aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
blob: 25ac535e4ea6951f6ebd47fc9f1d2da03c8d23c6 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von
$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$
beschrieben werden,
wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:
\[
(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.
\]
Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.
Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung
\[
\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}
\]
in $\mathbb{R}^2$ ein.
Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann
\[
\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.
\]
Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer 
$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.
Die Abbildung
\[
G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
:
(\lambda,t)
\mapsto
\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}
\]
bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.
\begin{teilaufgaben}
\item
Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente
$g_j=(\lambda_j,t_j)$.
\item 
Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.
\item
Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,
berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).
\item
Rechnen Sie nach, dass
\[
s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}
,\qquad
t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}
\]
Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.
\item
Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden
Einparameteruntergruppen.
\item
Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$
\end{teilaufgaben}

\begin{loesung}
\begin{teilaufgaben}
\item
Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach
\[
(\lambda_1,t_1)
(\lambda_2,t_2)
\cdot
x
=
(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)
=
\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)
=
\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),
\]
also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.
\item
Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die
Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:
\[
y=\lambda x+t
\qquad\Rightarrow\qquad
\lambda^{-1}(y-t)
=
\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.
\]
Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$
ist.
\item
Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$
kann man den Kommutator leichter berechnen
\begin{align*}
g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
\\
g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)
\\
(g_2g_1)^{-1}
&=
(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
\\
g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}
&=
(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
\\
&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(
	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
)
\\
&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)
=
(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).
\end{align*}
Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.
\item
Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
\begin{align*}
\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
\end{align*}
\item
Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
Matrixdarstellung nach dem Parameter
\begin{align*}
S
&=
\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}
=
\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
\\
T
&=
\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
=
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
\end{align*}
\item Der Kommutator ist
\[
[S,T]
=
\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
=
T.
\qedhere
\]
\end{teilaufgaben}
\end{loesung}