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% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren
\label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}
\lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}
\rhead{}
Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der
Frage nach linearen Beziehungen zwischen den Potenzen $A^k$ von $A$ verbunden.
Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,
es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.
Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente
potenziert.
\index{Diagonalmatrix}%
Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente
von $A^k$ einfach.
\index{Dreiecksmatrix}%
Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in
\index{Eigenwert}%
\index{Eigenvektor}
eine solche besonders einfache sogenannte Normalform zu bringen.
\index{Normalform}%
Ziel ist, einen Algorithmus zu finden, mit dem sich für jede lineare
Abbildung eine Basis finden lässt, in der ihre Matrix eine besonders
einfach Form hat, in der auch die Berechnung von Potenzen leicht
möglich ist.
Die Untersuchungen beginnen in
Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} mit Betrachtungen über
Potenzen von Matrizen und ihren invarianten Unterräumen.
\index{Matrixpotenz}%
\index{invarianter Unterraum}%
\index{Unterraum, invarianter}%
Es ergibt sich bereits eine Normalform für nilpotente Matrizen.
\index{nilpotent}%
In Abschnitt~\ref{buch:section:eigenwerte-und-eigenvektoren} wird daraus die
allgemeine Eigenwerttheorie entwickelt.
Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}
gezeigt werden, wie Matrizen in Normalform gebracht werden können.
In Anwendungen möchte man oft $f(A)$
für eine Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ berechnen.
%Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen.
In Abschnitt~\ref{buch:section:analytische-funktionen-einer-matrix} wird
gezeigt, wie dies für analytische Funktionen und für Funktionen möglich
\index{analytische Funktion}%
ist, die durch Polynome approximiert werden.
Es zeigt sich, dass dazu geeigneten Voraussetzungen durch den sogenannten
Spektralradius erfüllt werden müssen.
\index{Spektralradius}%
Es stellt sich heraus, dass man nicht für alle Matrizen $A$ eine
sinnvolle Definition von $f(A)$ für beliebige stetige Funktionen $f$
erwarten kann.
Möglich ist dies nur für sogenannte normale Matrizen, wie in
der Spektraltheorie in
Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} dargestellt wird.
\index{Spektraltheorie}
\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
%\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}
\section*{Übungsaufgaben}
\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}
\begin{uebungsaufgaben}
\uebungsaufgabe{4001}
\uebungsaufgabe{4002}
\uebungsaufgabe{4003}
\uebungsaufgabe{4004}
\uebungsaufgabe{4005}
\uebungsaufgabe{4006}
\end{uebungsaufgaben}
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