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% ableitung-exp.tex -- Ableitung von exp(x)
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
%
% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
%\frametitle{Ableitung von $\exp(x)$}
%\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Ableitung von $\exp(at)$}
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \exp(at)
&=
\frac{d}{dt} \sum_{k=0}^{\infty} a^k \frac{t^k}{k!}
\\
&\uncover<2->{
= \sum_{k=0}^{\infty} a^k\frac{kt^{k-1}}{k(k-1)!}
}
\\
&\uncover<3->{
= a \sum_{k=1}^{\infty}
a^{k-1}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}
}
\\
&\uncover<4->{
= a \exp(at)
}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<5->{
\begin{block}{Ableitung von $\exp(At)$}
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \exp(At)
&=
\frac{d}{dt} \sum_{k=0}^{\infty} A^k \frac{t^k}{k!}
\\
&=
\sum_{k=0}^{\infty} A^k\frac{kt^{k-1}}{k(k-1)!}
\\
&=
A \sum_{k=1}^{\infty} A^{k-1}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}
\\
&=
A \exp(At)
\end{align*}
\end{block}
}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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