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% chapter.tex -- Homologie
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Kettenkomplexe und Homologie
\label{buch:chapter:homologie}}
\lhead{Kettenkomplexe und Homologie}
\rhead{}
Mit der Inzidenzmatrix war es in Kapitel~\ref{buch:chapter:graphen}
möglich, einen Graphen zu beschreiben
und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen.
Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden:
Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines
Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf}
\caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks
(links) sind mit den Methoden
der Graphentheorie nicht unterschiedbar.
Als topologische Räume sind das Dreieck und sein Rand aber ganz klar
unterschiedbar: In einem Dreieck ist jeder geschlossene Pfad in einen
Punkt zusammenziehbar, aber die Randkurve ist nicht mehrzusammenziehbar,
sobald man das innere des Dreiecks entfernt.
\label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}}
\end{figure}
Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man
das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr
zusammenziehbar.
Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also grundsätzlich verschieden.
Die Inzidenzmatrix ordnet jeder Kante ihre beiden Endpunkte zu.
Die Homologietheorie verallgemeinert diese Idee.
Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein
jedem Simplex seinen Rand zu.
Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden.
Die Verallgemeinerung dieser Idee liefert eine algebraische Konstruktion
zu jedem topologischen Raum, die sogenannten Homologie-Gruppen.
Sie formalisieren ein mögliches Konzept der Dimension und der
Idee von ``Löchern'' in einem topologischen Raum.
Sie können dabei helfen, die topologische Struktur verschiedener
Räume zu unterscheiden.
Das Ziel dieses Kapitels ist nicht, die Homologietheorie
vollständig zu entwickeln, sondern zu zeigen, wie man Matrizen
verwenden kann, um konkrete Rechnungen durchzuführen.
\input{chapters/95-homologie/simplex.tex}
\input{chapters/95-homologie/komplex.tex}
\input{chapters/95-homologie/homologie.tex}
%\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex}
\input{chapters/95-homologie/fixpunkte.tex}
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