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% chapter.tex -- Homologie
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Homologie
\label{buch:chapter:homologie}}
\lhead{Homologie}
\rhead{}
Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben
und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen.
Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden,
es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines
Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}.
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
\def\punkt#1{
\fill[color=white] #1 circle[radius=0.07];
\draw #1 circle[radius=0.07];
}
\begin{scope}[xshift=3cm]
\draw[->] (0,0) -- (3,3);
\draw[->] (0,0) -- (4,1);
\draw[->] (4,1) -- (3,3);
\node at (0,0) [below left] {$P_0$};
\node at (4,1) [below right] {$P_1$};
\node at (3,3) [above] {$P_2$};
\punkt{(0,0)}
\punkt{(4,1)}
\punkt{(3,3)}
\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$};
\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$};
\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=-3cm]
\fill[color=gray!40] (0,0) -- (4,1) -- (3,3) -- cycle;
\draw[->] (0,0) -- (3,3);
\draw[->] (0,0) -- (4,1);
\draw[->] (4,1) -- (3,3);
\node at (0,0) [below left] {$P_0$};
\node at (4,1) [below right] {$P_1$};
\node at (3,3) [above] {$P_2$};
\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$};
\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$};
\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$};
\node at (2.333,1.333) {$\triangle$};
\punkt{(0,0)}
\punkt{(4,1)}
\punkt{(3,3)}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks
(links) sind mit den Methoden
der Graphentheorie nicht unterschiedbar.
Als topologische Räume sind das Dreieck und sein Rand aber ganz klar
unterschiedbar: In einem Dreieck ist jeder geschlossene Pfad in einen
Punkt zusammenziehbar, aber die Randkurve ist nicht mehrzusammenziehbar,
sobald man das innere des Dreiecks entfernt.
\label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}}
\end{figure}
Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man
das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr
zusammenziehbar.
Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also grundsätzlich verschieden.
Die Inzidenzmatrix ordnet jeder Kante ihre beiden Endpunkte zu.
Die Homologietheorie verallgemeinert diese Idee.
Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein
jedem Simplex seinen Rand zu.
Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden.
\input{chapters/95-homologie/simplex.tex}
\input{chapters/95-homologie/komplex.tex}
\input{chapters/95-homologie/homologie.tex}
\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex}
\input{chapters/95-homologie/fixpunkte.tex}
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