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% homologie.tex -- Homologie eines Komplexes
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Homologie
\label{buch:section:homologie}}
\rhead{Homologie}
Die Idee der Trangulation ermöglicht, komplizierte geometrische
Objekte mit einem einfachen ``Gerüst'' auszustatten und so zu
analysieren.
Projiziert man ein mit einer Kugel konzentrisches Tetraeder auf die
Kugel, entsteht eine Triangulation der Kugeloberfläche.
Statt eine Kugel zu studieren, kann man also auch ein Tetraeder untersuchen.
Das Gerüst kann natürlich nicht mehr alle Eigenschaften des ursprünglichen
Objektes wiedergeben.
Im Beispiel der Kugel geht die Information darüber, dass es sich um eine
glatte Mannigfaltigkeit handelt, verloren.
Was aber bleibt, sind Eigenschaften des Zusammenhangs.
Wenn sich zwei Punkte mit Wegen verbinden lassen, dann gibt es auch eine
Triangulation mit eindimensionalen Simplices, die diese Punkte als Ecken
enthalten, die sich in der Triangulation mit einer Folge von Kanten
verbinden lassen.
Algebraisch bedeutet dies, dass die beiden Punkte der Rand eines
Weges sind.
Fragen der Verbindbarkeit von Punkten mit Wegen lassen sich also
dadurch studieren, dass man das geometrische Objekt auf einen Graphen
reduziert.
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie diese Idee auf höhere
Dimensionen ausgedehnt werden.
Es soll möglich werden, kompliziertere Fragen des Zusammenhangs, zum
Beispiel das Vorhandensein von Löchern mit algebraischen Mitteln
zu analysieren.
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