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\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{tikz}
\usetheme{Hannover}
\begin{document}
\author{Joshua Bär und Michael Steiner}
\title{Reed-Solomon-Code}
\subtitle{}
\logo{}
\institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
\date{26.04.2021}
\subject{Mathematisches Seminar}
\setbeamercovered{transparent}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\begin{frame}[plain]
\maketitle
\end{frame}
\section{Einführung}
\begin{frame}
\frametitle{Einführung}
\begin{itemize}
\item Reed-Solomon-Code beschäftigt sich mit der Übertragung von Daten
und deren Fehler Erkennung.
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Polynom Ansatz}
\begin{frame}
Beispiel 2, 1, 5 Versenden und auf 2 Fehler absichern.
\end{frame}
\begin{frame}
Übertragen von
${f}_2=$\textcolor{blue}{2}, ${f}_1$\textcolor{blue}{1}, ${f}_0$\textcolor{blue}{5}
als $ p(w) = \textcolor{blue}{2}w^2 + \textcolor{blue}{1}w + \textcolor{blue}{5} $.
\only<1>{
Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8},
\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
\textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60},
\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom1.pdf}}
\only<2>{
Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8},
\textcolor{red}{50}, \textcolor{red}{37},
\textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60},
\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom2.pdf}
\textcolor{green}{7} Zahlen versenden, um \textcolor{blue}{3} Zahlen gegen \textcolor{red}{2} Fehlern abzusichern.}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Parameter}
\begin{center}
\begin{tabular}{ c c c }
\hline
"Nutzlast" & Fehler & Versenden \\
\hline
3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
&&\\
k & t & k+2t Werte eines Polynoms vom Grad k-1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ausserdem können bis zu 2t Fehler erkannt werden!
\end{frame}
\section{Fourier Transformation}
\begin{frame}
\frametitle{Idee}
\begin{itemize}
\item Idee mit Fourier Transformieren und dann senden.
\item Danach Empfangen und Rücktransformieren.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{figure}
\only<1>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig1.pdf}
}
\only<2>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig2.pdf}
}
\only<3>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig3.pdf}
}
\only<4>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig4.pdf}
}
\only<5>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig5.pdf}
}
\only<6>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig6.pdf}
}
\only<7>{
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig7.pdf}
}
\end{figure}
\end{frame}
\section{Diskrete Fourier Transformation}
\begin{frame}
\frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
Die Diskrete Fourier Transformation ist so gegeben:
\[
\label{ft_discrete}
\hat{c}_{k}
= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
{f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
\].
\[
w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
\]
Wenn $N$ konstant:
\[
\hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
\]
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
\[
\begin{pmatrix}
\hat{c}_1 \\\hat{c}_2 \\\hat{c}_3 \\ \vdots \\\hat{c}_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
w^0 & w^0 & w^0 & \dots &w^0 \\
w^0 & w^1 &w^2 & \dots &w^n \\
w^0 & w^2 &w^4 & \dots &w^{2n} \\
\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
w^0 & w^{1n}&w^{2n}& \dots &w^{n} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{f_0} \\
\textcolor{blue}{f_1} \\
\textcolor{blue}{f_2} \\
\vdots \\
0 \\
\end{pmatrix}
\]
\end{frame}
\section{Probleme und Fragen}
\begin{frame}
\frametitle{Probleme und Fragen}
Wie wird der Fehler lokalisiert?
\only<2>{
Indem in einem Endlichen Körper gerechnet wird.
}
\end{frame}
\end{document}
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