduced row echelon form}, RREF).
\index{reduzierte Zeilenstufenform}%
\index{reduced row echelon form}%

Da der Ablauf des Gauss-Algorithmus vollständig von den Koeffizienten der
Matrix $A$ bestimmt ist, kann er gleichzeitig für mehrere Spalten auf der
rechten Seite oder ganz ohne rechte Seite durchgeführt werden.

\subsubsection{Lösungsmenge}
\index{Lösungsmenge}%
Die Spalten, in denen im Laufe des Gauss-Algorithmus kein Pivotelement
gefunden werden kann, gehören zu Variablen, nach denen sich das
Gleichungssystem nicht auflösen lässt.
Diese Variablen sind daher nicht bestimmt, sie können beliebig gewählt
werden.
Alle anderen Variablen sind durch diese frei wählbaren Variablen
bestimmt.

Für ein Gleichungssystem $Ax=b$ mit Schlusstableau
\index{Schlusstableau}%
\begin{equation}
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
   x_1&   x_2&\dots &x_{j_i-1}&{\color{darkgreen}x_{j_1}}&x_{j_1+1}&\dots &x_{j_2-1}&{\color{darkgreen}x_{j_2}}&\dots&{\color{darkgreen}x_{j_k}}& \\
\hline
     1&     0&\dots &        0&c_{1j_1}   &     0&\dots &     0&c_{1j_2}     &\dots &c_{1j_k}     &d_1      \\
     0&     1&\dots &        0&c_{2j_1}   &     0&\dots &     0&c_{2j_2}     &\dots &c_{1j_k}     &d_2      \\[-2pt]
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots     &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots       &\ddots&\vdots       &\vdots   \\
     0&     0&\dots &        1&c_{i_1,j_1}&     0&\dots &     0&c_{i_1,j_2}  &\dots &c_{i_1j_k}   &d_{i_1}  \\
     0&     0&\dots &        0&          0&     1&\dots &     0&c_{i_1+1,j_2}&\dots &c_{i_1+1,j_k}&d_{i_1+1}\\[-2pt]
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots     &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots       &\ddots&\vdots       &\vdots   \\
     0&     0&\dots &        0&          0&     0&\dots &     1&c_{i_2,j_2}  &\dots &c_{i_2j_k}   &d_{i_2}  \\
     0&     0&\dots &        0&          0&     0&\dots &     0&            0&\dots &c_{i_2+1,j_k}&d_{i_2+1}\\[-2pt]
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots     &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots       &\ddots&\vdots       &\vdots   \\
     0&     0&\dots &        0&          0&     0&\dots &     0&            0&\dots &            0&d_{m}    \\
\hline
\end{tabular}
\end{equation}
mit den $k$ frei wählbaren Variablen
$x_{j_1}, x_{j_2},\dots, x_{j_k}$ kann die Lösungsmenge als
\[
\mathbb{L}
=
\left\{
\left.
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
{\color{darkgreen}x_{i_1}}\\
x_{i_1+1}\\
\vdots\\
{\color{darkgreen}x_{i_2}}\\
x_{i_2+1}\\
\vdots\\
x_m
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
d_1\\
d_2\\
\vdots\\
d_{i_1}\\
d_{i_1+1}\\
\vdots\\
d_{i_2}\\
d_{i_2+1}\\
\vdots\\
d_{m}
\end{pmatrix}
+
{\color{darkgreen}x_{j_1}}
\begin{pmatrix}
-c_{1j_1}\\
-c_{2j_1}\\
\vdots\\
-c_{i_1,j_1}\\
{\color{darkgreen}1}\\
\vdots\\
0\\
0\\
\vdots\\
0\\
\end{pmatrix}
+
{\color{darkgreen}x_{j_1}}
\begin{pmatrix}
-c_{1j_2}\\
-c_{2j_2}\\
\vdots\\
-c_{j_1,j_2}\\
-c_{j_1+1,j_2}\\
\vdots\\
-c_{i_2,j_2}\\
{\color{darkgreen}1}\\
\vdots\\
0\\
\end{pmatrix}
+
\dots
+
{\color{darkgreen}x_{j_k}}
\begin{pmatrix}
-c_{1j_k}\\
-c_{2j_k}\\
\vdots\\
-c_{j_1,j_k}\\
-c_{j_1+1,j_k}\\
\vdots\\
-c_{i_2,j_k}\\
-c_{i_2+1,j_k}\\
\vdots\\
0\\
\end{pmatrix}
\;
\right|
{\color{darkgreen}x_{i_1}},{\color{darkgreen}x_{i_2}},\dots,{\color{darkgreen}x_{i_k}}\in\Bbbk
\right\}
\]
geschrieben werden.
Insbesondere ist die Lösungsmenge $k$-dimensional.

\subsubsection{Inverse Matrix}
Zu jeder quadratischen Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ kann man versuchen, die
Gleichungen
\[
Ac_1 = e_1,\quad Ac_2 = e_2, \dots, Ac_n = e_n
\]
mit den Standardbasisvektoren $e_i$ als rechten Seiten zu lösen, wobei
die $c_i$ Vektoren in $\Bbbk^n$ sind.
Diese Vektoren kann man mit Hilfe des Gauss-Algorithmus finden:
\[
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&1     &0     &\dots &0     \\
a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&0     &1     &\dots &0     \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&0     &0     &\dots &1     \\
\hline
\end{tabular}
\rightarrow
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
1     &0     &\dots &0     &c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}\\
0     &1     &\dots &0     &c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0     &0     &\dots &1     &c_{n1}&c_{n2}&\dots &c_{nn}\\
\hline
\end{tabular}
\]
Die Vektoren $c_k$ sind die Spaltenvektoren der Matrix $C$ mit den
Einträgen $c_{i\!j}$.

Mit den Vektoren $c_k$ können jetzt beliebige inhomogene Gleichungssysteme
$Ax=b$ gelöst werden.
Da $b = b_1e_1 + b_2e_2 + \dots + b_ne_n$, kann man die Lösung $x$ als
$x = b_1c_1+b_2c_2+\dots+b_nc_n$ konstruieren.
Tatsächlich gilt
\begin{align*}
Ax
&=
A( b_1c_1+b_2c_2+\dots+b_nc_n)
\\
&=
b_1Ac_1 + b_2Cc_2 + \dots + b_nAc_n
\\
&=
b_1e_1 + b_2e_2 + \dots + b_ne_n
=
b.
\end{align*}
Die Linearkombination $x=b_1c_1+\dots+b_nc_n$ kann in Vektorform als $x=Cb$
geschrieben werden, wenn die Vektoren $c_i$ als Spalten einer Matrix $C$ 
interpretiert werden.

Die Konstruktion von $C$ bedeutet auch, dass $AC=E$, daher heisst $C$ auch
die zu $A$ {\em inverse Matrix}.
\index{inverse Matrix}
Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben.

Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=I$ gilt,
daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=I$ ist.
Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten.
Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=I$.
Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=I$.
Dann ist zunächst $A=AI=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter
$CA=CD=I$.
Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=I$.

Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen sicher,
dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden,
die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}
genauer untersucht wird.
In diesem Zusammenhang wird dann auf
Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln}
die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt.

\subsubsection{Determinante}
Ein Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen und $n$ Unbekannten ist genau
dann lösbar, wenn sich der Gauss-Algorithmus bis zum Ende durchführen lässt.
Das ist gleichbedeutend damit, dass keines der Pivot-Elemente verschwindet.
Das Produkt der Pivot-Elemente ist also eine aus der Koeffizientenmatrix
$A$ berechnete Kennzahl, die zu entscheiden erlaubt, ob ein Gleichungssystem
lösbar ist.

\begin{definition}
\label{buch:linear:determinate:def}
Das Produkt der Pivot-Elemente bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus
für eine Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix $A$
heisst die {\em Determinante} $\det(A)$ der Matrix $A$.
\index{Determinante}%
\end{definition}

Aus den Regeln für die Durchführung des Gauss-Algorithmus kann man die
folgenden Regeln für die Determinante ableiten.
Wir stellen die Eigenschaften hier nur zusammen, detaillierte Herleitungen
kann man in jedem Kurs zur linearen Algebra finden, zum Beispiel im
Kapitel~2 des Skripts \cite{buch:linalg}.
\begin{enumerate}
\item
\label{buch:linear:determinante:einheitsmatrix}
Die Determinante der Einheitsmatrix ist $\det(I)=1$.
\item
Sind zwei Zeilen einer Matrix gleich, dann tritt beim Gauss-Algorithmus
eine Nullzweile auf, die Matrix kann also nicht regulär sein und die
Determinante ist $0$.
\item
\label{buch:linear:determinante:vorzeichen}
Vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix, dann kehrt das Vorzeichen der
Determinante.
\item
Addiert man ein Vielfaches einer Zeile der Matrix zu einer anderen Zeile,
dann ändert der Wert der Determinante nicht.
\item
Wird eine Zeile der Matrix mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert, dann
wird auch der Wert der Determinanten mit $\lambda$ multipliziert.
\item
\label{buch:linear:determinante:asymetrisch}
Die Determinante ist eine lineare Funktion der Zeilen von $A$.
Zusammen mit der Eigeschaft~\ref{buch:linear:determinante:vorzeichen}
folgt, dass die Determinante eine antisymmetrische lineare Funktion
der Zeilen ist.
\item
Die Determinante ist durch die Eigenschaften
\ref{buch:linear:determinante:einheitsmatrix}
und
\ref{buch:linear:determinante:asymetrisch}
eindeutig bestimmt.
\item
Der Entwicklungssatz von Laplace:
\index{Entwicklungssatz Laplace}%
Die Determinante der $n\times n$-Matrix $A$ kann mit der Formel
\begin{equation}
\det(A)
=
\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i\!j} \cdot \det(A_{i\!j})
\end{equation}
berechnet werden,
wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{i\!j}$ die Matrix $A$ ist, aus der
man Zeile $i$ und Spalte $j$ entfernt hat.
$A_{i\!j}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$.
\label{buch:linear:def:minor}
\index{Minor einer Matrix}%
\end{enumerate}

Die bekannte Formel $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
ist ein Spezialfall des Entwicklungssatzes von Laplace.
Auch für $3\times 3$-Matrizen ist eine übersichtliche Form möglich,
die als die Sarrus-Formel bekannt ist.
\index{Sarrus-Formel}%

\begin{satz}[Sarrus]
\label{buch:linear:determinate:sarrus}
Die Determinante einer $3\times 3$-Matrix ist
\[
\left|\begin{matrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{matrix}\right|
=
aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
\]
\end{satz}

\subsubsection{Die Regel von Cramer}
Die Determinanten ermöglicht auch, eine Formel für die Lösung eines
Gleichungssystems zu geben.
Dies ist bekannt als die {\em Regel von Cramer}.
\index{Cramer, Regel von}%
\index{Cramersche Regel}%
\index{Regel von Cramer}%

\begin{satz}
\label{buch:linear:determinante:cramer}
Die Lösung $x_k$ eines $n\times n$-Gleichungssystem $Ax=b$ mit
Koeffizientenmatrix $A$ und rechter Seite $b$ hat die Lösungen
\begin{equation}
x_k
=
\frac{
\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\dots &b_1   &\dots &a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots &b_2   &\dots &a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots &b_n   &\dots &a_{nn}
\end{matrix}\right|
}{
\det(A),
}
\end{equation}
wobei im Zähler die Spalte $k$ der Matrix $A$ durch den Vektor $b$
der rechten Seiten ersetzt worden ist.
\end{satz}

Die Cramersche Formel ist besonders nützlich, wenn die Abhängigkeit
einer Lösungsvariablen von den Einträgen der Koeffizientenmatrix
untersucht werden soll.
Für die Details der Herleitung sei wieder auf \cite{buch:linalg}
verwiesen.

\subsubsection{Die inverse Matrix mit Hilfe der Determinanten}
Die inverse Matrix löst ein quadratisches Gleichungssystem $Ax=b$ mit
Hilfe der Formel $x=A^{-1}b$.
Man kann daher auch erwarten, dass sich die inverse Matrix dank
der Cramerschen Regel mit Hilfe von Determinanten ausdrücken lässt.
Tatsächlich gilt der folgende Satz.

\begin{satz}
\label{buch:linalg:inverse:adjunkte}
Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
\index{Formel für die inverse Matrix}%
\index{inverse Matrix, Formel für}%
\begin{equation}
(A^{-1})_{i\!j}
=
\frac{1}{\det(A)}
\begin{pmatrix}
\phantom{(-1)^{1+1}}\det(A_{11}) & \phantom{()^{1+1}}-\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots
	& (-1)^{1+n} \det(A_{n1}) \\
\phantom{()^{1+1}}-\det(A_{12}) & \phantom{(-1)^{1+1}}\det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots
	& (-1)^{2+n} \det(A_{n2}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{1+j}\det(A_{1j}) & (-1)^{2+j}\det(A_{2j}) & \dots
	& (-1)^{i+j} \det(A_{ji})
	& \dots & (-1)^{j+n} \det(A_{nj}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{1+n}\det(A_{1n}) & (-1)^{2+n}\det(A_{2n}) & \dots
	& (-1)^{i+n}\det(A_{in})
	& \dots & \phantom{(-1)^{n+n}}\det(A_{nn})
\end{pmatrix}
\label{buch:linalg:inverse:formel}
\end{equation}
Die Transponierte der Matrix auf der rechten Seite (ohne den Vorfaktor
$1/\det(A)$
heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$.
\index{Adjunkte}%
\end{satz}

Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjunkte} liefert eine algebraische
Formel für die Elemente der inversen Matrix.
Für kleine Matrizen wie im nachfolgenden Beispiel ist die
Formel~\eqref{buch:linalg:inverse:formel} oft einfachter anzuwenden.
Besonders einfach wird die Formel für eine $2\times 2$-Matrix,
wo man
\[
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{pmatrix}
\]
erhält.

\begin{beispiel}
Die Matrix
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
1&a&a\\
a&1&a\\
a&a&1
\end{pmatrix}
\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}
\end{equation}
ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren.
Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel
Satz~\ref{buch:linear:determinate:sarrus}
\[
\operatorname{det}A
=
1 + 2a^3  - 3a^2.
\]
Die Adjunkte ist
\begin{align*}
(\operatorname{adj}A)^t
&=
%\frac{1}{\det{A}}
\begin{pmatrix*}[r]
 \det A_{11} & -\det A_{21} &  \det A_{31} \\
-\det A_{12} &  \det A_{22} & -\det A_{32} \\
 \det A_{13} & -\det A_{23} &  \det A_{33}
\end{pmatrix*}
\intertext{und damit ist die inverse Matrix}
A^{-1}
&=
\frac{1}{2a^3-3a^2+1}
\renewcommand\arraystretch{1.1}
\begin{pmatrix*}[r]
\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
&
-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
&
\left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right|
\\[10pt]
-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
&
\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
&
-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
\\[10pt]
\left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right|
&
-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
&
\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
\end{pmatrix*}
\\
&=
\frac{1}{2a^3-3a^2+1}
\begin{pmatrix}
1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\
a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\
a^2-a & a^2-a & 1-a^2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas
vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammert.
Man erhält so die Form
\begin{equation}
A^{-1}
=
\frac{1-a}{2a^3-3a^2+1}
\begin{pmatrix}
1+a &  -a &  -a \\
 -a & 1+a &  -a \\
 -a &  -a & 1+a
\end{pmatrix}.
\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn2}
\end{equation}
für die Inverse einer Matrix der Form
\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}.
\end{beispiel}

\subsubsection{Produktregel für die Determinante}
Aus der Charakterisierung der Determinanten kann man auch ableiten,
dass  die Produktregel 
\index{Produktregel}%
\[
\det (AB) = \det(A) \cdot \det(B)
\]
gilt.
Daraus folgt auch, dass $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$.

%
% Lineare Abbildungen
%
\subsection{Lineare Abbildungen
\label{buch:grundlagen:subsection:lineare-abbildungen}}
Der besondere Nutzen der Matrizen ist, dass sie auch lineare Abbildungen
zwischen Vektorräumen beschreiben können.
In diesem Abschnitt werden lineare Abbildungen abstrakt definiert
und die Darstellung als Matrix mit Hilfe einer Basis eingeführt.


\subsubsection{Definition}
Eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen muss so gestaltet sein,
dass die Operationen des Vektorraums erhalten bleiben.
Dies wird von der folgenden Definition erreicht.

\begin{definition}
\index{lineare Abbildung}%
Eine Abbildung $f\colon V\to U$ zwischen Vektorräumen $V$ und $U$
heisst {\em linear}, wenn
\[
\begin{aligned}
f(v+w) &= f(v) + f(w)&&\forall v,w\in V
\\
f(\lambda v) &= \lambda f(v) &&\forall v\in V,\lambda \in \Bbbk
\end{aligned}
\]
gilt.
\end{definition}

Lineare Abbildungen sind in der Mathematik weit verbreitet, wie die
folgenden Beispiele zeigen.

\begin{beispiel}
Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen
auf dem Intervall $[a,b]$ und $U=C([a,b])$ die Menge der
stetigen Funktion auf $[a,b]$.
Die Ableitung $\frac{d}{dx}$ macht aus einer Funktion $f(x)$ die
Ableitung $f'(x)$.
Die Rechenregeln für die Ableitung stellen sicher, dass
\[
\frac{d}{dx}
\colon
C^1([a,b]) \to  C([a,b])
:
f \mapsto f'
\]
eine lineare Abbildung ist.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Sei $V$ die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen auf dem
Intervall $[a,b]$ und $U=\mathbb{R}$.
Das bestimmte Integral
\[
\int_a^b \;\colon V \to U : f \mapsto \int_a^b f(x)\,dx
\]
ist nach den bekannten Rechenregeln für bestimmte Integrale
eine lineare Abbildung.
\end{beispiel}

\subsubsection{Matrix}
Um mit linearen Abbildungen rechnen zu können, ist eine Darstellung
mit Hilfe von Matrizen nötig.
Sei also $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ eine Basis von $V$ und
$\mathcal{C} = \{ c_1,\dots,c_m\}$ eine Basis von $U$.
Das Bild des Basisvektors $b_i$ kann als Linearkombination der
Vektoren $c_1,\dots,c_m$ dargestellt werden.
Wir verwenden die Bezeichnung
\[
f(b_i)
=
a_{1i} c_1 + \dots + a_{mi} c_m.
\]
Die lineare Abbildung $f$ bildet den Vektor $x$ mit Koordinaten
$x_1,\dots,x_n$ ab auf
\begin{align*}
f(x)
&=
f(x_1b_1  + \dots x_nb_n)
\\
&=
x_1 f(b_1) + \dots x_nf(b_n)
\\
&=
x_1(a_{11} c_1 + \dots + a_{m1} c_m)
+
\dots
+
x_n(a_{1n} c_1 + \dots + a_{mn} c_m)
\\
&=
( a_{11} x_1 + \dots + a_{1n} x_n ) c_1
+
\dots
+
( a_{m1} x_1 + \dots + a_{mn} x_n ) c_m
\end{align*}
Die Koordinaten von $f(x)$ in der Basis $\mathcal{C}$ in $U$ sind
also gegeben durch das Matrizenprodukt $Ax$, wenn $x$ der Spaltenvektor
aus den Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$ in $V$ ist.
Die Matrix $A$ heisst die Matrix der linearen Abbildung $f$ in
den Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$.
\index{Matrix einer linearen Abbildung}%

Die Matrix einer linearen Abbildung macht Aussagen über eine lineare
Abbilung der rechnerischen Untersuchung zugänglich.
Allerdings hängt die Matrix einer linearen Abbildung von der Wahl der
Basis ab.
Gleichzeitig ist dies eine Chance, durch Wahl einer geeigneten Basis
kann man eine Matrix in eine Form bringen, die zur Lösung eines
Problems optimal geeignet ist.

\subsubsection{Basiswechsel}
In einem Vektorraum $V$ seien zwei Basen $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$
und $\mathcal{B}'=\{b_1',\dots,b_n'\}$ gegeben.
Ein Vektor $v\in V$ kann in beiden Basen dargestellt werden.
Wir bezeichnen mit dem Spaltenvektor $x$ die Koordinaten von $v$ in der
Basis $\mathcal{B}$ und mit dem Spaltenvektor $x'$ die Koordinaten
in der Basis $\mathcal{B}'$.
Um die Koordinaten umzurechnen, muss man die Gleichung
\begin{equation}
x_1b_1 + \dots + x_nb_n = x_1'b_1' + \dots + x_n'b_n'
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselgleichung}
\end{equation}
lösen.

Stellt man sich die Vektoren $b_i$ und $b_j'$ als $m$-dimensionale
Spaltenvektoren mit $m\ge n$ vor, dann bekommt
\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselgleichung}
die Form eines Gleichungssystems
\[
\begin{linsys}{6}
b_{11}x_1&+& \dots &+&b_{1n}x_n&=&b_{11}'x_1'&+& \dots &+&b_{1n}'x_n'\\
\vdots   & & \ddots& &\vdots   & &\vdots     & & \ddots& &\vdots     \\
b_{m1}x_1&+& \dots &+&b_{mn}x_n&=&b_{m1}'x_1'&+& \dots &+&b_{mn}'x_n'
\end{linsys}
\]
Dieses Gleichungssystem kann man mit Hilfe eines Gauss-Tableaus lösen.
Wir schreiben die zugehörigen Variablen in die Kopfzeile der Tableaus.
Die Durchführung des Gauss-Algorithmus liefert
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
x_1&\dots&x_n&x_1'&\dots&x_n'\\
\hline
b_{11}&\dots &b_{1n}&b_{11}'&\dots &v_{1n}'\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\
b_{n1}&\dots &b_{nn}&b_{n1}'&\dots &v_{nn}'\\
\hline
b_{n+1,1}&\dots &b_{n+1,n}&b_{n+1,1}'&\dots &v_{n+1,n}'\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\
b_{m1}&\dots &b_{mn}&b_{m1}'&\dots &v_{mn}'\\
\hline
\end{tabular}
\rightarrow
\begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
x_1&\dots&x_n&x_1'&\dots&x_n'\\
\hline
1     &\dots &0     &t_{11}             &\dots              &t_{1n}        \\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots             &\ddots             &\vdots        \\
0     &\dots &1     &t_{n1}             &\dots              &t_{nn}        \\
\hline
0     &\dots &0     &{\color{red}0}     &{\color{red}\dots} &{\color{red}0}\\
\vdots&\ddots&\vdots&{\color{red}\vdots}&{\color{red}\ddots}&{\color{red}\vdots}\\
0     &\dots &0     &{\color{red}0}     &{\color{red}\dots} &{\color{red}0}\\
\hline
\end{tabular}
\]
Das rechte untere Teiltableau enthält lauter Nullen genau dann, wenn jeder
Vektor in $V$ sich in beiden Mengen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$
ausdrücken lässt.
Dies folgt aber aus der Tatsache, dass $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$
beide Basen sind, also insbesondere den gleichen Raum aufspannen.
Die $n\times n$-Matrix $T$ mit Komponenten $t_{i\!j}$ rechnet Koordinaten
in der Basis $\mathcal{B}'$ um in Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$.

\subsubsection{Basiswechselformel für die Matrix einer linearen Abbildung}
Die Matrix einer linearen Abbildung $f\colon U\to V$ ist abhängig von den
in $U$ bzw.~$V$ gewählten Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$.
Wechselt man die Basis und verwendet in $U$ die Basis $\mathcal{B}'$ und
in $V$ die Basis $\mathcal{C}'$, dann gibt es Matrizen
$T_U$ und $T_V$, die die Koordinaten in $U$ bzw.~$V$ von der gestrichenen
Basis in die gestrichen umzurechnen gestattet.
Ist $A$ die Matrix von $A$ in den Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$,
dann ist Matrix der gleichen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$
und $\mathcal{C}'$ gegeben durch die Matrix
\begin{equation}
A' = T_VAT_U^{-1}.
\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb}
\end{equation}

\subsubsection{Umkehrabbbildung}
Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$.
die zugehörige Umkehrabbildung.
\index{Umkehrabbildung}%
Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ gibt es daher Vektoren $a=g(u)$
und $b=g(w)$ in $V$ derart, dass $f(a)=u$ und $f(b)=w$.
Weil $f$ linear ist, folgt daraus $f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$
für jedes $\lambda\in\Bbbk$.
Damit kann man jetzt
\begin{align*}
g(u+w)&=g(f(a)+f(b)) = g(f(a+b)) = a+b = g(u)+g(w)
\\
g(\lambda u) &= g(\lambda f(a))=g(f(\lambda a)) = \lambda a = \lambda g(u)
\end{align*}
berechnen, was zeigt, dass auch $g$ eine lineare Abbildung ist.
Hat $f$ in geeignet gewählten Basen die Matrix $F$, dann hat die
Umkehrabbildung $g=f^{-1}$ die Matrix $G=F^{-1}$.
Da auch $f(g(y))=y$ gilt für jeden Vektor $y\in V$ folgt, dass $FF^{-1}=E$
und $F^{-1}F=E$.

\subsubsection{Kern und Bild}
Für die Eindeutigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssytems
ist entscheidend, ob das zugehörige homogene Gleichungssystem $Ax=0$
eine nichttriviale Lösung hat.
Seine Lösungmenge spielt also eine besondere Rolle, was rechtfertigt,
ihr einen Namen zu geben.

\begin{definition}
\index{Kern}%
Ist $f$ eine lineare Abbildung $U\to V$, dann heisst die Menge
\[
\ker f
=
\{x\in U\;|\; f(x)=0\}
\]
der {\em Kern} oder {\em Nullraum} der linearen Abbildung $f$.
\index{Kern}%
\index{Nullraum}%
Ist $A \in M_{m\times n}(\Bbbk)$ Matrix, dann gehört dazu eine lineare
Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to\Bbbk^m$.
Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge
\[
\ker A
=
\{ x\in\Bbbk^m \;|\; Ax=0\}.
\]
\end{definition}

Der Kern ist ein Unterraum, denn für zwei Vektoren $u,w\in \ker f$
\[
\begin{aligned}
f(u+v)&=f(u) + f(v) = 0+0 = 0 &&\Rightarrow& u+v&\in\ker f\\
f(\lambda u)&=\lambda f(u) = \lambda\cdot 0=0&&\Rightarrow& \lambda u&\in\ker f
\end{aligned}
\]
gilt.

Ob ein Gleichungssystem $Ax=b$ überhaupt eine Lösung hat, hängt davon,
ob der Vektor $b$ als Bild der durch $A$ beschriebenen linearen Abbildung
$\Bbbk^n \to \Bbbk^m$ dargestellt werden kann.
Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix
wie folgt.

\begin{definition}
Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$
der Unterraum
\[
\operatorname{im}f = \{ f(v)\;|\;v\in V\} \subset U
\]
von $U$.
Das {\em Bild} einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge
\[
\operatorname{im}A = \{ Av \;|\; v\in\Bbbk^n\} \subset \Bbbk^m.
\]
\end{definition}
\index{Bild}%

Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im} f$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit
$f(u)=a$ und $f(w)=b$.
Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt
\[
\begin{aligned}
a+b       &= f(u)+f(v)=f(u+v)           & \Rightarrow &       a+b &\in\operatorname{im}f\\
\lambda a &=\lambda f(u) = f(\lambda u) & \Rightarrow & \lambda a &\in\operatorname{im}f,
\end{aligned}
\]
also ist auch das Bild $\operatorname{im}f$ ein Unterraum von $U$.
Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum
\[
\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) \,|\, x_i\in\Bbbk\}
=
\langle f(b_1),\dots,f(b_n)\rangle
=
\langle a_1,\dots,a_n\rangle
\]
von $\Bbbk^m$, aufgespannt von den Spaltenvektoren $a_i$ von $A$.

\subsubsection{Rang und Defekt}
Die Dimensionen von Bild und Kern sind wichtige Kennzahlen einer Matrix.
\begin{definition}
Sei $A$ eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
Der {\em Rang} der Matrix $A$ ist die Dimension des Bildraumes von $A$:
$\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im} A$.
\index{Rang einer Matrix}%
\index{rank@$\operatorname{rank}A$}%
Der {\em Defekt} der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes von $A$:
$\operatorname{def}A=\dim\ker A$.
\index{Defekt einer Matrix}%
\end{definition}

Da der Kern mit Hilfe des Gauss-Algorithmus bestimmt werden kann,
können Rang und Defekt aus dem Schlusstableau
eines homogenen Gleichungssystems mit $A$ als Koeffizientenmatrix
abgelesen werden.

\begin{satz}
Ist $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ eine $m\times n$-Matrix,
dann gilt
\[
\operatorname{rank}A
=
n-\operatorname{def}A.
\]
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Der Defekt der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes, also die
Dimension des Lösungsraumes des homogenen Gleichungssystems mit
Koeffizientenmatrix $A$.
Dies ist auch die Anzahl der frei wählbaren Variablen nach
der Durchführung des Gaussalgorithmus
Die behauptete Bezieung kann man jetzt unmittelbar aus dem
Schlusstableau
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.5]
\draw (0,0) rectangle (8,7);
\draw (0,3) -- (8,3);
\draw (4,0) -- (4,7);
\node at (0.5,6.5) {$1$};
\node at (2,5.25) {$\ddots$};
\node at (3.5,3.5) {$1$};

\node at (4.5,6.5) {$*$};
\node at (4.5,3.5) {$*$};
\node at (7.5,6.5) {$*$};
\node at (7.5,3.5) {$*$};
\node at (4.5,5.25) {$\vdots$};
\node at (7.5,5.25) {$\vdots$};
\node at (6,3.5) {$\cdots$};
\node at (6,6.5) {$\cdots$};
\node at (6,5.25) {$\ddots$};

\node at (2,1.5) {$0$};
\node at (6,1.5) {$0$};

\draw[<->] (-0.3,7) -- (-0.3,3);
\node at (-0.3,5) [left] {$\operatorname{rank}A$};
\draw[<->] (4,7.3) -- (8,7.3);
\node at (6,7.3) [above] {$\operatorname{def}A\mathstrut$};
\node at (2,7.3) [above] {$n-\operatorname{def}A\mathstrut$};
\draw[<->] (0,7.3) -- (4,7.3);
\draw[<->] (0,-0.3) -- (8,-0.3);
\node at (4,-0.3) [below] {$n$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
ablesen.
\end{proof}

\subsubsection{Gauss-Algorithmus und Basiswechsel}
Die Zeilenoperationen des Gauss-Algorithmus können durch Multiplikation
mit Matrizen der Form
\[
\begin{pmatrix}
1&      & &                        & & &      & \\
 &\ddots& &                        & & &      & \\
 &      &1&                        & & &      & \\
 &      & &{\color{red}1}          & & &      & \\
 &      & &{\color{blue}-a_{i+1,i}}&1& &      & \\
 &      & &{\color{blue}-a_{i+2,i}}& &1&      & \\
 &      & &\vdots                  & & &\ddots& \\
 &      & &{\color{blue}-a_{n,i}}  & & &      &1
\end{pmatrix}
\]
ausgedrückt werden.
Diese Matrizen sind alle invertiertbar.
Man kann die Zeilenoperationen also als ein Basiswechsel im Bildraum
verstehen.

\subsubsection{Quotient}
Ist $U\subset V$ ein Unterraum, dann kann man einen neuen Vektorraum
$V/U$ bilden, dessen Vektoren Äquivalenzklassen von Vektoren aus $V$
sind, die sich nur um einen Vektor aus $U$ unterscheiden.
Wir können solche Vektoren als $v+U$ schreiben. 
Diese abstrakte Definition des Quotienten kann im Falle 
des Quotienten $\Bbbk^n / \ker A$ mit Hilfe des
Gauss-Algorithmus wesentlich anschaulicher realisiert werden,
wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird.

\subsubsection{Realisierung des Quotienten}
Der Quotient besteht aus den Vektoren, die ``übrig'' bleiben, wenn man die
Vektoren im Kern mit $0$ identifiziert.
Man kann ihn sich als das Bild vorstellen.

Etwas konkreter erlaubt der Gauss-Algorithmus,
für das Bild $\operatorname{im}A$ eine Basis zu finden.
Aus dem Schlusstableau lässt sich zunächst eine Basis des Kernes
ablesen, dies sind die ``grünen'' Spalten.
Die Pivotspalten bilden dagegen eine Basis für den Bildraum
nach dem im vorangegangenen Abschnitt angesprochenen Basiswechsel.

Die Pivotspalten beschreiben Vektoren, die durch die Abbildung {\em nicht}
zu $0$ gemacht werden.
Wendet man $A$ auf die Standardbasisvektoren ab, die zu den 
Pivospalten gehören, erhält man also eine Basis für da Bild
von $A$.