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% chapter.tex
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Matrizengruppen
\label{buch:chapter:matrizengruppen}}
\lhead{Matrizengruppen}
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Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
physikalischen Systemen zu beschreiben.
Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
phyisikalischen Grösse über die Zeit.
Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht,
sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
zu sprechen.
Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
eine sogenannte Lie-Gruppe.
Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten
Zusammenhangs darzustellen.
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